YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算一、一、“凑微分法凑微分法例如：例如：方式上方式上“凑成能由不定凑成能由不定积分公式求出的分公式求出的积分分!简单交交换例例1.YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算“凑微分法凑微分法:设法凑成法凑成积分公式分公式带回回 x本本质上是一种上是一种简单换元元积分法分法.YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例2.例例3.YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例4.例例5.YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算二、二、换元元积分法分法例例6.YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算Theorem :那么证明：明：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例7.解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例8.解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例9.解：解：例例10.解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算注：注：“凑微分法与凑微分法与换元元积分法比分法比较“凑微分法凑微分法将函数交将函数交换为变量：量：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算换元元积分法分法将将变量交量交换为函数：函数：注：注：对某些函数的不定某些函数的不定积分，有分，有时可用不同的方法、不同的可用不同的方法、不同的 函数作函数作变量交量交换，因之所得，因之所得结果在方式上能果在方式上能够不一不一样. YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例如：例如：注：注：积分方法以分方法以“化繁化繁为简为目的目的.YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算三、分部三、分部积分法分法or作不定积分运算, 即得or称之称之为 分部分部积分公式分公式.YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算注注1. 不能直接求不能直接求改写改写转化化YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算解：解：例例11.YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例12.解：解：例例13.YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例14. 求求解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例15.解：解：联立立, 解之得：解之得：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算注注2. 类似的似的, 以下函数以下函数的不定积分常可用分部积分法可得.注注3. 运用分部运用分部积分法，有分法，有时须延延续运用假运用假设干次；有干次；有时运用运用假假设 干次之后，常会重新出干次之后，常会重新出现原来所求的那个原来所求的那个积分，从而成分，从而成 为求求积分的方程式，解之可得所求分的方程式，解之可得所求积分；有分；有时应特特别注注 意如下情形：意如下情形：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算 将不定将不定积分分视为一个数一个数进展运算是展运算是错误的的, 不定不定积分是分是原函数的集合原函数的集合. 此此时,运用分部运用分部积分公式分公式还可得到一些有用的可得到一些有用的递推公式推公式, 例如：例如：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算 初等函数的导数仍是初等函数, 但求不定积分却不那么简单, 有些不定积分不能用初等函数来表示, 如是非初等函数是非初等函数, 即即初等函数的原函数不一定是初等函数初等函数的原函数不一定是初等函数.YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算多多项式式四、有理函数四、有理函数积分法分法1. 代数的代数的预备知知识 设P(x)与Q(x)都是多项式, 那么有理函数的普通方式是例如：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算根据代数分项分式定理, 有YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算方法一：将方法一：将()式右端通分，得式右端通分，得方法二：方法二： 运用运用“赋值法法简化化对待定系数的求解待定系数的求解.YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例16.解：解：比比较两端分子的同次两端分子的同次幂系数系数, 得得YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例16.解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算2. 有理函数的不定有理函数的不定积分分YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算In fact,YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算分分部部积分分法法YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算注注2. 有理函数有理函数总存在初等函数的原函数存在初等函数的原函数.注注1. 例例16.解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例17. 求求 解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例18. 求求 解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算五、其他五、其他类型的不定型的不定积分分一一简单无理函数的不定无理函数的不定积分分原那么：原那么：简单无理函数无理函数变量交量交换有理函数有理函数符号符号 R (u, v) 表示以表示以 u 和和 v 为变量的有理函数量的有理函数.YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算积分分有理化有理化有理化求解有理化求解.YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例1.解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例2.解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例3.解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例4. 解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算分以下情况思索：分以下情况思索：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算此此积分方式同：分方式同：或或例例5.解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算此此积分方式同：分方式同：或YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例6.解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算二三角函数的不定二三角函数的不定积分分YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算就有就有 这样就把积分有理化了. 从而三角函数 R(sinx,cosx) 存在初等函数的原函数.YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例7.解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例8.解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算关于关于 R(sinx,cosx) 具有某种性具有某种性质时的一些特殊的一些特殊变量交量交换： 例例9.解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例10.解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例11.解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例12.解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算a) 含有含有 sin2x 或或 cos2x 的奇次的奇次幂，此，此时可由可由(1)求之；求之；将被将被积函数化函数化简, 其其结果：果：b) 含有含有sin2x 或或 cos2x 的偶次的偶次幂，用上述三角公式化，用上述三角公式化简, 化成含化成含 sin4x 与与 cos4x 的函数，依次的函数，依次类推推.YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例13.解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算解：解：利用三角函数的积化和差公式可解.YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例14.解：解：YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算三角有理式的定三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四那么运算构成由三角函数和常数经过有限次四那么运算构成的函数称之普通记为的函数称之普通记为1、三角函数有理式的积分、三角函数有理式的积分五、其它方式的不定积分五、其它方式的不定积分YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算令令万能置万能置换公式公式YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例7 7 求积分求积分解解由万能置由万能置换公式公式YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例8 8 求积分求积分解一解一YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算解二解二修正万能置修正万能置换公式公式, 令令YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算解三解三可以不用万能置可以不用万能置换公式公式.结论 比比较以上三种解法以上三种解法, 便知万能置便知万能置换不一定不一定是最正确方法是最正确方法, 故三角有理式的故三角有理式的计算中先算中先思索其它手段思索其它手段, 不得已才用万能置不得已才用万能置换.YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例9 9 求积求积分分解解YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算讨论类型型处理方法理方法作代作代换去掉根号去掉根号. .例例10 10 求积求积分分解解 令令2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例11 11 求积求积分分解解 令令阐明明 无理函数去根号无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数取根指数的最小公倍数.YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算例例12 12 求积求积分分解解先先对分母分母进展有理化展有理化原式原式YunnanUniversity2. 不定不定积分的分的计算算六、小结六、小结两两类积分分换元法：元法：一凑微分一凑微分二三角代二三角代换、倒代、倒代换、根式代、根式代换根本根本积分表分表(2)合理选择合理选择 ，正确运用分部积分公，正确运用分部积分公式式