课件制作：肖萍课件制作：肖萍 赵庆华赵庆华 李丹衡李丹衡1二、二、 作业选讲作业选讲三、三、 典型例题典型例题四、四、 课堂练习课堂练习一、一、 内容总结内容总结2z=z(x, y)oxyz一、内容总结一、内容总结1 1、曲面的侧与有向曲面曲面的侧与有向曲面 曲面有双侧和单侧之分曲面有双侧和单侧之分, 通常总假设所讨论的曲面通常总假设所讨论的曲面是光滑的双侧曲面是光滑的双侧曲面. 下侧下侧y=y(x, z)oxyz右侧右侧左侧左侧上侧上侧x=x(y, z)oxyz后侧后侧前侧前侧oxyz外侧外侧内侧内侧相对与坐标轴的正方向而言相对与坐标轴的正方向而言,由方程由方程z=z(x, y)表示的曲面有上侧与下侧之分表示的曲面有上侧与下侧之分;由方程由方程y=y(x, z)表示的曲面有右侧与左侧之分表示的曲面有右侧与左侧之分;由方程由方程x=x(y, z)表示的曲面有前侧与后侧之分表示的曲面有前侧与后侧之分;一张闭曲面有外侧与内侧之分一张闭曲面有外侧与内侧之分.3z=z(x, y)oxyz一、内容总结一、内容总结1、曲面的侧与有向曲面曲面的侧与有向曲面 曲面有双侧和单侧之分曲面有双侧和单侧之分, 通常总假设所讨论的曲通常总假设所讨论的曲面是光滑的双侧曲面面是光滑的双侧曲面. 下侧下侧y=y(x, z)oxyz右侧右侧左侧左侧上侧上侧x=x(y, z)oxyz后侧后侧前侧前侧oxyz外侧外侧内侧内侧 曲面的侧用曲面上法向量曲面的侧用曲面上法向量n的指向来规定的指向来规定, 如果规如果规定一侧为正向定一侧为正向, 则另一侧为负向则另一侧为负向. 指定了侧的曲面叫有向曲面指定了侧的曲面叫有向曲面, 通常用通常用(- )表示与曲表示与曲面面 的正向相反的同一曲面的正向相反的同一曲面.4一、内容总结一、内容总结2、对面积的、对面积的曲面积分曲面积分 在光滑曲面在光滑曲面 上上有界的函数有界的函数f (x, y, z)在曲面在曲面 上对上对面积的面积的曲面积分或第一类曲面积分定义为曲面积分或第一类曲面积分定义为 对面积的对面积的曲面积分与曲面曲面积分与曲面方向无关方向无关. 如果曲面如果曲面 的方程为的方程为z=z (x, y), 在在xOy面面上的投影上的投影区域为区域为Dxy, 则对面积的则对面积的曲面积分可化为二重积分曲面积分可化为二重积分:一代一代: 将将f (x, y, z)中的中的z代以曲面代以曲面 的方程的方程z=z (x, y);二换二换: 将曲面面积元素将曲面面积元素dS代换为代换为三投影三投影: 将将 投影投影到到xOy面面上上, 得投影区域得投影区域Dxy,5一、内容总结一、内容总结2、对面积的、对面积的曲面积分曲面积分注意注意:上述上述一代二换三投影化曲面积分为二重积分一代二换三投影化曲面积分为二重积分的步骤的步骤,曲面曲面 必须是必须是单值函数单值函数, 若若 不满足不满足单值条件单值条件, 可将其分成可将其分成几块几块,使得在每一块上为单值函数使得在每一块上为单值函数,然后用可加性化作在每然后用可加性化作在每一块上的曲面积分来进行计算一块上的曲面积分来进行计算.如果曲面如果曲面 方程为方程为x=x(y, z), (y, z) Dyz, 则则如果曲面如果曲面 方程为方程为y=y(x, z), (x, z) Dxz, 则则6一、内容总结一、内容总结2、对坐标的、对坐标的曲面积分曲面积分 在在有向有向光滑曲面光滑曲面 上上定义的一个定义的一个向量场向量场A=(P (x, y, z),(Q (x, y, z), (R (x, y, z)在此有向曲面在此有向曲面 上对坐标的上对坐标的曲面曲面积分或第二类曲面积分定义为积分或第二类曲面积分定义为 称为称为Q 在有向曲面在有向曲面 上对上对 z, x 的曲面积分的曲面积分;称为称为R 在有向曲面在有向曲面 上对上对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为称为P 在有向曲面在有向曲面 上对上对 y, z 