第二章 插值法1一类课资第二章 插值法和最小二乘法 2.1 引言引言 2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 2.3 差商与牛顿插值公式差商与牛顿插值公式 2.4 差分与等距节点插值公式差分与等距节点插值公式 2.5 分段低次插值分段低次插值 2.6 三次样条三次样条 插值插值2一类课资本章要点用简单的函数(如多项式函数)作为一个复杂函数的近似,最简单实用的方法就是插值本章主要介绍有关插值法的一些基本概念,及多项式插值的基础理论和几个常用的插值方法:Lagrange插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值和三次样条插值3一类课资 自然地，希望g(x)通过所有的离散点x0x1x2x3x4xp(x) f(x) 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据；或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。4一类课资一、插值问题5一类课资-(1)这就是插值问题, (1)式为插值条件,6一类课资其插值函数的图象如图问题是否存在唯一如何构造误差估计7一类课资8一类课资二、代数插值多项式的存在唯一性整体误差的大小反映了插值函数的好坏为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函数都使用代数多项式和有理函数本章讨论的就是代数插值多项式且满足-(2)-(3)9一类课资-(4)上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式10一类课资定理1. 由Cramer法则,线性方程组(4)有唯一解-(2)-(3)则满足插值条件的插值多项式存在且唯一.虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一但通过解线性方程组(4)求插值多项式却不是好方法11一类课资根据线性空间的理论并且形式不是唯一的且在不同的基底下有不同的形式12一类课资所有次数不超过的多项式的两个不同基底：1，2200，2即所有次数不超过的多项式可表示成：或：13一类课资-(5)-(6)且满足(1)式14一类课资-(7)n+1次多项式15一类课资-(7)且-(8)(请同学们思考)从而16一类课资令即由(8)式,可得-(9)-(10)17一类课资其中-(7,7)-(11)18一类课资例解:19一类课资且在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数,这种插值方法称为Lagrange线性插值,也可以在n+1个节点中取相邻的两个节点作线性插值20一类课资Lagrange线性插值基函数为Lagrange线性插值多项式为参见图21一类课资例解:Lagrange插值基函数为Lagrange线性插值多项式为22一类课资所以Lagrange插值多项式的缺点：插值基函数计算复杂高次插值的精度不一定高23一类课资一、插值余项满足不会完全成立因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个截断误差呢？24一类课资令设其中25一类课资26一类课资根据Rolle定理,再由Rolle定理,依此类推由于因此27一类课资所以定理1.Lagrange型余项28一类课资设则29一类课资例解:30一类课资31一类课资例并作图比较.解:32一类课资不同次数的Lagrange插值多项式的比较图Runge现象33一类课资结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象. 34一类课资