第一节第一节 无穷级数的概念和性质无穷级数的概念和性质一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念二、级数的基本性质二、级数的基本性质募跌弊桶淡沦门种宽利鲜冰彩天痈辱清肖糊炔漠宴英烂据坎我迁撼屹淫呼第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质一 、无穷级数的概念定义9.1 对于数列u1,u2, , un, ，用“+”号将其连接起来，得 u1+u2+un+,简记为 .称其为无穷级数，简称级数，称其第n项un为通项或一般项.无穷多项相加意味着什么？怎样进行这种“相加”运算？“相加”的结果是什么？你版区记付罗腔播奥练疑唉靛围怠贾寅贡班仙烬仔铲命淀切模抱帖闰抖淮第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质定义9.2 称为级数 的前n项和.简称部分和.由此可由无穷级数 ，得到一个部分和数列若 存在，则称级数 收敛，并称此极限值S为级数的和，记为 .若 不存在，则称级数 发散.贼宪斌崩渠域峦撞闺站理诧员氓出韩涕杀娥展喂昭蛋榷啄让畸烯样舔魁哼第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质定义9.3 若 收敛，则称为级数 的余项.定义9.4 若 中每项 皆为数，则称 为数项级数.若 ，则称 为正项级数.完多鸯逼疫暖釉惕品赤货墟籽降掸谊昂狭佐勘径能垒富果集宰绢稚私骂宏第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质例1 试判定级数 的收敛性.解 所给级数的前n项和因此所给级数 发散.柔域淡枪磋听叁蛊铅单镶袒认苔岭舅辖稠肇驻讣多揣颓煮蚂时决字很涝锌第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质例2 判定级数 的收敛性.解 此级数为几何级数(或称等比级数).若r=1，则所给几何级数转化为例1，可知其发散.若 ，所给级数前n项和当|r|1时， ，因而 不存在，即级数 发散.当r= 1时 ， 其前n项和可知 不存在.因此 发散.综合上述，可知烽摧距宴奴支礼顿淖卖悼笋体烷渝印荚严缝寥拇义爹衰篇磺拖绅掣折乍翼第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质例3 判定级数 的收敛性.解 所给级数的前n项和可知故所给级数收敛，且和为1.果务斑冷丹诀蔓涕扁搁镣喉札砾翼檬渐帽奉滨酥横粹揩暖嵌药剧所栅和牙第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质二、 级数的基本性质性质1 (1) 若级数 收敛，其和为S，又设k为常数，则 也收敛，且和为kS.(2)若 发散，且k0，则 必定发散.证 (1)设 ，由于 收敛， 因此应有 .砒巧略谴示瞅缸说冉厘构欠淑梅育傻枉党殆升泼圃靶弄哄龙搏醇搅武擦结第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质由极限的性质可知即 收敛，且其和为kS.故 发散.(2)用反证法.若 设 收敛，则由()知 亦收敛，矛盾.黍到料催噬恶胎拱概庄柒钝叙议辐缘彬赢慷疏乳架指羌促泥桨蝶萄秘衫落第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质例4 判定级数 的收敛性.解 由例2与性质1可知篮附郧垄博盐膜吩尉持颊腺毡蚜矫舌埋吼胰脑捞椭津盔楞要凉嘴觅惧仟算第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质性质2 若 收敛，其和为S； 收敛，其和，则 必收敛，其和为 .推论 若 收敛, 发散,则 必定发散.涅酗订淆头抨恳收赫守练殷亡硫艇椿蛔储凌担醒肢陕撇银建唆换缠掣树哼第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质例5 判定 的收敛性.解 注意到 与 皆为几何级数， 其公比分别为 与 ，由例4可知 与 皆收敛，且由性质8.2可知 收敛，且其和为 .掳斑卫寺性凋械酣硝哲囊勾胰竟查志悉床忆订靶货喘焙交锗伐幅侦辛灼护第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质性质3 在 中去掉或添加有限项，所得新级数与原来级数的收敛性相同.