的曲面积分的曲面积分;7一、内容总结一、内容总结3、对坐标的、对坐标的曲面积分曲面积分如果如果 为为z=z(x, y), (x, y) Dxy, 取上侧取上侧, R(x,y,z) C( ), 则则如果如果 取下侧取下侧, 则则如果如果 为为x=x(y, z), (y, z) Dyz, P(x,y,z) C( ), 则则(前正后负前正后负)如果如果 为为y=y(x, z), (x, z) Dxz, Q(x,y,z) C( ), 则则(右正左负右正左负)一代二投三定号一代二投三定号8一、内容总结一、内容总结4、两类、两类曲面积分曲面积分的联系的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画曲面的方向用法向量的方向余弦刻画令令向量形式向量形式( A 在在 n 上的投影上的投影)9二、二、作业选讲作业选讲练习练习4.7 三三 计算计算其中其中 为锥面为锥面被柱面被柱面x2+y2=2ax所截的部分所截的部分. 解解:oxyz曲面曲面 关于关于xOz面对称面对称, 其第一卦限部分如图其第一卦限部分如图.因为因为 :曲面曲面 在在xOy的投影区域为的投影区域为10二、二、作业选讲作业选讲练习练习4.7 三三 计算计算其中其中 为锥面为锥面被柱面被柱面x2+y2=2ax所截的部分所截的部分. oxyz11二、二、作业选讲作业选讲练习练习4.8 四四 计算计算其中其中 为球面为球面的上半部分上侧的上半部分上侧.oxyz解解:类似地类似地,有有所以所以,12三、典型例题三、典型例题例例计算曲面积分计算曲面积分其中其中 为为上半上半球面球面而而解解: 在在的部分记作的部分记作 1,其余部其余部分记作分记作 2, 1在在xoy面上投影为面上投影为于是于是, 1 213三、典型例题三、典型例题例例2计算曲面积分计算曲面积分其中其中 为圆锥面的一部分为圆锥面的一部分 为常数为常数, 且且解解: 的直角坐标方程为：的直角坐标方程为： 在在xoy面上投影为面上投影为于是于是, xyzo14三、典型例题三、典型例题例例3计算曲面积分计算曲面积分其中其中 为介于平面为介于平面z=0及及z=H之间的圆柱面之间的圆柱面x2+y2=R2.解解: 在在yoz面上投影为面上投影为又又 在在Dyz上的显式方程为上的显式方程为故积分要分前后两个部分的曲面积分故积分要分前后两个部分的曲面积分.15三、典型例题三、典型例题例例4计算计算其中其中 为旋转抛物面为旋转抛物面z=x2+y2上上解解1:的部分取下侧的部分取下侧. 类似地类似地,所以所以,16三、典型例题三、典型例题例例4计算计算其中其中 为旋转抛物面为旋转抛物面z=x2+y2上上解解: 由对称性，由对称性，的部分取下侧的部分取下侧. 于是于是所以所以,17三、典型例题三、典型例题例例5计算曲面积分计算曲面积分其中其中 为为解解:的外表面的外表面. 由对称性可得由对称性可得注注: 由于由于x=0, y=0, z=0是间断面是间断面, 本题不能用本题不能用Gauss公式公式. 18三、典型例题三、典型例题例例6计算计算其中其中 为为平面平面 x-y+z=1在第在第IV卦限部分的上侧卦限部分的上侧. 解解: 为一平面为一平面, 因而容易将第二类曲面积分转化为第一因而容易将第二类曲面积分转化为第一类曲面积分类曲面积分, 平面平面 的法向量的法向量 其方向余弦为其方向余弦为 于是于是19三、典型例题三、典型例题例例7计算曲面积分计算曲面积分抛物面抛物面取下侧取下侧. 其中其中 为旋转为旋转解解: 利用两类曲面积分的联系利用两类曲面积分的联系, 有有20四、课堂练习四、课堂练习练习练习1: 计算曲面积分计算曲面积分其中其中 是是x=0, y=0及及x2+y2+z2=a2所围成的闭曲面所围成的闭曲面. 答案：答案： 练习练习2: 计算曲面积分计算曲面积分其中其中 是圆柱面是圆柱面x2+y2=2被平面被平面x+z=2和和z=0所截出部分的外侧所截出部分的外侧.答案：答案： 21Thank you!22