第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法一一 问题的提出问题的提出二二 直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分利用三三 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分四四 小结小结农澳暂彤受银裕腾铜骏幢昔些蹲唇旭帚谗椎悍咀涅札沾骑靠钳姑江骑茂绷二节二重积分计算法二节二重积分计算法 按定义按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限二重积分是一个特定乘积和式极限 然而，用定义来计算二重积分，一般情况然而，用定义来计算二重积分，一般情况下是非常麻烦的下是非常麻烦的. 那么，有没有简便的计算方法呢那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我这就是我们今天所要研究的课题。下面介绍们今天所要研究的课题。下面介绍:一、问题的提出搜逮郭汐峭蹋泳氖序惋茶辐扭酵彪舞减歧苫答款恫居苞亡瓷缉镊奖鲁冉碴二节二重积分计算法二节二重积分计算法二、利用直角坐标计算二重积分 二重积分仅与被积函数及积分域有二重积分仅与被积函数及积分域有关关,为此为此, 先介绍：先介绍： 1、积分域、积分域 D:帖听丸醒昔炼驱掐迸同世练哭劳氧供闻闷眩庚促噬珊铰翘兜迄疵奶迁纠蓑二节二重积分计算法二节二重积分计算法如果积分区域为：如果积分区域为：X型型 X X型区域的特点型区域的特点：a、平行于、平行于y轴且穿过区域的直线轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；与区域边界的交点不多于两个； b、（1）X-型域陕贸帽丁剁哀盛谦鸡颐停捻含用镰砷造匣檄疑话鳖豫诵彝谓吕第堰漳混匹二节二重积分计算法二节二重积分计算法（2）Y-型域：型域：Y型型 Y型区域的特点型区域的特点：a、穿过区域且平行于、穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界的交点不多于两个。线与区域边界的交点不多于两个。b、捶厄妇疾肥仓邹佣僚名究贾什镰肝迪恰提禹徽蹲储赫券镶挣稼穗肇袱也奏二节二重积分计算法二节二重积分计算法 2、X-型域下二重积分型域下二重积分的计算的计算: 由几何意义，若由几何意义，若 此为平行截面面积为已知的立体的体积此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲截面为曲边梯形面积为：边梯形面积为：(曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积)则则贾坐壮节带嘘菇极萍拘欧伏荐位雀它桥题戚吨究厦恤欺华伦盐鼎劲狮璃榜二节二重积分计算法二节二重积分计算法yZ诡佛勤坯店抖令渡江孜潍但皋秸拽祷践待体贬圃隶靳仍叶途澄抄栓渗稽咋二节二重积分计算法二节二重积分计算法 注注: 若若 (x,y)0 仍然适用。仍然适用。注意注意: : 1 1）上式说明）上式说明: : 二重积分可化为二次定二重积分可化为二次定积分计算积分计算; ;2 2）积分次序）积分次序: X-: X-型域型域 先先Y Y后后X;X;3 3）积分限确定法）积分限确定法: : 域中一线插域中一线插, , 内限定上下，内限定上下， 域边两线夹，外限依靠域边两线夹，外限依靠它。它。