初二数学期末专题复习之菱形一、知识点梳理（一）四边形的相关概念1、四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。2、凸四边形把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。3、对角线在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。4、四边形的不稳定性三角形的三边如果确定后， 它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后， 它的形状不能确定， 这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。5、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360。四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360。推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于?)2(n180；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360。6、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为2)3(nn。（二）平行四边形1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“ ABCD ”表示，如平行四边形ABCD 记作“ ABCD ” ，读作“平行四边形 ABCD ” 。2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。（2）平行四边形的对边平行且相等。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。（3）平行四边形的对角线互相平分。（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。（5）中心对称图形，对称中心是对角线的交点。3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 32 页4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。（4）两条平行线之间的距离两条平行线中， 一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离平行线间的距离处处相等注意： (1) 距离是指垂线段的长度，是正值5、平行四边形的面积： S平行四边形=底边长高 =ah （三）矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形注：用矩形的性质可以证明线段相等或倍分、直线平行、角相等等3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形结论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。注意：用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形用定理 2 证明一个四边形是矩形， 也必须满足两个条件： 一是对角线相等； 二是平行四边形 也就说明： 两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形4、矩形的面积： S矩形=长宽 =ab （四）菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 32 页（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理 1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形利用菱形的性质及判定可以证明线段相等及倍分、角相等及倍分、 直线平行、垂直，以及证明一个四边形是菱形和有关计算4、菱形的面积S菱形=底边长高 =两条对角线乘积的一半菱形的计算转化为 _ 三角形（五）正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图：2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4 条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3 、正方形的判定判定一：一组邻边相等的矩形是正方形；判定二：一个角是直角的菱形是正方形判定三：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；判定四：即是矩形又是菱形的四边形是正方形。（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 32 页先证它是菱形，再证有一个角是直角。（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形） ；最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积设正方形边长为 a，对角线长为 b S正方形=222ba（六）梯形1、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。梯形的两底的距离叫做梯形的高。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分类如下：一般梯形梯形直角梯形特殊梯形等腰梯形2、梯形的判定（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。3、等腰梯形的性质（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。（3）等腰梯形的对角线相等。（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。4、等腰梯形的判定（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。5、梯形的面积（1）（上底 +下底）?