2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质 我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，由某种细胞分裂时，由1 1个分裂成个分裂成2 2个，个，2 2个分裂成个分裂成4 4个个, ,1,1个这样的细胞分裂个这样的细胞分裂x次后，得到细胞的个数次后，得到细胞的个数y是分裂次数是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数的函数，这个函数可以用指数函数_表示表示. .124y=2xy=2y=2x x,xN,xN* * 根据指数式和对数式的关系可将指数式根据指数式和对数式的关系可将指数式y=2y=2x x,xN,xN转化为对数式转化为对数式x= x= ，输入细胞个数，输入细胞个数y y可以计算出分裂次数可以计算出分裂次数x x，那么这个关系可不可以，那么这个关系可不可以看成一个新的函数关系呢？看成一个新的函数关系呢？ 现在就让我们一起进入本节的学习来解决这些现在就让我们一起进入本节的学习来解决这些问题吧！问题吧！1.1.理解对数函数的概念和意义理解对数函数的概念和意义. .( (重点）重点）2.2.能画出具体对数函数的图象，并通过观察图象探索对能画出具体对数函数的图象，并通过观察图象探索对数函数的性质数函数的性质. .（重点）（重点）3.3.会求简单对数函数的定义域和值域会求简单对数函数的定义域和值域. .（难点）（难点）4.4.通过比较、对照的方法，对比指数函数，探索研究对通过比较、对照的方法，对比指数函数，探索研究对数函数的性质，学会研究函数性质的方法数函数的性质，学会研究函数性质的方法. .一般地，我们把函数一般地，我们把函数 叫叫做对数函数，其中做对数函数，其中x x是自变量，函数的定义域是是自变量，函数的定义域是 探究探究1 1：对数函数的定义：对数函数的定义注意注意: :（1 1）对数函数定义的严格形式）对数函数定义的严格形式; ; （2 2）对数函数对底数的限制条件：）对数函数对底数的限制条件：y=logy=loga ax(ax(a0,0,且且a1)a1)（0 0，+）与指数函数对底与指数函数对底数的要求一样数的要求一样C C【即时训练【即时训练】思考思考. .对数函数的解析式具有什么样的结构特征呢？对数函数的解析式具有什么样的结构特征呢？提示：提示：对数函数的解析式具有以下三个特征对数函数的解析式具有以下三个特征 ：(1)(1)底数底数a a为大于为大于0 0且不等于且不等于1 1的常数，不含有自变量的常数，不含有自变量x x；(2)(2)真数位置是自变量真数位置是自变量x x，且，且x x的系数是的系数是1 1；(3)log(3)loga ax x的系数是的系数是1.1.探究探究2 2：对数函数的图象和性质：对数函数的图象和性质（1 1）作）作y=logy=log2 2x x的图象的图象列表列表作图步骤作图步骤: : : : 列表列表, , 描点描点, , 用平滑曲线连接用平滑曲线连接. .作函数图象的通法作函数图象的通法描描点点连连线线2 21 1-1-1-2-22 24 4O Oy yx x3 31同样的方法在同一坐标系中作出函数同样的方法在同一坐标系中作出函数 的的图象，并指出二者的关系图象，并指出二者的关系描描点点连连线线2 21 1-1-1-2-21 12 24 4O Oy yx x3 3x124 2 1 0 -1 -2 -2 -1 0 1 2 14这两个函数的图这两个函数的图象关于象关于x x轴对称轴对称, ,知道其中一个函知道其中一个函数图象能否作出数图象能否作出另一个函数图象另一个函数图象？观察函数观察函数y=logy=log2 2x x 的图象填写下表的图象填写下表2 21 1-1-1-2-21 12 24 4O Oy yx x3 3图象特征图象特征代数表述代数表述定义域定义域: : (0,+)(0,+) 值值 域域: : R R增函数增函数在在(0,+)(0,+)上是上是图象位于图象位于y y轴右方轴右方图象向上、向下无限延伸图象向上、向下无限延伸自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐上升图象特征图象特征代数表述代数表述定义域定义域: : ( 0,+)( 0,+) 值值 域域: : R R减函数减函数在在(0,+)(0,+)上是上是图象位于图象位于y y轴右方轴右方图象向上、向下无限延伸图象向上、向下无限延伸自左向右看图象逐渐下降自左向右看图象逐渐下降观察函数观察函数 的图象填写下表的图象填写下表2 21 1-1-1-2-21 12 24 4O Oy yx x3 3对数函数对数函数 的图象的图象. .猜一猜猜一猜: : 2 21 1-1-1-2-21 12 24 4O Oy yx x3 3由这些函数的图象可以总结出对数函数的图象与性质由这些函数的图象可以总结出对数函数的图象与性质图图 象象 性性 质质a a 1 1 0 0 a a 1 1定义域定义域: : 值值 域域: :过定点过定点: :在在(0,+)(0,+)上是上是在在(0,+)(0,+)上是上是对数函数对数函数y=logy=loga ax x (a (a0,0,且且a1) a1) 的图象与性质的图象与性质(0,+)(0,+)R R(1,0),(1,0), 即当即当x x1 1时时,y,y0 0增函数增函数减函数减函数y X O x =1 (1,0) y X O x =1 (1,0) 1. 