优秀学习资料欢迎下载习题八8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点试问：(1) 在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡( 即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2) 这种平衡与三角形的边长有无关系?解: 如题 8-1 图示(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q为负电荷20220)33(4130cos412aqqaq解得qq33 (2) 与三角形边长无关题 8-1 图题8-2 图8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为 2, 如题 8-2 图所示设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量解: 如题 8-2 图示220)sin2(41sincoslqFTmgTe解得tan4sin20mglq8-3 根据点电荷场强公式204rqE，当被考察的场点距源点电荷很近(r0)时，则场强，这是没有物理意义的，对此应如何理解?解: 0204rrqE仅对点电荷成立，当0r时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的， 实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大8-4 在真空中有A，B两平行板， 相对距离为d， 板面积为S， 其带电量分别为+q和-q 则这两板之间有相互作用力f，有人说f=2024dq, 又有人说，因为f=qE,SqE0，所以f=Sq02试问这两种说法对吗?为什么 ? f到底应等于多少?解: 题中的两种说法均不对第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载合场强SqE0看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的正确解答应为一个板的电场为SqE02，另一板受它的作用力SqSqqf02022，这是两板间相互作用的电场力8-5 一电偶极子的电矩为lqp，场点到偶极子中心O点的距离为r, 矢量r与l的夹角为, (见题 8-5 图) ， 且lr试证P点的场强E在r方向上的分量rE和垂直于r的分量E分别为rE=302cosrp, E=304sinrp证: 如题 8-5 所示，将p分解为与r平行的分量sinp和垂直于r的分量sinplr 场点P在r方向场强分量302cosrpEr垂直于r方向，即方向场强分量3004sinrpE题 8-5 图题 8-6 图8-6 长l=15.0cmAB上均匀地分布着线密度=5.0x10-9C m-1(1) 在导线的延长线上与导线B端相距1a=5.0cm 处P点的场强； (2) 在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d=5.0cm 处Q点的场强解：如题 8-6 图所示(1) 在带电直线上取线元xd，其上电量qd在P点产生场强为20)(d41dxaxEP2220)(d4dxaxEEllPP212140lala)4(220lal用15lcm，9100 .51mC, 5.12acm代入得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载21074.6PE1CN方向水平向右(2) 同理2220dd41dxxEQ方向如题8-6 图所示由于对称性lQxE0d，即QE只有y分量，22222220dddd41dxxxEQy224ddlQyQyEE2223222)d(dllxx2220d42ll以9100.51cmC, 15lcm,5d2cm代入得21096.14QyQEE1CN，方向沿y轴正向8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为, 求环心处O点的场强解: 如 8-7 图在圆上取Rddl题 8-7 图dddRlq，它在O点产生场强大小为204ddRRE方向沿半径向外则dsin4sindd0REExdcos4)cos(dd0REEy积分RREx0002dsin40dcos400REyREEx02，方向沿x轴正向8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q(1) 求这正方形轴线上离中心为r精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载处的场强E；(2) 证明：在lr处，它相当于点电荷q产生的场强E解: 如 8-8 图示，正方形一条边上电荷4q在P点产生物强PEd方向如图，大小为44coscosd22021lrEP22cos221lrl12coscos244d22220lrllrEPPEd在垂直于平面上的分量cosddPEE4244d2222220lrrlrlrlE题 8-8 图由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为2)4(44d422220lrlrlrEEPlq42)4(422220lrlrqrEP方向沿OP8-9 (1) 点电荷q位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2) 如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3) 如题 8-9(3) 图所示，在点电荷q的电场中取半径为R的圆平面q在该平面轴线上的A点处，求：通过圆平面的电通量(xRarctan)解: (1)由高斯定理0dqSEs精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等各面电通量06qe(2) 电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a2的立方体，使q处于边长a2的立方体中心，则边长a2的正方形上电通量06qe对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则024qe，如果它包含q所在顶点则0e如题 8-9(a) 图所示题8-9(3) 图题 8-9(a) 图题 8-9(b) 图题 8-9(c) 图(3) 通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为22xR的球冠面的电通量，球冠面积 * 1)(22222xRxxRS)(42200xRSq02q221xRx *关于球冠面积的计算：见题8-9(c) 图0dsin2rrS02dsin2 r)cos1 (22r8-10 均匀带电球壳内半径6cm，外半径 10cm ，电荷体密度为2510Cm-3求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强解: 高斯定理0dqSEs,024qrE当5rcm时，0q,0E8rcm时，q34p3(r)3内r2023434rrrE内41048.31CN， 方向沿半径向外精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载12rcm时,34q3(外r）内3r420331010.4434rrrE内外1CN沿半径向外 . 