高2（2）梯形中位线?高（3）一腰中点到对腰的距离乘以此对腰的长S梯 ABCD=BCEF?（如右图）SOS0S2S1FEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 32 页（4）如右图212()ABCDsSS梯（现记住结论就行了）（2）梯形中有关图形的面积：BACABDSS；BOCAODSS；BCDADCSS6、梯形中位线定理梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。7、解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：梯形的常见辅助线的添加方法：作高、平移腰、延腰、平移对角线、等积变化（当然不要忘了根据条件灵活添加辅助线）。通过添加辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 32 页“作高”：使两腰在两个直角三角形中“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中“廷腰”：构造具有公共角的两个三角形“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形综上，解决梯形问题的基本思路：梯形问题分割、拼接转化三角形或平行四边形问题，这种思路常通过平移或旋转来实现（七）各个四边形之间的关系（1）知识框架 8、中心对称图形（2）几种特殊四边形的性质边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等两条对角线互相平分矩形对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相平分且相等菱形对边平行四边相等对角相等两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角正方形对边平行四边相等四个角都是直角两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角（3）几种特殊四边形的常用判定方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 32 页平行四边形（ 1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（ 4）两条对角线互相平分；（5）两组对角分别相等。矩形（ 1）有三个是直角；（2）是平行四边形且有一个角是直角；（ 3）是平行四边形且两条对角线相等。菱形（ 1）四条边都相等；（2）是平行四边形且有一组邻边相等；（ 3）是平行四边形且两条对角线互相垂直。正方形（ 1）是矩形，且有一组邻边相等；（2）是菱形，且有一个角是直角。（八）中心对称图形(1）把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称（中心对称）；(2) 把一个图形绕它的某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。性质： (1) 关于中心对称的两个图形是全等形； (2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分； (3)如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。注： (1) 以下图形是中心对称图形：直线、线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形等。 (2)以下图形不是中心对称图形：射线、角、三角形、等边三角形、等腰三角形等。 (3)特别注意：平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形。对比轴对称图形与中心对称图形：轴对称图形中心对称图形有一条对称轴直线有一个对称中心点沿对称轴对折绕对称中心旋转180O对折后与原图形重合旋转后与原图形重合（九）主要思想方法小结1、转化思想（又叫化归思想）转化思想就是将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想，本章应用化归思想的内容主要有两个方面：（1） 四边形问题转化为三角形问题来处理（2） 梯形问题转化为三角形和平行四边形来处理2、代数法（计算法）代数法是用代数知识来解决几何问题的方法，也就是说运用几何定理、法则，通过列方程、方程组或不等式及解方程、方程组、恒等变形等代数方法，把几何问题转化成代数问题来解决的方法3、变换思想即运用平移变换、旋转变换、对称变换等方法来构造图形解决几何问题（十）应注意的几个问题1、不能把判定方法与性质混淆，应加深对判定方法中条件的理解，重视判定方法中的基本图形， 不要用性质代替了判别 解题时不能想当然， 更不要忽视重要步骤精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 32 页2、在判别一个四边形是正方形时，容易忽视某个条件，致使判断失误，要避免这种错误的产生就必须认真熟记正方形的定义、特征和识别方法， 认真区别各个特征、识别方法的条件，不要忽略隐含条件，避免错误的产生3、判别一个四边形是等腰梯形时，不要忽略了先判别四边形是梯形，对梯形的概念、性质、判定认识要清4、纵横对比，分清各种四边形的从属关系，抓住其概念的内涵5、复习时，依然从边、角、对角线、对称性等角度来理解和应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，注意对问题的观察、分析与总结（十一）几何证明思路精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 32 页。（十三）做辅助线法则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 32 页二、考点及题型考点 1 与菱形有关的计算问题1、如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O 点，E，F 分别是 AB，BC 边上的中点，连结 EF.