1. 函数函数y ylogloga( (x1)1)2 (2 (a a0, 0, a a1)1) 的图象恒过定点的图象恒过定点 . . 【即时训练【即时训练】2.2.如图是对数函数如图是对数函数yylogloga ax x，yyloglogb bx x，yyloglogc cx x，yyloglogd dx x的图象，则的图象，则a a，b b，c c，d d与与1 1的大小关系是的大小关系是( () )A Aab1cdab1cdB Bba1dcba1dcC C1cabcd1cabcdD Dab1dcab1dcB B解:解法一：观察在解法一：观察在x x轴上方的图象，从右至左依次为轴上方的图象，从右至左依次为，故，故badc.badc.解法二：在题干图中画出直线解法二：在题干图中画出直线y y1 1，发现分别与，发现分别与，交于交于A(a,1)A(a,1)，B(b,1)B(b,1)，C(c,1)C(c,1)，D(d,1)D(d,1)四点，由图可知四点，由图可知cd1abcd1a0,0,所以函数所以函数y=logy=loga a(4-x)(4-x)的定义域是的定义域是所以函数所以函数y=logy=loga ax x2 2的定义域是的定义域是（2 2）因为）因为4-x0,4-x0,xxxx4. 4. 即即x4x0x0且且 , ,解：解：（1 1）因为）因为1-x0,1-x0,即即x1,x1,所以函数所以函数y=logy=log5 5(1-x)(1-x)的定义域为的定义域为x|xx|x1.0,0,且且x1.x1.即即x0x0且且x1,x1,所以函数所以函数 的定义域为的定义域为 . . 所以函数所以函数 的定义域为的定义域为（3 3）因为）因为 ，即，即 , ,（4 4）因为）因为x0x0且且 , ,即即 由具体函数式求定义域由具体函数式求定义域, ,考虑以下几个方面：考虑以下几个方面： （1 1）分母不等于）分母不等于0 0； （2 2）偶次方根被开方数非负；）偶次方根被开方数非负； （3 3）零指数幂底数不为）零指数幂底数不为0 0； （4 4）对数式考虑真数大于）对数式考虑真数大于0 0； （5 5）底数只能大于）底数只能大于0 0，且不等于，且不等于1 1； （6 6）实际问题要有实际意义）实际问题要有实际意义. .【提升总结【提升总结】1 1下列函数是对数函数的是下列函数是对数函数的是( () )Ay2log3xByloga(2a)(a0，且a1)Cylogax2(a0，且a1)DylnxD D2.2.函数函数y=logy=log2 2（x-ax-a）的定义域为（）的定义域为（1 1，+），），则（）则（）A Aa a1 1 B B0 0a a1 1C Ca a0 0D Da=1a=1【解析【解析】要使函数要使函数y=logy=log2 2（x-ax-a）的解析式有意义）的解析式有意义, ,则则x-ax-a0 0，即，即x xa a，又因为函数，又因为函数y=logy=log2 2（x-ax-a）的定义）的定义域为（域为（1 1，+），故），故a=1.a=1.D D3 3如图是三个对数函数的图象，则如图是三个对数函数的图象，则a a、b b、c c的大小关系是的大小关系是( () )A Aa ab bc cB Bc cb ba aC Cc ca ab bD Da ac cb b【解析【解析】由图可知由图可知a a1 1，而，而0 0b b1,01,0c c1 1，取，取y y1 1，则可知，则可知c cb b. .a ac cb b，故选，故选D.D.D D4.4.已知全集已知全集U=RU=R，集合，集合A=y|yA=y|y=log=log0.5x x，x x22，B=y|yB=y|y=2x=2x，x x22，则，则 U（ABAB）等于（）等于（）A.A.（-，44 B.-1 B.-1，44C.C.（-1-1，4 4） D.1D.1，+）【解析【解析】因为因为A=y|yA=y|y=log=log0.50.5x x，x x2=y|y2=y|y-1-1，B=y|yB=y|y=2x=2x，x x2=y|y2=y|y44，所以所以AB=y|yAB=y|y-1-1或或y y44所以所以 U U（ABAB）=y|-1y4=-1=y|-1y4=-1，4.4.B B5 5已知已知f(xf(x) )loglog9 9x x，则，则f(3)f(3)_._. 6.6.在在y=logy=log（a-2 a-2 ）（5-a5-a）中，实数）中，实数a a的取值范围的取值范围是是_ 2 2a a3 3或或3 3a a5 50.50.57.7.求函数求函数的定义域。的定义域。所以函数所以函数的定义域为的定义域为对数函数对数函数数形结合数形结合图图 象象性性 质质概概 念念解析式具有解析式具有严格形式严格形式注意底数与注意底数与1的大小关系的大小关系即使一次次的跌倒，我们依然成长。跌倒只是我们成长道路上的一个小小的插曲。