十四章节达朗贝尔原理十四章节达朗贝尔原理oLmFvanFI第一节 惯性力惯性力 质点的达朗贝尔质点的达朗贝尔原理原理刚体作平面运动刚体作平面运动OABr 如如如如图图图图所所所所示示示示，滑滑滑滑轮轮轮轮的的的的半半半半径径径径为为为为r r，质质质质量量量量为为为为m m均均均均匀匀匀匀分分分分布布布布在在在在轮轮轮轮缘缘缘缘上上上上，可可可可绕绕绕绕水水水水平平平平轴轴轴轴转转转转动动动动。轮轮轮轮缘缘缘缘上上上上跨跨跨跨过过过过的的的的软软软软绳绳绳绳的的的的两两两两端端端端各各各各挂挂挂挂质质质质量量量量为为为为m m1 1和和和和m m2 2的的的的重重重重物物物物, ,且且且且m m1 1 m m2 2 。绳绳绳绳的的的的重重重重量量量量不不不不计计计计，绳绳绳绳与与与与滑滑滑滑轮轮轮轮之之之之间间间间无无无无相相相相对对对对滑滑滑滑动动动动，轴轴轴轴承承承承摩摩摩摩擦忽略不计。求重物的加速度。擦忽略不计。求重物的加速度。擦忽略不计。求重物的加速度。擦忽略不计。求重物的加速度。 例题例题例题例题2 2第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理a aa am m1 1g gm mg gm m2 2g gF FNN力学小魔术力学小魔术一根重为一根重为F F的均质杆简支于的均质杆简支于A,BA,B支座上，支座的反力支座上，支座的反力分别为分别为F/2F/2。如果突然将支座。如果突然将支座B B撤去，显然在重力矩撤去，显然在重力矩作用下作用下ABAB杆将绕杆将绕A A点顺时针转动而掉下。现在，允许点顺时针转动而掉下。现在，允许在在ABAB杆上采取一些措施，但不能对系统施加绕杆上采取一些措施，但不能对系统施加绕A A点的点的外力矩，使得在支座外力矩，使得在支座B B撤去后，撤去后，ABAB杆仍能维持水平而杆仍能维持水平而不掉下。你能做到吗？不掉下。你能做到吗？ 图图图图为为为为一一一一电电电电动动动动卷卷卷卷扬扬扬扬机机机机构构构构的的的的示示示示意意意意图图图图。已已已已知知知知起起起起动动动动时时时时电电电电动动动动机机机机的的的的平平平平均均均均驱驱驱驱动动动动力力力力矩矩矩矩为为为为MM，被被被被提提提提升升升升重重重重物物物物的的的的质质质质量量量量为为为为m m1 1 ，鼓鼓鼓鼓轮轮轮轮质质质质量量量量为为为为m m2 2 ，半半半半径径径径为为为为r r，它它它它对对对对中中中中心心心心的的的的回回回回转转转转半半半半径径径径为为为为 O O。试试试试求求求求起起起起动动动动时时时时重重重重物物物物的的的的平平平平均均均均加加加加速度速度速度速度a a和此时轴承和此时轴承和此时轴承和此时轴承O O的动约束力。的动约束力。的动约束力。的动约束力。x xy y MMr rm m1 1g ga aOm m2 2g g 例题例题例题例题3 3第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理F FI IF FOxOxF FOyOyMMI I例例例例 题题题题 3 3 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理 重重重重为为为为F FP P的的的的重重重重物物物物A A沿沿沿沿一一一一光光光光滑滑滑滑斜斜斜斜面面面面滑滑滑滑下下下下，借借借借无无无无重重重重而而而而不不不不可可可可伸伸伸伸长长长长的的的的软软软软绳绳绳绳带带带带动动动动重重重重为为为为F FP1P1，半半半半径径径径为为为为r r的的的的鼓鼓鼓鼓轮轮轮轮转转转转动动动动。求求求求鼓鼓鼓鼓轮轮轮轮的的的的角角角角加加加加速速速速度度度度. .斜斜斜斜面面面面的的的的倾倾倾倾角角角角为为为为 ，鼓鼓鼓鼓轮轮轮轮可可可可视视视视为为为为均均均均质质质质圆圆圆圆柱。滑轮柱。滑轮柱。滑轮柱。滑轮C C的质量和轴承摩擦可忽略不计。的质量和轴承摩擦可忽略不计。的质量和轴承摩擦可忽略不计。的质量和轴承摩擦可忽略不计。 例题例题例题例题4 4第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理 重重重重为为为为F FP P的的的的重重重重物物物物A A沿沿沿沿一一一一光光光光滑滑滑滑斜斜斜斜面面面面滑滑滑滑下下下下，借借借借无无无无重重重重而而而而不不不不可可可可伸伸伸伸长长长长的的的的软软软软绳绳绳绳带带带带动动动动重重重重为为为为F FP1P1，半半半半径径径径为为为为r r的的的的鼓鼓鼓鼓轮轮轮轮转转转转动动动动。求求求求鼓鼓鼓鼓轮轮轮轮的的的的角角角角加加加加速速速速度度度度. .斜斜斜斜面面面面的的的的倾倾倾倾角角角角为为为为 ，鼓鼓鼓鼓轮轮轮轮可可可可视视视视为为为为均均均均质质质质圆圆圆圆柱。滑轮柱。滑轮柱。滑轮柱。滑轮C C的质量和轴承摩擦可忽略不计。的质量和轴承摩擦可忽略不计。的质量和轴承摩擦可忽略不计。的质量和轴承摩擦可忽略不计。 