若 EF3，BD4，则菱形 ABCD 的周长为 ()A4 B4 6 C4 7 D28解析有三角形的中位线的性质可得AC2EF2 3，再由菱形的性质可得OA3，BO2，所以 AB（3）2227，所以周长 4AB4 7.2如图，四边形 ABCD 是菱形， AC=8，DB=6，DHAB 于 H，则 DH=（）ABC12 D24精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 32 页【分析】 设对角线相交于点 O，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可【解答】 解：如图，设对角线相交于点O，AC=8，DB=6，AO=AC= 8=4，BO=BD= 6=3，由勾股定理的， AB=5，DHAB，S菱形ABCD=AB?DH=AC?BD，即 5DH= 8 6，解得 DH=故选 A3、如图，矩形 ABCD 中，AB8，BC4.点 E 在边 AB上，点 F 在边 CD 上，点G，H 在对角线 AC 上若四边形 EGFH 是菱形，则 AE 的长是（）A2 5 B3 5 C5 D6解析连结 EF 交 AC 于 O，由四边形 EGFH 是菱形，得到 EFAC，OEOF，由于四边形ABCD 是矩形，得到 BD90， ABCD，通过CFOAEO，得到 AOCO，求出 AO12AC2 5，根据AOEABC，即可得到结果4、如图，矩形 ABCD 中，AB8，点 E 是 AD 上的一点，有 AE4，BE 的垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 32 页平分线交 BC 的延长线于点 F，连结 EF 交 CD 于点 G，若 G 是 CD 的中点，则 BC 的长是 _解析因为G 是 CD 的中点，所以DGCG4.在DGE 与CGF 中，DGCF，DGCG，EGDFGC，所以DGECGF.所以 CFDE， FGEG.令 BCADx，则 CFDEx4，所以 BF2x4，在 RtDGE 中，根据勾股定理可得 EGED2DG2（x4）242.又因为 HF 垂直平分 BE，所以 EFBF，BF2(2EG)2，所以 (2x4)24(x4)242，解得 x7，故答案为 7. 训练 1 训练 2 如图，在菱形 ABCD 中，过点 B 作 BEAD，BFCD，垂足分别为 E，F，延长 BD 至 G，使得 DG=BD，连接 EG，FG，若 AE=DE，则EGAB=_【逐步提示】设出菱形的边长，根据题意确定菱形中各线段的长度，连接EF，通过勾股定理确定EG 的长，最后求得比值【解析】因为 DG=BD，所以 AB=AD=CB=CD=BD ，所以 ABD=60 ，又 BEAD， ，所以 EBD=30 ，连接 EF，交 DB 于 H，则 EH=32，DH=12，HG=52，由勾股定理得 EG=7，所以EGAB=72精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 32 页【解后反思】题目当中没有数据，设出线段的长度可利于题目的计算，线段的长度的确定以利用以利于计算为标准，构造辅助线是解题的关键训练 2 如图，四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都是菱形，其中点C 在 AF 上，点E， G 分别在 BC， CD 上， 若BAD135， EAG75， 则ABAE_解析作 EHAB 于 H，由对称性知，图形关于AF 对称，BAEDAG12(BADEAG)30， B180 BAD45.在 RtBHE 中，BBEH45，设 BHx， 则 EHBHx， 在 RtEHA中，BAE30，则 AE2HE2x，AHAE2EH2（2x）2x23x.ABBHAHx3x，故ABAEx3x2x132.5、如图，菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3，A=120，则阴影部分的面积是（）A B2 C3 D解：如图，设 BF、CE相交于点 M ，32精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 32 页菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3，BCM BGF ，即。解得 CM=1.2 。DM=2 1.2=0.8 。A=120 ， ABC=180 120=60。菱形 ABCD 边 CD上的高为 2sin60 =2，菱形 ECGF 边 CE上的高为 3sin60 =3。阴影部分面积 =SBDM+SDFM=0.8+0.8。故选A。考点 2 线段的最值问题1、如图，菱形 ABCD 中，AB =2，A=120，点 P，Q ，K分别为线段 BC ，CD ，BD上的任意一点，则PK +QK的最小值为 ( B ) A1 B C 2 D 1 【解析】如图4-2，点 Q 关于直线BD 的对称点为Q，在 KPQ中， PKQK 总是 大于 PQ 的如图 4-3，当点 K 落在 PQ上时， PKQK 的最小值为PQ如图 4-4， PQ的最小值为 Q H，Q H 就是菱形ABCD 的高， QH3 这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短图4-2 图4-3 图 4-4CMBCGFBGCM232+333233 322123123 33233精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 32 页训练 1 如图，边长为 4 的正方形 ABCD ，点 P 是对角线 BD 上一动点，点 E 在边 CD 上，EC1，则 PCPE 的最小值是 5 训练 2 在菱形 ABCD 中， AB=2，ADC= 120 ，M 是 AB 的中点， P 为对角线BD 上的一动点，在运动过程中，记AP+MP 的最大值为S,最小值为T，则22TS的值为训练 3 如图， 在边长为2 的菱形ABCD中，A=60，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到MNA，连接CA, 则CA长度的最小值是 _7-1_. 