8-11 半径为1R和2R(2R1R) 的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和-,试求 :(1)r1R；(2) 1Rr2R； (3) r2R处各点的场强解: 高斯定理0dqSEs取同轴圆柱形高斯面，侧面积rlS2则rlESES2d对(1) 1Rr0,0 Eq(2) 21RrRlqrE02沿径向向外(3) 2Rr0q0E题 8-12 图8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1和2，试求空间各处场强解: 如题 8-12 图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1与2，两面间，nE)(212101面外，nE)(212102面外，nE)(21210n：垂直于两平面由1面指为2面8-13 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为, 若在球内挖去一块半径为rR的小球体，如题8-13 图所示试求：两球心O与O点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的解: 将此带电体看作带正电的均匀球与带电的均匀小球的组合，见题8-13 图(a) (1) 球在O点产生电场010E，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载球在O点产生电场d43430320OOrEO点电场d33030OOrE；(2) 在O产生电场d4d3430301OOE球在O产生电场002EO点电场003EOO题 8-13 图(a) 题 8-13 图(b) (3) 设空腔任一点P相对O的位矢为r，相对O点位矢为r( 如题 8-13(b) 图) 则03rEPO，03rEOP, 00033)(3dOOrrEEEOPPOP腔内场强是均匀的8-14 一电偶极子由q=1.0 10-6Cd=0.2cm，把这电偶极子放在1.0 105NC-1解: 电偶极子p在外场E中受力矩EpMqlEpEMmax代入数字4536max100 .2100.1102100 .1MmN8-15 两点电荷1q=1.5 10-8C，2q=3.0 10-8C，相距1r=42cm，要把它们之间的距离变为2r=25cm ，需作多少功?解: 2221021202144ddrrrrqqrrqqrFA)11(21rr61055.6J外力需作的功61055.6AAJ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载题 8-16 图8-16 如题 8-16 图所示， 在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷0q从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的功解: 如题 8-16 图示041OU0)(RqRq041OU)3(RqRqRq06RqqUUqAoCO006)(8-17 如题 8-17 图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷 , 两直导线的长度和半圆环的半径都等于R试求环中心O点处的场强和电势解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取ddRl则ddRq产生O点Ed如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向题 8-17 图cos4dd2220RREEyR04)2sin(2sinR02(2) AB电荷在O点产生电势，以0UAB200012ln44d4dRRxxxxU同理CD产生2ln402U半圆环产生00344RRU0032142ln2UUUUO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2104m s-1的匀速率作圆周运动求带电直线上的线电荷密度(电子质量0m=9.1 10-31kg，电子电量e=1.60 10-19C) 解: 设均匀带电直线电荷密度为，在电子轨道处场强rE02电子受力大小reeEFe02rvmre202得1320105.122emv1mC8-19 空气可以承受的场强的最大值为E=30kVcm-1，超过这个数值时空气要发生火花放电今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm，求此电容器可承受的最高电压解: 平行板电容器内部近似为均匀电场4105 .1dEUV8-20 根据场强E与电势U的关系UE，求下列电场的场强：(1) 点电荷q的电场；(2) 总电量为q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点；*(3) 偶极子qlp的lr处 ( 见题8-20 图) 解: (1)点电荷rqU04题 8-20 图02004rrqrrUE0r为r方向单位矢量(2) 总电量q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势2204xRqUixRqxixUE2/32204(3) 偶极子lqp在lr处的一点电势2004cos)cos21 (1)cos2(14rqlllrqU302cosrprUEr304sin1rpUrE8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题 8-21 图) 来说， (1) 相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2) 相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同证: 如题 8-21 图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1，2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载3，4题 8-21 图(1) 则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有0)(d32SSEs203说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；(2) 在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即0222204030201又20314说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同8-22 三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm2，A和B相距 4.0mm ，A与C相距 2.0 mm B，C都接地，如题8-22 图所示如果使A板带正电3.0 10-7C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少? 解: 如题 8-22 图示，令A板左侧面电荷面密度为1，右侧面电荷面密度为2题 8-22 图(1) ABACUU，即ABABACACEEdd2dd21ACABABACEE且1+2SqA得,32SqASqA321而7110232ACqSqCC10172SqB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载(2) 301103 .2ddACACACAEUV8-23 两个半径分别为1R和2R（1R2R) 的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计算：(1) 外球壳上的电荷分布及电势大小；(2) 先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；*(3) 再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量解: (1) 内球带电q；球壳内表面带电则为q, 外表面带电为q，且均匀分布，其电势题 8-23 图2202044ddRRRqrrqrEU(2) 外壳接地时，外表面电荷q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q所以球壳电势由内球q与内表面q产生：0442020RqRqU(3) 设此时内球壳带电量为q；则外壳内表面带电量为q，外壳外表面带电量为qq( 电荷守恒 ) ，此时内球壳电势为零，且0444202010RqqRqRqUA得qRRq21外球壳上电势220212020204444RqRRRqqRqRqUB8-24 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为Rd3处有一点电荷 +q，试求：金属球上的感应电荷的电量解: 如题 8-24 图所示，设金属球感应电荷为q，则球接地时电势0OU8-24 图由电势叠加原理有：OU034400RqRq精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载得q3q8-25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2 带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为0F试求：(1) 用带绝缘柄的不带电小球3 先后分别接触1，2 后移去，小球1，2 之间的库仑力；(2) 小球 3依次交替接触小球1， 2 很多次后移去，小球1，2 之间的库仑力解: 由题意知20204rqF(1) 小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电2qq, 小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电qq43此时小球1与小球2间相互作用力0022018348342FrqrqqF(2) 小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为32q. 