例题例题例题例题4 4第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理 重重重重为为为为F FP P的的的的重重重重物物物物A A沿沿沿沿一一一一光光光光滑滑滑滑斜斜斜斜面面面面滑滑滑滑下下下下，借借借借无无无无重重重重而而而而不不不不可可可可伸伸伸伸长长长长的的的的软软软软绳绳绳绳带带带带动动动动重重重重为为为为F FP1P1，半半半半径径径径为为为为r r的的的的鼓鼓鼓鼓轮轮轮轮转转转转动动动动。求求求求鼓鼓鼓鼓轮轮轮轮的的的的角角角角加加加加速速速速度度度度. .斜斜斜斜面面面面的的的的倾倾倾倾角角角角为为为为 ，鼓鼓鼓鼓轮轮轮轮可可可可视视视视为为为为均均均均质质质质圆圆圆圆柱。滑轮柱。滑轮柱。滑轮柱。滑轮C C的质量和轴承摩擦可忽略不计。的质量和轴承摩擦可忽略不计。的质量和轴承摩擦可忽略不计。的质量和轴承摩擦可忽略不计。 例题例题例题例题4 4第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理设重物下滑距离为设重物下滑距离为S SS=r S=r 圆柱转过的角度圆柱转过的角度两边对时间求一次导数两边对时间求一次导数 滚滚滚滚子子子子A A，重重重重QQ，沿沿沿沿倾倾倾倾角角角角为为为为 的的的的斜斜斜斜面面面面滚滚滚滚动动动动而而而而不不不不滑滑滑滑动动动动，滑滑滑滑轮轮轮轮B B与与与与滚滚滚滚子子子子A A有有有有相相相相同同同同的的的的质质质质量量量量和和和和半半半半径径径径，且且且且均均均均可可可可看看看看作作作作均均均均值值值值圆圆圆圆盘盘盘盘。物物物物体体体体C C重重重重F FP P，求求求求滚滚滚滚子子子子中中中中心心心心的的的的加加加加速速速速度度度度。设设设设绳绳绳绳子子子子不不不不可可可可伸伸伸伸长长长长，其其其其重重重重量量量量可可可可略略略略而而而而不不不不计计计计，绳绳绳绳与与与与滑轮间无滑动。滑轮间无滑动。滑轮间无滑动。滑轮间无滑动。 例题例题例题例题5 5第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理 滚滚滚滚子子子子A A，重重重重QQ，沿沿沿沿倾倾倾倾角角角角为为为为 的的的的斜斜斜斜面面面面滚滚滚滚动动动动而而而而不不不不滑滑滑滑动动动动，滑滑滑滑轮轮轮轮B B与与与与滚滚滚滚子子子子A A有有有有相相相相同同同同的的的的质质质质量量量量和和和和半半半半径径径径，且且且且均均均均可可可可看看看看作作作作均均均均值值值值圆圆圆圆盘盘盘盘。物物物物体体体体C C重重重重F FP P，求求求求滚滚滚滚子子子子中中中中心心心心的的的的加加加加速速速速度度度度。设设设设绳绳绳绳子子子子不不不不可可可可伸伸伸伸长长长长，其其其其重重重重量量量量可可可可略略略略而而而而不不不不计计计计，绳绳绳绳与与与与滑轮间无滑动。滑轮间无滑动。滑轮间无滑动。滑轮间无滑动。 例题例题例题例题5 5第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理两边对时间求一次导数两边对时间求一次导数 滚滚滚滚子子子子A A，重重重重QQ，沿沿沿沿倾倾倾倾角角角角为为为为 的的的的斜斜斜斜面面面面滚滚滚滚动动动动而而而而不不不不滑滑滑滑动动动动，滑滑滑滑轮轮轮轮B B与与与与滚滚滚滚子子子子A A有有有有相相相相同同同同的的的的质质质质量量量量和和和和半半半半径径径径，且且且且均均均均可可可可看看看看作作作作均均均均值值值值圆圆圆圆盘盘盘盘。物物物物体体体体C C重重重重F FP P，求求求求滚滚滚滚子子子子中中中中心心心心的的的的加加加加速速速速度度度度。设设设设绳绳绳绳子子子子不不不不可可可可伸伸伸伸长长长长，其其其其重重重重量量量量可可可可略略略略而而而而不不不不计计计计，绳绳绳绳与与与与滑滑滑滑轮轮轮轮间无滑动。间无滑动。间无滑动。间无滑动。 例题例题例题例题5 5第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理 飞飞飞飞球球球球调调调调速速速速器器器器的的的的主主主主轴轴轴轴O O1 1y y1 1以以以以匀匀匀匀角角角角速速速速度度度度 转转转转动动动动。试试试试求求求求调调调调速速速速器器器器两两两两臂臂臂臂的的的的张张张张角角角角a a。设设设设重重重重锤锤锤锤C C的的的的质质质质量量量量为为为为m m1 1，飞飞飞飞球球球球A A，B B的的的的质质质质量量量量各各各各为为为为m m2 2，各各各各杆杆杆杆长长长长均均均均为为为为l l，杆杆杆杆重重重重可以忽略不计。可以忽略不计。可以忽略不计。可以忽略不计。 例题例题例题例题4 4第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理例例例例 题题题题 4 4 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理 球球球球磨磨磨磨机机机机是是是是一一一一种种种种破破破破碎碎碎碎机机机机械械械械，在在在在鼓鼓鼓鼓室室室室中中中中装装装装进进进进物物物物料料料料和和和和钢钢钢钢球球球球，如如如如图图图图所所所所示示示示。