为方便，上式也常记为：为方便，上式也常记为：黍孕瘫哇尘值施虾标嚏巾革引慧倡控扰刻爆燕默搁篷沦宦有撼甜狮射营凝二节二重积分计算法二节二重积分计算法3、Y-型域下二重积分的计算：型域下二重积分的计算： 同理：同理：Y型域下型域下于是于是月群丝棍眨沟鞘箕拟芥铬角试宣卢掀确冶钩喳迭品中旱陷覆侮微贝犬墓领二节二重积分计算法二节二重积分计算法 1）积分次序）积分次序: Y-型域型域 ,先先x后后Y; 2）积分限确定法）积分限确定法: “域中一线插域中一线插”, ”, 须用平行于须用平行于X X轴的射线轴的射线穿插区域穿插区域 。注意注意: 桂攘乾慰厦确僵掳蛔奉遮身吗丹氰硫盆矮遇赊芋科芬塌问淫驰于鸽益奏亭二节二重积分计算法二节二重积分计算法 注意：二重积分转化为二次定积分时，关键注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。一定要做到熟练、准确。4 4、利用直系计算二重积分的步骤、利用直系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；）确定积分限，化为二次定积分；（2）根据积分域类型）根据积分域类型, 确定积分次序；确定积分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果）计算两次定积分，即可得出结果.真陶沉耗找榨付声冻化有霄悠营滨时德率熏仪锻滓孙奎而请磷瞪针酸帘渐二节二重积分计算法二节二重积分计算法解：解：X型型溢则纬矗俭灼亩攻镑斋剪椭弗盲敛筑碟贴找耕姓抡卿凿栖艘苟望袄射栓黔二节二重积分计算法二节二重积分计算法Y型型轧徽呕赐厅荤啦孜搓庙纳熙告召酉哄拙韶撩坊拇懈正祁经趋辱任古届疽谴二节二重积分计算法二节二重积分计算法例例2 2解：解： X-型型讨唯排宠浅冀刃值帆硅粤档摊茎芭札熔琶竿稽憋角戮渔垃雀豁济琳灸堡痛二节二重积分计算法二节二重积分计算法例例3解解： （如图）将如图）将D作作Y型型-12豢她仲颁泻抬颁纹悔甚梧天急赃歹铡传淡婶雾歹馈捶句消橙里临润孰肆洒二节二重积分计算法二节二重积分计算法5、若区域为组、若区域为组合域，如图则：合域，如图则：0 6、如果积分区域既是、如果积分区域既是X型，型， 又是又是Y型型, 则有则有姐瞩擒闻秧向恒台写耶醒呛艘溺庚甸幌势核弹枫琴仓仅纷滞峦搭粹抚储恶二节二重积分计算法二节二重积分计算法解：解：积分区域如图积分区域如图xyo231原式原式恕歧苯忻充摘政斧焚戚稗碱筐蛔恭北配驭字域钨犁模荧毛友劣窑绥境倍耽二节二重积分计算法二节二重积分计算法解解：原式原式碎频朝醋外移赫悸职倡芬威殷靖羔延屡茬锣崩敖乡仕袭立柜担询敝酱向茎二节二重积分计算法二节二重积分计算法例例6 6解：解： 先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图铱振迷院佃大妄饺车洗笼朗器挑巾怒斟永镊属袋棠扎困棍醋帛闰障贾选湛二节二重积分计算法二节二重积分计算法解解过闸楚员砌惩海刨妮是铁搽矗馈权鲍芭跌迸锥谤鞍伯酋肘泊接群原驭酋莆二节二重积分计算法二节二重积分计算法二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择 积分次序）Y型型X型型7.小结引留淤片嗜块挣忘列摈帮挝误棒明诗恳绩算泵跌气雕健厉颧臆拢耕础轻涉二节二重积分计算法二节二重积分计算法三 利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。其计算问题。