1.3 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体柱体 锥体锥体 台体的表面积与体积台体的表面积与体积 自自 学学 导导 引引1.了解多面体的平面展开图的概念了解多面体的平面展开图的概念,能画出多面体的展开图能画出多面体的展开图.2.了解棱柱了解棱柱 棱锥棱锥 棱台的概念棱台的概念,掌握它们的侧面展开图的图形掌握它们的侧面展开图的图形,会用侧面展开图计算侧面积会用侧面展开图计算侧面积.3.掌握圆柱掌握圆柱 圆锥圆锥 圆台的侧面展开图圆台的侧面展开图,会运用它们计算侧面积会运用它们计算侧面积.4.掌握柱掌握柱 锥锥 台的体积公式及其公式之间的相互联系台的体积公式及其公式之间的相互联系,并会用并会用这些公式计算它们的体积这些公式计算它们的体积.5.经过图形的折叠与展开掌握平面图形与立体图形之间的变经过图形的折叠与展开掌握平面图形与立体图形之间的变量与不变量的分析与辨别量与不变量的分析与辨别,体会事物之间可以在一定条件下互体会事物之间可以在一定条件下互相转化的辩证唯物主义观点相转化的辩证唯物主义观点.课课 前前 热热 身身1.棱柱棱柱 棱锥棱锥 棱台是由多个棱台是由多个_围成的几何体围成的几何体,它们的它们的表面积就是各个面的面积的表面积就是各个面的面积的_.2.圆柱圆柱 圆锥圆锥 圆台的侧面展开图分别是圆台的侧面展开图分别是_ _ _.它们的侧面积就是其侧面展开图的它们的侧面积就是其侧面展开图的_.3.如果柱体的底面积为如果柱体的底面积为S,高为高为h,则柱体的体积则柱体的体积V=_.4.如果锥体的底面积为如果锥体的底面积为S,高为高为h,则锥体的体积则锥体的体积V=_.平面图形平面图形和和矩形矩形扇形扇形扇环扇环面积面积Sh名名 师师 讲讲 解解1.表面积公式表面积公式(1)圆柱圆柱:如果圆柱的底面半径为如果圆柱的底面半径为r,母线长为母线长为l,那么圆柱的底面那么圆柱的底面积为积为S底底=r2.侧面积为侧面积为S侧侧=2rl.表面积为表面积为S表表=S侧侧+2S底底=2rl+2r2=2r(r+l).(2)圆锥圆锥:如果圆锥的底面半径为如果圆锥的底面半径为r,母线长为母线长为l,那么圆锥的底面那么圆锥的底面积为积为r2,侧面积为侧面积为rl,表面积表面积S=r2+rl=r(r+l).(3)圆台圆台:圆台的上圆台的上 下底面半径分别为下底面半径分别为r r,母线长为母线长为l,则其侧面则其侧面积为积为l(r+r),表面积为表面积为S=(r2+r2+rl+rl).2.体积公式体积公式(1)柱体柱体:柱体的底面积为柱体的底面积为S,高为高为h,则则V=Sh.(2)锥体锥体:锥体的体积等于与它等底等高的柱体的体积的锥体的体积等于与它等底等高的柱体的体积的.即即V=Sh.(3)台体台体:台体的上台体的上 下底面积分别为下底面积分别为S S,高为高为h,则则3.求几何体的体积与表面积需注意的问题求几何体的体积与表面积需注意的问题(1)圆柱圆柱 圆锥圆锥 圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积,因此弄清侧面展开图的形状及几何量的大小因此弄清侧面展开图的形状及几何量的大小,是解决有关问题是解决有关问题的关键的关键.(2)计算柱体计算柱体 锥体锥体 台体的体积台体的体积,关键是根据条件找出相应的关键是根据条件找出相应的底面面积和高底面面积和高,要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面面,将空间问题转化为平面问题将空间问题转化为平面问题.典典 例例 剖剖 析析题型一题型一 空间几何体的表面积空间几何体的表面积例例1:已知棱长均为已知棱长均为5,底面为正方形的四棱锥底面为正方形的四棱锥S-ABCD,如图如图,求求它的侧面积它的侧面积 表面积表面积.分析分析:要求棱锥的侧面积要求棱锥的侧面积,应先弄清各侧面的形状应先弄清各侧面的形状,此棱锥各侧此棱锥各侧面均为边长为面均为边长为5的正三角形的正三角形.表面积为侧面积和底面积之和表面积为侧面积和底面积之和,即即S表面积表面积=S侧侧+S底底.解解: 四棱锥四棱锥SABCD的各棱长均为的各棱长均为5, 各侧面都是全等的正三角形各侧面都是全等的正三角形.设设E为为AB中点中点,则则SE AB, S侧侧=4S SAB=4ABSES表面积表面积=S侧侧+S底底=25 +25=25( +1). 规律技巧规律技巧:求棱锥的表面积求棱锥的表面积,可以先求侧面积可以先求侧面积,再求底面积再求底面积.求求侧面积侧面积,要清楚各侧面三角形的形状要清楚各侧面三角形的形状,并找出求其面积的条件并找出求其面积的条件.求底面积要清楚底面多边形的形状及求其面积的条件求底面积要清楚底面多边形的形状及求其面积的条件.