当当当当鼓鼓鼓鼓室室室室绕绕绕绕水水水水平平平平轴轴轴轴转转转转动动动动时时时时，钢钢钢钢球球球球被被被被鼓鼓鼓鼓室室室室携携携携带带带带到到到到一一一一定定定定高高高高度度度度，此此此此后后后后脱脱脱脱离离离离壳壳壳壳壁壁壁壁而而而而沿沿沿沿抛抛抛抛物物物物线线线线轨轨轨轨迹迹迹迹落落落落下下下下，最最最最后后后后与与与与物物物物料料料料碰碰碰碰撞撞撞撞以以以以达达达达到到到到破破破破碎碎碎碎的的的的目目目目的的的的。如如如如已已已已知知知知鼓鼓鼓鼓室室室室的的的的转转转转速速速速为为为为n n rpmrpm，直直直直径径径径为为为为D D。设设设设钢钢钢钢球球球球与与与与壳壳壳壳壁壁壁壁间间间间无无无无滑滑滑滑动动动动，试试试试求求求求最最最最外外外外层层层层钢钢钢钢球球球球的的的的脱离角脱离角脱离角脱离角 。 例题例题例题例题5 5第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理m mg gF FN NF FF FI I 如如如如图图图图所所所所示示示示一一一一圆圆圆圆锥锥锥锥摆摆摆摆。质质质质量量量量m m = = 0.1 0.1 kgkg的的的的小小小小球球球球系系系系于于于于长长长长l l = = 0.3 0.3 m m 的的的的绳绳绳绳上上上上，绳绳绳绳的的的的一一一一端端端端系系系系在在在在固固固固定定定定点点点点O O，并并并并与与与与铅铅铅铅直直直直线线线线成成成成 =60=60 角角角角。如如如如小小小小球球球球在在在在水水水水平平平平面面面面内内内内作作作作匀匀匀匀速速速速圆圆圆圆周周周周运运运运动动动动，求求求求小小小小球球球球的的的的速速速速度度度度v v与与与与绳绳绳绳的的的的张张张张力力力力F F的的的的大大大大小。小。小。小。 O Ol l 例例例例 题题题题 6 6 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理 均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r，一绳绕于可绕固定轴O转动的圆柱体A上，绳的另一端绕在圆柱B上，求B下落的质心的加速度，摩擦不计。 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理acacatc 滚子A，重Q，沿倾角为的斜面滚动而不滑动，滑轮B与滚子A有相同的质量和半径，且均可看作均质圆盘，物体C重P，求滚子中心的加速度，设绳子不可伸长，其重量可略而不计，绳与滑轮间无滑动。 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理aaNFAIMAIMBIFCI例例例例 题题题题 6 6 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理解：解：解：解：O Ol l e en ne et te eb bm mg gF FF*F*例例例例 题题题题 6 6 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理O Ol l e en ne et te eb bm mg gF FF*F*例例例例 题题题题 6 6 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理 半半半半径径径径为为为为R R，重重重重量量量量为为为为WW1 1的的的的大大大大圆圆圆圆轮轮轮轮，由由由由绳绳绳绳索索索索牵牵牵牵引引引引，在在在在重重重重量量量量为为为为WW2 2的的的的重重重重物物物物A A的的的的作作作作用用用用下下下下，在在在在水水水水平平平平地地地地面面面面上上上上作作作作纯纯纯纯滚滚滚滚动动动动，系系系系统统统统中中中中的的的的小小小小圆轮重量忽略不计。求大圆轮与地面之间的滑动摩擦力。圆轮重量忽略不计。求大圆轮与地面之间的滑动摩擦力。圆轮重量忽略不计。求大圆轮与地面之间的滑动摩擦力。圆轮重量忽略不计。求大圆轮与地面之间的滑动摩擦力。