第五节第五节 平面及其方程平面及其方程一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角返回返回在本节和下一节里，我们将以向量为工具，在空间直角坐标在本节和下一节里，我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线系中讨论最简单的曲面和曲线平面和直线平面和直线.一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线法线向量向量. 容易知道，平面上的任一向量均与该平面的法线向量容易知道，平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直垂直. 和它的一个法线向量和它的一个法线向量 因为过空间任一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直因为过空间任一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面线，所以当平面II上一点上一点为已知时，平面为已知时，平面的位置就完全确定了的位置就完全确定了. 下面我下面我 们来建立平面们来建立平面的方程的方程.设设 是平面是平面II任一点任一点(图图751). 那么向量必与平面那么向量必与平面II的法线向量的法线向量n垂直，即垂直，即它们的数量积等于零：它们的数量积等于零： 由于由于 , (1) 这就是平面这就是平面II上任一点上任一点 M的坐标的坐标 所满足的方程所满足的方程 . ,所以有所以有： 反过来，如果反过来，如果 不在平面不在平面II上上,那么向量那么向量 与法线向量与法线向量 不垂直不垂直, 从而从而 ,即不在平面即不在平面II上上的点的点M的坐标的坐标x，y，z不满足方程不满足方程(1). 及它的一个法线向量及它的一个法线向量 由此可知，平面由此可知，平面II上的任一点的坐标上的任一点的坐标x，y，z都满足方程都满足方程(1)； 不在平面不在平面II上的点的坐标都不满足方程上的点的坐标都不满足方程(1). 这样，方程这样，方程(1)就是平面就是平面II的方程，而平面的方程，而平面II就是方程就是方程(1)的图形的图形. 由于方程由于方程(1)是由平面是由平面II上的一点上的一点 确定的，所以方程确定的，所以方程(1)叫做平面的点法式方程叫做平面的点法式方程. 例例 1 求过点求过点(2, -3, 0)且以且以n=(1, -2, 3)位法线向量的平面的方程位法线向量的平面的方程. 解解 根据平面的点法式方程根据平面的点法式方程(1)，得所求平面的方程，得所求平面的方程 (x - 2) 2(y + 3) + 3z=0, 即即 x 2y + 3z 8=0 例例 2 求过三点求过三点M1 (2, -1, 4), M2 (-1, 3, -2)和和M3 (0, 2, 3)的平面的平面的方程的方程. 解解 先找出这平面的法线向量先找出这平面的法线向量 n. 由于向量由于向量n与向量与向量 都垂直，而都垂直，而 (-3, 4, -6), =(-2, 3, -1)， 所以可取它们的向量积为所以可取它们的向量积为n： n= = =14i + 9j k, 根据平面的点法式方程根据平面的点法式方程(1)，得所求的平面的方程为，得所求的平面的方程为14(x - 2) + 9(y + 1) (z 4 ) = 0, 14x + 9y z 15 = 0.返回返回二、平面的一般方程二、平面的一般方程由于平面的点法式方程由于平面的点法式方程(1)式式x、y、z的一次方程，而任意平的一次方程，而任意平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任一面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任一平面都可以用三元一次方程来表示平面都可以用三元一次方程来表示. 反过来，设有三元一次方程反过来，设有三元一次方程 Ax + By + Cz + D = 0. 我们任取满足方程的一组数我们任取满足方程的一组数 x0, y0, z0，即即 A x0 + B y0+ C z0 + D = 0. 把上述两等式相减，得把上述两等式相减，得 A(x-x0 ) + B(y- y0) + C (z-z0) = 0. 把上述两等式的点法式方程把上述两等式的点法式方程(1)作比较，可以知道方程作比较，可以知道方程(4)是是通过点通过点M0 (x0, y0, z0)且以且以n=(A, B, C)为法线向量的平面方程为法线向量的平面方程.但方程但方程(2)与方程与方程(4)同解，这是因为由同解，这是因为由(2)减去减去(3)即得即得(4)，又由又由(4)加上加上(3)就得就得(2). 由此可知，任一三元一次由此可知，任一三元一次(2)的图形的图形总是一个平面总是一个平面.方程方程(2)称为平面的一般方程，其中称为平面的一般方程，其中x, y, z的系数就是该平面的系数就是该平面的一个法线向量的一个法线向量n的坐标，即的坐标，即n=(A, B, C).例如，方程例如，方程 3x 4y + z -9 = 0 表示一个平面，表示一个平面，n=(3, -4, 1)是这平面的一个法线向量是这平面的一个法线向量.对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点. 当当D=0时，方程时，方程(2)成为成为Ax + By + Cz = 0，它表示一个通过它表示一个通过原点的平面原点的平面.