小球1、2间的作用力00294432322FrqqF*8-26 如题 8-26 图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相距为d，分别维持电势AU=U，BU=0 不变现把一块带有电量q的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面积也是 S，片的厚度略去不计求导体薄片的电势解: 依次设A,C,B从上到下的6个表面的面电荷密度分别为1，2，3，4,5,6如图所示由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持UUAB可得以下6个方程题 8-26 图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载6543215432065430021001dUSqSqdUUCSSqBA解得Sq261SqdU2032SqdU2054所以CB间电场SqdUE00422)2d(212d02SqUEUUCBC注意：因为C片带电，所以2UUC，若C片不带电，显然2UUC8-27 在半径为1R的金属球之外包有一层外半径为2R的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r，金属球带电Q试求：(1) 电介质内、外的场强；(2) 电介质层内、外的电势；(3) 金属球的电势解: 利用有介质时的高斯定理qSDSd(1) 介质内)(21RrR场强3034,4rrQErrQDr内; 介质外)(2Rr场强3034,4rrQErQrD外 (2) 介质外)(2Rr电势rQEU0r4rd外介质内)(21RrR电势rdrdrrEEU外内精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载20204)11(4RQRrqr)11(420RrQrr (3) 金属球的电势rdrd221RRREEU外内22202044drRRRrrQdrrQ)11(4210RRQrr8-28 如题 8-28 图所示， 在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r的电介质 试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值解: 如题 8-28 图所示，充满电介质部分场强为2E，真空部分场强为1E，自由电荷面密度分别为2与1由0dqSD得11D，22D而101ED,202EDrd21UEErDD1212题 8-28 图题 8-29 图8-29 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为1R和2R(2R1R) ，且l2R-1R，两柱面之间充有介电常数的均匀电介质 . 当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时，求：(1) 在半径r处 (1Rr2R，厚度为dr ，长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；(2) 电介质中的总电场能量；(3) 圆柱形电容器的电容解: 取半径为r的同轴圆柱面)(S则rlDSDS2d)(当)(21RrR时，Qq精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载rlQD2(1) 电场能量密度2222282lrQDw薄壳中rlrQrlrlrQwW4dd28dd22222(2) 电介质中总电场能量211222ln44ddRRVRRlQrlrQWW(3) 电容：CQW22)/ln(22122RRlWQC*8-30 金属球壳A和B的中心相距为r，A和B原来都不带电 现在A的中心放一点电荷1q，在B的中心放一点电荷2q，如题 8-30 图所示试求：(1) 1q对2q作用的库仑力，2q有无加速度；(2) 去掉金属壳B，求1q作用在2q上的库仑力，此时2q有无加速度解: (1)1q作用在2q的库仑力仍满足库仑定律，即221041rqqF但2q处于金属球壳中心，它受合力为零，没有加速度(2) 去掉金属壳B，1q作用在2q上的库仑力仍是221041rqqF， 但此时2q受合力不为零，有加速度题 8-30 图题 8-31 图8-31 如题 8-31 图所示，1C=0.25F，2C=0.15F，3C=0.20F 1C上电压为 50V 求：ABU解: 电容1C上电量111UCQ电容2C与3C并联3223CCC其上电荷123QQ355025231123232CUCCQU精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载86)35251(5021UUUABV8-32 1C和2C两电容器分别标明“ 200 pF 、 500 V” 和“ 300 pF 、900 V ” ，把它们串联起来后等值电容是多少 ?如果两端加上1000 V? 解: (1) 1C与2C串联后电容1203002003002002121CCCCCpF(2) 串联后电压比231221CCUU，而100021UU6001UV,4002UV即电容1C电压超过耐压值会击穿，然后2C也击穿8-33 将两个电容器1C和2C充电到相等的电压U以后切断电源， 再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联试求：(1) 每个电容器的最终电荷；(2) 电场能量的损失解: 如题 8-33 图所示，设联接后两电容器带电分别为1q,2q题 8-33 图则2122112121201021UUUCUCqqUCUCqqqq解得 (1) 1qUCCCCCqUCCCCC21212221211)(,)(2) 电场能量损失WWW0)22()2121(2221212221CqCqUCUC221212UCCCC8-34 半径为1R=2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为2R=4.0cm 和3R=5.0cm，当内球带电荷Q=3.0 10-8C(1) 整个电场储存的能量；(2) 如果将导体壳接地，计算储存的能量；(3) 此电容器的电容值解: 如图，内球带电Q，外球壳内表面带电Q，外表面带电Q精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载题 8-34 图(1) 在1Rr和32RrR区域0E在21RrR时3014rrQE3Rr时3024rrQE在21RrR区域21d4)4(21222001RRrrrQW21)11(88d2102202RRRRQrrQ在3Rr区域323022200218d4)4(21RRQrrrQW总能量)111(83210221RRRQWWW41082.1J(2) 导体壳接地时，只有21RrR时304rrQE,02W4210211001.1)11(8RRQWWJ(3) 电容器电容)11/(422102RRQWC121049.4F精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页