2、如图 9-1，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8点 E 是 BC 边上的点， 连结 AE，过点 E 作 AE 的垂线交AB 边于点 F，求 AF 的最小值CBDAMP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 32 页图 9-1【解析】如图9-2，设 AF 的中点为D，那么 DADE DF所以 AF 的最小值取决于DE 的最小值如图 9-3，当 DEBC 时， DE 最小设DADEm，此时 DB53m由 AB DADB ，得5103mm解得154m此时 AF1522m图 9-2 图 9-3方法小结：两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流” （如图 1） 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图 2） 两条线段差的最大值问题， 一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长如图3，PA 与 PB 的差的最大值就是 AB，此时点 P 在 AB 的延长线上，即 P 图 1 图 2 图 3注：解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便考点 3 菱形的证明1、已知：如图，在正方形ABCD 中，点 E、F 分别在 BC和 CD上，AE = AF （1）求证： BE = DF ；（2）连接 AC交 EF于点 O ，延长 OC至点 M ，使 OM = OA ，连接 EM 、FM 判断四边形 AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 32 页训练已知：如图，在矩形ABCD 中，点 E在边 AD上，点 F 在边 BC上，且 AE=CF ，作EG FH ，分别与对角线BD交于点 G、H ，连接 EH ， FG （1）求证： BFH DEG ；（2）连接 DF，若 BF=DF ，则四边形EGFH 是什么特殊四边形？证明你的结论【考点】 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定【分析】 （1）由平行四边形的性质得出AD BC ， AD=BC ，OB=OD ，由平行线的性质得出FBH= EDG ，OHF= OGE ，得出 BHF= DGE ，求出BF=DE ，由 AAS即可得出结论；（2）先证明四边形EGFH是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出EF GH ，即可得出四边形 EGFH 是菱形【解答】 （1）证明：四边形ABCD是平行四边形， AD BC ， AD=BC ，OB=OD ，FBH= EDG ，AE=CF ，BF=DE ，EG FH ， OHF= OGE ， BHF= DGE ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 32 页在BFH和DEG中，BFH DEG （ AAS ）；（2）解：四边形EGFH 是菱形；理由如下：连接DF ，如图所示：由（ 1）得： BFH DEG ，FH=EG ，又 EG FH ，四边形EGFH是平行四边形，BF=DF ， OB=OD ，EF BD ，EF GH ，四边形EGFH 是菱形考点 4 图形的平移和旋转（与三角形的综合）1、如图，在菱形ABCD 中， DAB=60，点 E 为 AB 边上一动点（与点A，B 不重合），连接CE，将 ACE 的两边所在射线CE，CA 以点 C 为中心，顺时针旋转120，分别交射线AD 于点 F， G.（1）依题意补全图形；（2）若 ACE=，求 AFC 的大小（用含的式子表示）；（3）用等式表示线段AE、AF 与 CG 之间的数量关系，并证明（1）补全的图形如图所示.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 32 页（2）解：由题意可知，ECF= ACG= 120. FCG= ACE= .四边形 ABCD 是菱形， DAB= 60 ， DAC= BAC= 30 . 2 分 AGC= 30. AFC = + 30.3 分（3）用等式表示线段AE、AF 与 CG 之间的数量关系为CGAFAE3.证明：作CHAG 于点 H.由（ 2）可知 BAC= DAC= AGC= 30.CA=CG.5 分HG =21AG. ACE = GCF ， CAE = CGF， ACE GCF. 6 分AE =FG . 在 RtHCG 中，.23cosCGCGHCGHGAG =3CG. 7 分即 AF+AE =3CG.训练 如图 1，在菱形 ABCD 中，AC=2 ，BD=3 ，AC ，BD相交于点 O （1）求边 AB的长；（2）如图 2，将一个足够大的直角三角板60角的顶点放在菱形ABCD 的顶点 A处，绕点 A左右旋转，其中三角板60角的两边分别与边BC ，CD相交于点 E，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 32 页F，连接 EF与 AC相交于点 G 判断 AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；旋转过程中，当点E为边 BC的四等分点时（ BE CE ） ，求 CG的长解： （1）四边形 ABCD 是菱形， AOB 为直角三角形，且 OA= AC=1 ，OB=BD= 3。在 RtAOB中，由勾股定理得： AB=。（2）AEF是等边三角形。理由如下：由（1）知，菱形边长为 2，AC=2 ，ABC 与ACD均为等边三角形。BAC= BAE+ CAE=60 。又EAF= CAF+ CAE=60 ， BAE= CAF 。在 ABE 与 ACF 中 ， BAE= CAF ， AB=AC=2 ，EBA= FCA=60 ，ABE ACF （ ASA ） 。AE=AF 。AEF是等腰三角形。又EAF=60 ， AEF是等边三角形。BC=2 ，E为四等分点，且BE CE ，CE= ，BE= 。由知 ABE ACF ，CF=BE= 。EAC+ AEG+ EGA= GFC+ FCG+ CGF=180（三角形内角和定理） ，AEG= FCG=60 （等边三角形内角）， EGA= CGF（对顶角），EAC= GFC 。12122222OAOB1( 3)2123232精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 32 页在CAE与CFG中， EAC= GFC ，ACE= FCG=60 ，CAE CFG 。，即。解得： CG= 。【考点】旋转的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】 （1）根据菱形的性质，确定AOB 为直角三角形，然后利用勾股定理求出边 AB的长度。（2）确定一对全等三角形ABE ACF ，得到 AE=AF ，再根据已知条件EAF=60 ，可以判定 AEF是等边三角形。