A AO OC CWW1 1WW2 2R R例例例例 题题题题 7 7 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理例例例例 题题题题 7 7 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理 解：解：解：解：A AO OC CWW1 1WW2 2R RF FF FN NF FOxOxF FOyOy例例例例 题题题题 7 7 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理A AO OC CWW1 1WW2 2R RF FF FN NF FOxOxF FOyOy例例例例 题题题题 7 7 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理C CF FF FN NJ JJC CC WW1 1a aF FOxOxA AO OC CWW1 1WW2 2R RF FF FN NF FOyOy例例例例 题题题题 7 7 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理 起起起起重重重重装装装装置置置置由由由由匀匀匀匀质质质质鼓鼓鼓鼓轮轮轮轮D D（半半半半径径径径为为为为R R，重重重重为为为为WW1 1）及及及及均均均均质质质质梁梁梁梁ABAB（长长长长l l= =4 4R R，重重重重WW2 2= =WW1 1）组组组组成成成成，鼓鼓鼓鼓轮轮轮轮通通通通过过过过电电电电机机机机C C（质质质质量量量量不不不不计计计计）安安安安装装装装在在在在梁梁梁梁的的的的中中中中点点点点，被被被被提提提提升升升升的的的的重重重重物物物物E E重重重重 。电电电电机机机机通通通通电电电电后后后后的的的的驱驱驱驱动动动动力力力力矩矩矩矩为为为为MM，求求求求重重重重物物物物E E上上上上升升升升的的的的加加加加速速速速度度度度a a及及及及支座支座支座支座A A，B B的约束力的约束力的约束力的约束力F FN NA A及及及及F FN NB B。OABACDE例例例例 题题题题 8 8 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理解：解：解：解：O(b)WWMMO OD DEWW1 1(b)F FOxOxF FOyOy例例例例 题题题题 8 8 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题OAB(b)WWWW2 2F FN NA AACDEF FN NB BWW1 1(c)F Fx xM*M*F*F*例例例例 题题题题 8 8 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理 用用用用长长长长 l l 的的的的两两两两根根根根绳绳绳绳子子子子 AOAO 和和和和 BO BO 把把把把长长长长 l l ，质质质质量量量量是是是是 m m 的的的的匀匀匀匀质质质质细细细细杆杆杆杆悬悬悬悬在在在在点点点点 O O ( (图图图图 a a ) )。当当当当杆杆杆杆静静静静止止止止时时时时，突突突突然然然然剪剪剪剪断断断断绳绳绳绳子子子子 BOBO ，试求刚剪断瞬时另一绳子试求刚剪断瞬时另一绳子试求刚剪断瞬时另一绳子试求刚剪断瞬时另一绳子 AOAO 的拉力。的拉力。的拉力。的拉力。Ol ll ll lBAC（a a）例例例例 题题题题 9 9 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理例例例例 题题题题 9 9 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理解：解：解：解：a aaA AA = = a a an nnA AA + + + a aatttA AA= = = a aaCxCxCx + + + a aaCyCyCy + + + a aatttACACAC + + + a aan nnACACACOl ll lBACm mg gF F（b b）O Ox xy y B BA AC C（c c）例例例例 题题题题 9 9 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理a an nACAC = = AC AC 2 2 = 0= 0a at tACAC = = l l 2 2例题例题 5-7（b b）（c c）O Ox xy y B BA AC COl ll lBACm mg gF F（b b）（c c）例例例例 题题题题 9 9 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理F F* *Cx Cx = = mamaCx , Cx , F F* *Cy Cy = ma= maCyCyM*M*C C = = J JCzCz O Ox xy y B BA AC COl ll lBACm mg gF Fx xy y（b b）（c c）例例例例 题题题题 9 9 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理 J JCzCz = = ml ml 2 212 12 （2 2）（3 3）（4 4）例例例例 题题题题 9 9O Ox xy y B BA AC COl ll lBACm mg gF Fx xy y 例题例题例题例题第第第第1414章章章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！74