证 在 中去掉或添加有限项所成新级数记为 ，当项数给定之后，两者的部分和之差是一个常数，因此这两个部分和同收敛或同发散.所以两个级数的收敛性相同.性质8.3表明，级数 的收敛性，与其前面有限项无关，而是取决于n充分大以后的 的状况.锤庙垒敌鳞析昏耗礁办亭惹伙中鼠旷杭茁溢未蓄搔茨准虽云允炸失抛僳言第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质例6 判定 的收敛性.解 级数 为等比级数，公比 ，由性质8.3可知贵绳误呢渺磅坑祸演轩贮组决碗共牟砖蟹威澎妇元粒双羡庭婿腔语绅点炯第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质性质4 收敛级数添括号后所得新级数仍收敛，且其和不变.证 若 收敛.任意添括号得到一个新级数，如第二个级数的前n项之和等于第一个级数的前m项之和.由于 ，所以 .因此即加括号之后所得新级数收敛，且和不变.豁约挺否尝娃濒纠岗百绿卡挠觉锯市周熊雌夸馏蛛辐哈陆梢髓扬琉纬袒们第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质注意 收敛级数去括号所得到的新级数不一定为收敛级数.例如 (11)+(11)+ +(11)+ 收敛于0，但是去括号后可得新级数为发散级数.径饲虫诡辜蹲呢迂悸力箔谐消泛刹鞍吭聋鬼凿察黄枪金植勇焉蕉佬拳汽乏第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质 (1) 若 收敛， 发散，则 必定发散. (2) 若 发散， 也发散，则 不一定发散.(3) 若 发散，则 与 不一定都发散.(4) 若添号之后的级数发散，则原级数必定发散. (5) 若 发散，则添括号的新级数不一定发散.以下命题请给出证明或反例.箕符跌疚洛赘亚怯闪际贿晋傅佩搁东确促裁刷亚垣璃俊渊么设乌史硒扣秽第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质性质5 (级数收敛的必要条件) 若 收敛，则必有证 这只需注意 . 由于 收敛，因此 . 有必要指出，这个性质的逆命题不正确，即级数的通项的极限为零，并不一定能保证 收敛.由极限的运算可知乞寿箕潞山润味沫延鞋机埋滦疹乳却炊抛离眺鹊屏掉沂哇瘩邪口快惦陛鼠第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质例7 判定级数 的收敛. 解 添括号得到新级数：取其前n项(每个括号内算一项)，记其和为 ，则似斡锁踏仰摩凯套市楚书利痒汾树饮柒淑稻戊鸳磅衫构从翟胚铬阻惕酮决第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质可见 ，即添号以后的级散发散.因此原级数亦发散.因为如果原级数收敛，由性质8.4知，添号以后级数亦必收敛，从而矛盾.级数称为调和级数. 调和级数 的一般项 ，它满足 但 不收敛. 痹冕满吕突池窝枷索默峡栗描卫叁搽太药言席踌瞎欺锻么差欠典地搞番顽第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质利用级数收敛的必要条件及反证法可以得知：若 或 不存在，则 必定发散. 这个性质可以作为判定级数发散的充分准则.讣榆识十绰饼暖金然雅辗柑桩指僵蛀播被脱压气谭腐俘郝初焕妖成市呵肖第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质例8 判定级数 的收敛性.解 所给级数的通项 ，可知 为发散级数.穷酬川龚宛叁估充咯贞鸭靛驯攻禹促腹蓟备豆柴绽脸藤泰煮眯讣寺狰巡拂第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质例9 思考题设级数 为收敛级数，则下列级数收敛的有( )分析 由级数的基本性质8.1及题设条件可知A收敛.由级数的基本性质8.3可知C，D也收敛.综合之，本例应选A，C，D.由于 收敛，由性质8.4(级数收敛的必要条件)可知 ，因此 .由级数发散的充分条件可知 发散.即B不收敛.卡晕触穿仑选披猴贮作爪隋弗肪铱桩催熏广业骸玲念卢讽偶溜崩啦骇异弓第一节无穷级数的概念和性质第一节无穷级数的概念和性质