变式训练变式训练1:在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,三棱锥三棱锥D1-AB1C的的表面积与正方体的表面积的比为表面积与正方体的表面积的比为( )解析解析:如上图如上图,三棱锥三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形的各面均是正三角形.其边长为正方体侧面对角线其边长为正方体侧面对角线.设正方体的棱长为设正方体的棱长为a,则面对角线长为则面对角线长为SD1-AB1C:S正方体正方体答案答案:B题型二题型二 空间几何体的体积空间几何体的体积例例2:如下图所示如下图所示,在长方体在长方体ABCDABCD中中,截下一个棱锥截下一个棱锥CADD,求棱锥求棱锥C-ADD的体积与剩余部分的体积之比的体积与剩余部分的体积之比.分析分析:剩余部分几何体不是规则几何体剩余部分几何体不是规则几何体,可利用长方体和棱可利用长方体和棱锥体积的差来求得剩余部分的体积锥体积的差来求得剩余部分的体积.解解:已知长方体可以看成直四棱柱已知长方体可以看成直四棱柱ADDABCCB,设它的底设它的底面面ADDA面积为面积为S,高为高为h,则它的体积为则它的体积为V=Sh.而棱锥而棱锥C-ADD的底面积为的底面积为S,高是高是h,故棱锥故棱锥C-ADD的体积的体积为为VC-ADD=余下的体积是余下的体积是所以棱锥所以棱锥C-ADD的体积与剩余部分的体积之比为的体积与剩余部分的体积之比为1:5. 规律技巧规律技巧:计算多面体的体积计算多面体的体积,基础仍是多面体中一些主要基础仍是多面体中一些主要线段的关系线段的关系,要求概念清楚要求概念清楚,能根据条件能根据条件,找出其底面及相应的找出其底面及相应的高高.变式训练变式训练2:已知正三棱台已知正三棱台A1B1C1ABC的两底面边长分别为的两底面边长分别为2 8,侧棱长等于侧棱长等于6,求三棱台的体积求三棱台的体积V.解解:在右图中在右图中,设设C1D1 CD分别平分分别平分A1B1 AB,O1 O为上为上 下两下两底面的中心底面的中心,则则O1O为棱台的高为棱台的高,设为设为h,作作C1H OC于于H,则则C1H=h,且且题型三题型三 空间几何体展开图的应用空间几何体展开图的应用例例3:如右图所示如右图所示,在长方体在长方体ABCDABCD中中,AB=2,AD=4,AA=3,求在长方体表面上连结求在长方体表面上连结A C两点间诸曲两点间诸曲线的长度的最小值线的长度的最小值.解解:由于在长方体表面上连结由于在长方体表面上连结A C两点两点,可以通过可以通过AB BB,BC三段进行连结三段进行连结,故分三种情况讨论故分三种情况讨论.(1)若由若由A跨过跨过AB与与C连结连结,即将上底面即将上底面ABCD翻折到与翻折到与ABBA在同一平面内在同一平面内(如下图如下图(1),则则误区警示误区警示:多面体沿着各棱的展开有时图形类似多面体沿着各棱的展开有时图形类似,有时图形完有时图形完全不一样全不一样,应区别对待应区别对待,本题长本题长 宽宽 高都不相等高都不相等,因而求因而求AC的的最小值应为三种情况讨论比较才能得到最小值应为三种情况讨论比较才能得到.变式训练变式训练3:如下图如下图,已知三棱锥已知三棱锥A-BCD的底面是等边三角形的底面是等边三角形,三条侧棱长都等于三条侧棱长都等于1, BAC=30,M N分别在棱分别在棱AC和和AD上上,求求BM+MN+NB的最小值的最小值.解解:将三棱锥将三棱锥A-BCD的侧面沿的侧面沿AB展开在同一平面上展开在同一平面上,如下图如下图AB=AC=AD=1,BC=CD,ABCACD,BAC= CAD=30,同理同理DAB=30,BAB= BAC+ CAD+ DAB=90.由图可知由图可知,当点当点B M N B共线时共线时,BM+MN+NB取最小值取最小值.在在ABB中中,AB=AB=1, BAB=90, BB= BM+MN+NB的最小值为的最小值为易错探究易错探究例例4:把长和宽分别为把长和宽分别为6和和3的矩形卷成一个圆柱的侧面的矩形卷成一个圆柱的侧面,求这个求这个圆柱的体积圆柱的体积.错解错解:设卷成的圆柱的底面半径为设卷成的圆柱的底面半径为r,母线长为母线长为l,则则2r=6,l=3,所以所以所以所以V圆柱圆柱=r2l=错因分析错因分析:错解的原因是把宽当成母线错解的原因是把宽当成母线,沿着矩形的长卷成圆沿着矩形的长卷成圆柱柱,没有考虑到也可以沿着矩形的宽卷成圆柱没有考虑到也可以沿着矩形的宽卷成圆柱.基础强化基础强化1.若一个圆锥的轴截面是等边三角形若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为其面积为 ,则这个圆则这个圆锥的全面积是锥的全面积是( )A.3 B.3 C.6D.9解析解析:设圆锥的母线长为设圆锥的母线长为l,则由则由得得l=2.