确定一对相似三角形 CAE CFG ，由对应边的比例关系求出CG的长度。【解后反思】 对于旋转相关问题，要始终注意旋转的性质，即： （1）旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的位置。也就是旋转前后图形全等；（2）对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角，旋转角都相等 故旋转问题要注意旋转角度和旋转前后的对应边， 这些相等问题都是进一步解题的基础此类问题容易出错的地方是不会利用旋转的性质, 特别是对于第（4）问画不出相应图形中的辅助线而导致不会求解考点 5 与平行四边形的综合1、在平行四边形 ABCD 中，AC 、BD交于点 O ，过点 O作直线 EF、GH ，分别交平行四边形的四条边于E、G 、F、H四点，连结 EG 、GF 、FH 、HE . （1）如图，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图，当 EFGH时，四边形 EGFH 的形状是；（3）如图，在（2）的条件下，若 AC =BD ，四边形 EGFH 的形状是；（4）如图，在（ 3）的条件下，若 AC BD ，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由 . CGCFCECA3CG212238HGFEODCBA图HGFEODCBA图ABCDOEFGH图ABCDOEFGH图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 32 页2、已知 , 矩形ABCD中, AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F, 垂足为O. (1)如图 10-1, 连接AF、CE. 求证四边形AFCE为菱形 , 并求AF的长；(2) 如图 10-2, 动点P、Q分别从A、C两点同时出发 , 沿AFB和CDE各边匀速运动一周 . 即点P自AFBA停止, 点Q自CDEC停止. 在运动过程中 , 已知点P的速度为每秒 5cm, 点Q的速度为每秒 4cm, 运动时间为t秒, 当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时, 求t的值. 若点P、Q的运动路程分别为 a、b( 单位:cm,0ab), 已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形, 求 a与 b满足的数量关系式 . ABCDEF图 10- 1O图 10- 2ABCDEFPQ备用图ABCDEFPQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 32 页(2) 显然当P点在AF上时,Q点在CD上, 此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形 ; 同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上, 也不能构成平行四边形 . 因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时, 才能构成平行四边形以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时, 点P的速度为每秒 5cm, 点Q的速度为每秒 4cm, 运动时间为t秒以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时, ABCDEFPQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 32 页三、巩固训练1、如图，在 ABC 中， DE 分别是 AB ，AC 的中点， BE=2DE ，延长 DE 到点 F，使得EF=BE ，连 CF（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若 CE=6， BEF=120 ，求菱形BCFE 的面积【考点】 菱形的判定与性质【分析】 （1）从所给的条件可知，DE 是ABC 中位线，所以DE BC 且 2DE=BC ，所以BC 和 EF 平行且相等，所以四边形BCFE 是平行四边形，又因为BE=FE，所以是菱形；（2）由 BEF 是 120 ，可得 EBC 为 60 ，即可得 BEC 是等边三角形，求得BE=BC=CE=6 ，再过点E 作 EGBC 于点 G，求的高EG 的长，即可求得答案ABCDEFPQABDEFPQCABCDEFPQ图 1图 2图 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 32 页【解答】 （1）证明： D、E 分别是 AB、AC 的中点， DE BC 且 2DE=BC ，又 BE=2DE ， EF=BE，EF=BC ，EFBC， 四边形 BCFE 是平行四边形，又 BE=EF ， 四边形 BCFE 是菱形；（2）解： BEF=120 ， EBC=60 ， EBC 是等边三角形， BE=BC=CE=6 ，过点 E 作 EGBC 于点 G， EG=BE ?sin60 =6=3， S菱形BCFE=BC?EG=6 3=18【点评】 本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点注意证得 BEC 是等边三角形是关键2如图，在Rt ABC 中， B=90，点 E 是 AC 的中点， AC=2AB ， BAC 的平分线AD交 BC 于点 D，做 AFBC，连接 DE 并延长交AF 于点 F，连接 FC.求证：四边形ADCF 是菱形。【逐步提示】第一步利用AAS 证明 AEF CED, 第二步利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证出四边形ADCF是平行四边形，第三步通过计算出角的度数证明DAC= ACB, 第四步利用“等角对等边”证出DA=DC, 第五步利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”证出四边形ADCF 是菱形 .【详细解答】解：AFCD， AFE=CDE,在 AFE 和 CDE 中AFECDEAEFCEDAECE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 32 页 AFE CDEAF=CD,AFCD，四边形 ADCF 是平行四边形， B=90， ACB=30 ， CAB=60 ，AD 平分 CAB DAC= DAB= ACD=30 ，DA=DC四边形 ADCF 是菱形 .