当当A=0时，方程时，方程(2)成为成为Bx + Cz + D = 0，法线向量法线向量n(0, B, C)垂直于垂直于x轴，方程表示一个平行于轴，方程表示一个平行于x轴的平面轴的平面. 同样，方程同样，方程Ax + Cz + D = 0和和Ax + By + D = 0，分别表示一分别表示一个平行于个平行于y轴和轴和z轴的平面轴的平面. 当当A=B=0时，方程时，方程(2)成为成为Cz + D=0或或z=- n(0, 0, C)同时垂直同时垂直x轴和轴和y轴，方程表示一个平行于轴，方程表示一个平行于xOy面的面的平面平面. ，法线向量法线向量例例 3 求通过求通过x轴和点轴和点(4, -3, -1)的平面的方程的平面的方程. 解解 由于平面通过由于平面通过x轴，从而它的法线向量垂直于轴，从而它的法线向量垂直于x轴，于是轴，于是法线向量在法线向量在x轴上的投影为零，轴上的投影为零， 即即A=0；又由平面通过又由平面通过x轴，轴，它必通过原点，于是它必通过原点，于是D=0. 因此可设这平面的方程为因此可设这平面的方程为 By + Cz = 0. 又因这平面通过点又因这平面通过点(4, -3, -1)，所以有，所以有 -3B C = 0, 或或 C = -3B.以此代入所设方程并除以以此代入所设方程并除以 B(B 0)，便得所求的平面方程为，便得所求的平面方程为 y 3z = 0. 例例 4 设一平面与设一平面与x、y、z轴的交点依次为轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b,0)、R(0, 0, c)三点三点(图图752)，求这平面的方程，求这平面的方程(其中其中 a 0, b 0, c 0). 解解 设所求平面的方程为设所求平面的方程为 Ax + By + Cz = 0 因因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在三点都在这平面上，所以点这平面上，所以点P、Q、R的坐标都满足的坐标都满足方程方程(2)；即有；即有得得A=- ，B=- ，C=- 方程方程(5)叫做平面的截距式方程，而叫做平面的截距式方程，而a、b、c依次叫做依次叫做平面在平面在x、y、z轴上的截距轴上的截距.返回返回以此代入以此代入(2)并除以并除以D(D 0)，便得所求的平面方程为，便得所求的平面方程为 三、两平面的夹角三、两平面的夹角两平面的法线向量的夹角两平面的法线向量的夹角(通常指锐角通常指锐角)称为称为两平面的夹角两平面的夹角.按两向量夹角余弦的坐标表示式，平面按两向量夹角余弦的坐标表示式，平面II1和平面和平面II2的夹角的夹角可可由由 来确定来确定.从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论： II1、II2互相垂直相当与互相垂直相当与 II1、II2互相平行或重合的相当于互相平行或重合的相当于 (-n1 ,n2)= -(n1 ,n2)两者中的锐角，两者中的锐角， 因此，因此，cos=|cos(n1 ,n2)|. 设平面设平面II1和和II2的法线向量依次为的法线向量依次为n1=(A1, B1, C1)和和n2=(A2, B2, C2), 那么平面那么平面II1和和II2的夹角的夹角 (图图 7-53)应是应是 ( )和和n1 ,n2例例 5 求两平面求两平面xy + 2z 6 = 0和和2x + y + z 5 = 0的夹角的夹角. 解解 由公式由公式(6)有有因此，所求夹角因此，所求夹角 例例 6 一平面通过两点一平面通过两点M1 (1,1,1)和和M2 (0,1,-1)且垂直于平面且垂直于平面x + y + z=0,求它的方程求它的方程. 解解 设所求平面的一个法线向量为设所求平面的一个法线向量为n=(A,B,C). 因因 =(-1, 0,-2)在所求平面上，它必与在所求平面上，它必与n垂直垂直，所以有，所以有 -A-2C=0. 又因所求的平面垂直于已知平面又因所求的平面垂直于已知平面x+y+z=0，所以又有所以又有A+B+C=0. 由由(7)、(8)得到得到 A=-2C, B=C. 由平面的点法式方程可知，所求平面方程为由平面的点法式方程可知，所求平面方程为A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0, 将将A=-2C及及B=C代入上式，并约去代入上式，并约去C(C0)，使得使得 -2(x-1)+(y-1)+(z-1)=0. 或或 2x-y-z=0. 这就是所求的平面方程这就是所求的平面方程.例例 7 设设P0 (x0 ,y0 ,z0)，并作一法线向量并作一法线向量n，由图由图7-54，并考虑到，并考虑到 与与n的夹角也可能是钝角，得所求的距离的夹角也可能是钝角，得所求的距离(图图7-54). 解解 在平面上任取一点在平面上任取一点P0(x1,y1,z1)，并作一法线并作一法线向量向量n，由图由图7-54，并考虑到，并考虑到 与与n的夹角也可的夹角也可 能是钝角，得所求的距离能是钝角，得所求的距离设设en为与向量为与向量n方向一致的单位向量，那么有方向一致的单位向量，那么有 d=|Prjn |. Prjn = 而而 =(x0-x1, y0-y1, z0-z1), 所以所以Prjn = 由于由于 所以所以 Prjn = 由此得点由此得点P0 (x0 ,y0 ,z0)到平面到平面 的距离公式：的距离公式： d= 例如，求点例如，求点(2,1,1)到平面到平面x+y-z+1=0的距离的距离.d= 可利用公式可利用公式(9)，便得，便得 返回返回