且圆锥的底面周长为且圆锥的底面周长为2,所以圆锥的全面积所以圆锥的全面积答案答案:A2.若正方体的全面积为若正方体的全面积为72,则它的对角线的长为则它的对角线的长为( )解析解析:设正方体的棱长为设正方体的棱长为a,则则6a2=72. 所以对角线长为所以对角线长为答案答案:D3.长方体过一个顶点的三条棱长的比是长方体过一个顶点的三条棱长的比是1:2:3,对角线的长是对角线的长是则这个长方体的体积是则这个长方体的体积是( )A.6B.12C.24D.48解析解析:设长方体的三条棱长分别为设长方体的三条棱长分别为a,2a,3a(a0),由题意得由题意得a2+(2a)2+(3a)2=解得解得a=2, 体积体积V=a2a3a=6a3=48.答案答案:D4.如右图所示如右图所示,在棱长为在棱长为4的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中中,P是是A1B1上一点上一点,且且PB1=A1B1,则多面体则多面体P-BCC1B1的体积为的体积为( )C.4D.16解析解析:VP-BCC1B1=441=答案答案:B5.若圆锥的侧面展开图是圆心角为若圆锥的侧面展开图是圆心角为120,半径为半径为l的扇形的扇形,则这则这个圆锥的表面积与侧面积的比是个圆锥的表面积与侧面积的比是( )A.3:2B.2:1C.4:3D.5:3答案答案:C6.等边三角形等边三角形ABC的边长为的边长为a,直线直线l过过A且与且与BC垂直垂直,将将ABC绕直线绕直线l旋转一周所得的几何体的表面积是旋转一周所得的几何体的表面积是_.解析解析:依题意知依题意知,圆锥的母线长为圆锥的母线长为a,底面半径为底面半径为周长为周长为a. 圆锥的表面积圆锥的表面积7.已知棱长为已知棱长为1,各面都是正三角形的四面体各面都是正三角形的四面体,则它的表面积是则它的表面积是_.8.如右图所示如右图所示,四棱锥四棱锥V-ABCD的底面为边长等于的底面为边长等于2 cm的正方的正方形形,顶点顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高与底面正方形中心的连线为棱锥的高,侧棱长侧棱长VC=4 cm,求这个四棱锥的体积求这个四棱锥的体积.解解:连结连结AC BD相交于点相交于点O,连结连结VO,则则VO 底面底面ABCD(如下图如下图) AB=BC=2 cm,在正方形在正方形ABCD中中, 在在Rt VOC中求得中求得:故这个四棱锥的体积为故这个四棱锥的体积为能力提升能力提升9.圆台上圆台上 下底面积分别为下底面积分别为 4,侧面积为侧面积为6,求这个圆台的求这个圆台的体积体积.解解:设圆台的上设圆台的上 下底面半径分别为下底面半径分别为r R,母线长为母线长为l,高为高为h,轴截轴截面如下图所示面如下图所示.由题意可得由题意可得:r2=, r=1,R2=4 , R=2,由由(rl+Rl)=6, l=2. V台台10.已知某几何体的俯视图是如下图所示的矩形已知某几何体的俯视图是如下图所示的矩形,正视图正视图(或称或称主视图主视图)是一个底边长为是一个底边长为8,高为高为4的等腰三角形的等腰三角形,侧视图侧视图(或称左或称左视图视图)是一个底边长为是一个底边长为6,高为高为4的等腰三角形的等腰三角形.(1)求该几何体的体积求该几何体的体积V;(2)求该几何体的侧面积求该几何体的侧面积S.解解:由已知可得该几何体是一个底面为矩形由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为高为4,顶点在底顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥面的射影是矩形中心的四棱锥. (1)V=(86)4=64.(2)该四棱锥有两个侧面是全等的等腰三角形该四棱锥有两个侧面是全等的等腰三角形,且其高为且其高为另外两个侧面也是全等的等腰三角形另外两个侧面也是全等的等腰三角形,这两个侧面的高为这两个侧面的高为因此因此S侧侧11.若某空间几何体的三视图如图所示若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为则该几何体的体积为( )解析解析:该几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱该几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱,答案答案:B12.如图是一个几何体的三视图如图是一个几何体的三视图,若它的体积是若它的体积是 则则a=_.解析解析:由三视图知该几何体为直三棱柱由三视图知该几何体为直三棱柱.如图如图,其中其中ABC是以是以BC=2为底的等腰三角形为底的等腰三角形,CC=3,