【解后反思】 本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题. (1)判定两个三角形全等的基本思路：有两个角对应相等时，找任意一条对应边相等；有两条边对应相等时，找夹角对应相等或第三边相等； 有一条边和一个角对应相等时，找等角的另一条邻边对应相等或另一个角对应相等；如果有直角三角形，还可以考虑用“HL ”;平行四边形判定方法：两组对边分别分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；菱形的判定方法： 一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【关键词】全等三角形的性质；三角形全等的识别；角的平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定; 平行四边形的判定; 菱形的判定 ; 平行线的判定 .3 如图， 在平行四边形 ABCD 中， 对角线 AC 、 BD相交于点 O ， 过点 O作直线 EFBD ，分别交 AD 、BC于点 E和点 F，求证：四边形 BEDF 是菱形【答案】证明：四边形ABCD 是菱形，AD BC ，OB =OD ，1分EDO =FBO ，OED =OFB ，2 分OED OFB ，DE =BF ，3分又DE BF ，四边形BEDF是平行四边形，4分OFEDCBA第 17 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 32 页EF BD ，四边形 BEDF 是菱形4、如图，将等腰 ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转 度到 A1BC1的位置，AB 与A1C1相交于点 D，AC 与 A1C1、BC1分别交于点 E、F.(1)求证： BCFBA1D；(2)当C度时，判定四边形A1BCE 的形状并说明理由解答 (1)证明： ABC 旋转到 A1BC1，CBFA1BD，ABCA1BC1，ABC为等腰三角形，BCABA1B，CAA1，BCFBA1D(ASA)；(2)解：四边形 A1BCE 是菱形理由如下：C ，C1A，即CBFC1，A1EBC，又 A1BDA ，A1BEC，四边形 A1BCE 为平行四边形，又BCA1B, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 32 页四边形 A1BCE 为菱形 5 如图，在菱形 ABCD 中，F 为边 BC 的中点， DF 与对角线 AC 交于点 M，过 M 作 MECD 于点 E，12.(1) 若CE2，求BC的长；(2) 求证：MEAMDF. 解：(1) 四边形ABCD是菱形，CBCD，ABCD，1ACD. 12， 2ACD，MCMD. MECD，CD2CE4，BCCD4 (2) 延长DF，AB交于G，四边形ABCD是菱形，BCADCA. BC2CF，CD2CE，CECF. 可证CEMCFM(SAS)，MEMF. ABCD，2G，GBFBCD，F为边BC的中点，CFBF，可证CDFBGF(AAS)，DFGF. 12，G2， 1G，AMGMMFGFDFME，即MEAMDF6 如图已知 E、F 分别是 ABCD 的边 BC 、AD上的点，且 BE=DF (1) 求证：四边形 AECF 是平行四边形；(2) 若 BC 10，BAC 90，且四边形 AECF 是菱形，求 BE的长 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 32 页【答案】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC ，且 AD=BC ，AF EC ，BE=DF ，AF=EC ，四边形 AECF 是平行四边形 . （2） 四边形 AECF 是， AE CE ， 12， BAC 90，3902，490 1， 34，AE BE，BE AE CE 12BC5. 7 如图，在 ABCD 中，E、F 分别为边 ABCD 的中点， BD是对角线，过 A点作AGDB 交 CB的延长线于点 G （1）求证： DE BF ；（2）若G90，求证四边形DEBF是菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 32 页解： （1）ABCD中，AB CD ，AB CDE、F分别为 AB 、CD的中点DF 12DC ，BE 12ABDF BE ，DF BE四边形 DEBF 为平行四边形DE BF(2) 证明： AG BDG DBC 90DBC为直角三角形又F为边 CD的中点BF 12DC DF又四边形 DEBF 为平行四边形四边形 DEBF 是菱形8 如图，矩形ABCD中，ABAD2，E是AD边上一点，ADnDE1（n为大于 2 的整数） ，连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG. （1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；（2）当aAB（a为常数），3n时，求FG的长；（3）记四边形BFEG的面积为1S，矩形ABCD的面积为2S，当301721SS时，求n的值 . （直接写出结果，不必写出解答过程）BCAFEDGO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 32 页（1）菱形因为 FG为 BE的垂直平分线，所以，FEFB，GB GE ， FEB FBO ，又 FEBG ，所以， FEB GBO ，所以， FBO GBO ，BO BO ， BOF BOG ，所以， BOF BOG，所以， BFBG，所以， BGGEEF FB，BFEG 为菱形。（2）AB a，AD 2a，DE 23a，AE 43a， BE 2216593aaa， OE 56a，设菱形 BFEG的边长为 x，因为 AB2AF2BF2，所以，2224()3aaxx，解得：x2524a，所以，OF 222525155()2436248aaaa，所以， FG 54a（3）n6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 32 页