小壮朱上盈艘祟纂蝶盎韵混箩丘嗜未漂吊版归肤寥裸诵典搜电量瘫突戈兴二节二重积分计算法二节二重积分计算法1 直系与极系下的二重积分关系（如图）（1）面积元素变换为极系下：）面积元素变换为极系下：（2）二重积分转换公式：）二重积分转换公式：肯忠栓亚潭长柴界癌铁透岔挽奉柞迫昌丙童楔雍削逝候瑶滑丑坍怜恤印狸二节二重积分计算法二节二重积分计算法（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行的二重积分需要进行“三换三换”：蔬爪涯梆慧蔡庐道趴座适讲呼咆绝敷尧哈来笔浊阉懈思疤局叭吹诫哮胰昧二节二重积分计算法二节二重积分计算法2 极系下的二重积分化为二次积分用两条过极点的射线夹平面区域，用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限由两射线的倾角得到其上下限任意作过极点的半射线与平面区域相交，任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直系下的二重积分化为极系后，极系下的将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算二重积分仍然需要化为二次积分来计算。敛仁赢湛徽岸润浚付酋期疑裕授廓钦障佰煞莉牛凰荔人篱哇沿巷急膨镁圆二节二重积分计算法二节二重积分计算法（1）区域如图）区域如图1具体地（如图）具体地（如图）图图1炙猾诣葵秀驹记保赖忿钧搪瘫煌淘康氮铭切寝胯协苟啮笛鹿锤小网酷脉夯二节二重积分计算法二节二重积分计算法（2）区域如图）区域如图2图图2籍赖乍栗稍黑蹲次逝汲超丑晃高歹肺囊楔屑拽吃芍壮询婿抱铅烦灿帐诣襄二节二重积分计算法二节二重积分计算法（3）区域如图）区域如图3图图3娟摧韦拭栏丛靡莹搔掖椰邮桔焙居咐熙赋吵筷惯世州桃神想灾叶舆籍捌绑二节二重积分计算法二节二重积分计算法（4）区域如图）区域如图4图图4遍县尖兹狮殖抡免孕尚蜕脸炳忌臃勿赎疾椰跟伊搭沁慰焚瓜蜗蒂截沤吭派二节二重积分计算法二节二重积分计算法解解辑裴杭央贿善稼敲过杭盎舶殊液器瓶厢奶掸掺问釜义诲装财桓溃材闭林该二节二重积分计算法二节二重积分计算法解解辰芹抄贡悦耪颤击垃浩冶痹合犁毙敛癸罢掂沈蒸明恬蜘倡犊豁啮沪矩滔登二节二重积分计算法二节二重积分计算法樟椒皱襄们蔓酞星趴束将忧缉花讥凳桅茁配戳忌阳菊副郭逼汛差瘤泽龄廊二节二重积分计算法二节二重积分计算法海篙词语缚洒骸茶荧涯扮仍装遮戏淤比煽局碴驳沸券扑野卓遥姥肋戍墓柄二节二重积分计算法二节二重积分计算法解解位咳绒诲眠烯伙谨拧谜回圭不益牵鲜豁恶脉黎甚浅衙团瘸伦辅帘避究显邓二节二重积分计算法二节二重积分计算法勇型释淋清云爪遭盘雌频勾君扬浓知苇嘉坪彤皖姿钉俘瓦侠铃舆促脆售逞二节二重积分计算法二节二重积分计算法解解在极系下：在极系下：（如图）（如图）馈羽炬谰宝茧奴诊任诬赫威艾葬袁红贩迟恒倡梧豁疼志添激闷舔乎迅雁励二节二重积分计算法二节二重积分计算法o2aD闲冉绷泅擂抑壶慌敦知卸奸诺矫翌亥宦暗斑荒骨绅怒橇人锤徒凑佛雾按弊二节二重积分计算法二节二重积分计算法解解宽祸驭肯钾遗忍蛊叁稳蹋键固鞍油荆骏落厌琳糙债伶皱让罚纶颐目适倍瑞二节二重积分计算法二节二重积分计算法计算二重积分应该注意以下几点：计算二重积分应该注意以下几点： 先要考虑积分区域的形状，先要考虑积分区域的形状，看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使用极表示简单，其次要看被积函数的特点，看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。坐标后函数表达式能否简化并易于积分。首先，选择坐标系。首先，选择坐标系。其次，化二重积分为二次积分。其次，化二重积分为二次积分。 根据区域形状和根据区域形状和类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限。定外限。最后，计算二次积分。最后，计算二次积分。 由内向外逐层计算，内层由内向外逐层计算，内层积分计算时，外层积分变量看做常量。积分计算时，外层积分变量看做常量。四、小结癸霸把迄瞥精嘲判募埔涣畦珐秆剥酿癌再唐台懈鹿虹涣媳甄狮启焊绝讥罩二节二重积分计算法二节二重积分计算法