解三角形解三角形一、知识网络结构图一、知识网络结构图二、知识点清单二、知识点清单1正弦定理:abc 2R或变形：a:b:c sin A:sin B:sinC.sin Asin BsinCa2b2c22bccos A2222余弦定理：b a c 2accosB或c2b2a22bacosC3.相关知识：c2=a2+b2，A+B+C=，S 1ab sin C 2R2sin Asin B sin C2b2c2a2cos A2bca2c2b2.cosB 2acb2a2c2cosC 2ababcr(a b c)a2sin B sin C4R22sin( B C)p( p a)( p b)( p c)三、基本题型三、基本题型1、ABC 中,a=1,b=3, A=30,则B 等于（） A60B60或 120 C30或 1502、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （） Aa=1,b=2 ,c=3 Ca=1,b=2,A=100Ba=1,b=2 ,A=30Cb=c=1, B=45D1203、在锐角三角形 ABC 中，有（） AcosAsinB 且 cosBsinABcosAsinB 且 cosBsinB 且 cosBsinADcosAsinA4、若(a+b+c)(b+ca)=3abc,且 sinA=2sinBcosC, 那么ABC 是（） A直角三角形B等边三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形5、 设 A、 B、 C 为三角形的三内角,且方程(sinBsinA)x2+(sinAsinC)x +(sinCsinB)=0 有等根，那么角 B （） AB60 BB60CB60DB 606、满足 A=45,c=6 ,a=2 的ABC 的个数记为 m,则 a m 的值为（）A4B2 C1 D不定7、 如图： D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点仰角分别是,(0,b0）中，离心率 e2,2,则两条渐近线夹角的取值范围ab是_（答：（3）抛物线；设a 0,aR，则抛物线y 4ax的焦点坐标为_（答：(0,2 ,）；3 21)）；16a5直线与圆锥曲线的位置关系：（1）若直线y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_（答：(-15,-1)）；3x2y21恒有公共点，则 m 的取值范围是_（2）直线 ykx1=0 与椭圆5m（答：1，5）（5，+）；x2y21的右焦点直线交双曲线于 A、（3） 过双曲线B 两点， 若AB4， 则这样的直线有_12条（答：3）；x2y2（2）过双曲线221 外一点P(x0, y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P 点ab在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时， 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。（1）过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有_（答：2）；（2）x2y2过点(0,2)与双曲线1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_（答：91644 5,）；33y2（3）过双曲线x 1的右焦点作直线l交双曲线于 A、B 两点，若AB 4，则满足条件的直线22l有_条（答：3）；（4） 对于抛物线 C：我们称满足y0 4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部， 若点M(x0,y0)y2 4x，在抛物线的内部，则直线l：y0y 2(x x0)与抛物线 C 的位置关系是_（答：相离）；（5） 过抛物线y 4x的焦点F作一直线交抛物线于 P、 Q 两点， 若线段 PF 与 FQ 的长分别是p、q，则2211_（答：1）；pqx2y21的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右准线分（6）设双曲线169别于P,Q,R，则PFR和QFR的大小关系为_(填大于、 小于或等于) （答：等于） ；（7）求椭圆7x24y2 28上的点到直线3x2y160的最短距离（答：228 13）；13（8）直线y ax 1与双曲线3x y 1交于A、B两点。当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？当a为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？（答： 3,3；a 1）；7、焦半径x2y2（1）已知椭圆1上一点 P 到椭圆左焦点的距离为3，则点 P 到右准线的距离为_（答：251635）；3（2）已知抛物线方程为y28x，若抛物线上一点到y轴的距离等于 5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；（3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是 4，则点M的坐标为_（答：7,(2, 4)）；（4）x2y2点 P 在椭圆它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍， 则点 P 的横坐标为_1上，259（答：25）；12（5）抛物线y22x上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到y轴的距离为_（答：2）；x2y2（6）椭圆1内有一点P(1,1)，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使MP 2MF之值43最小，则点 M 的坐标为_（答：(8、焦点三角形（1）短轴长为5，离心率e 2 6,1)）；32的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于 A、B 两点，3则ABF2的周长为_（答：6）；（2）设 P 是等轴双曲线x2 y2 a2(a 0)右支上一点，F1、F2 是左右焦点，若PF2F1F2 0，|PF1|=6，则该双曲线的方程为（答：x2 y2 4）；x2y21的焦点为 F1、F2，点 P 为椭圆上的动点，当PF2（3）椭圆PF1 0 时，点 P 的横坐94标的取值范围是（答：(3 5 3 5,)）；556，F1、F2 是它的左右焦点，若过 F1 的直线与双曲线的2（4）双曲线的虚轴长为 4，离心率 e左支交于 A、B 两点，且AB是AF2与BF2等差中项，则AB_（答：8 2）；（5）已知双曲线的离心率为 2，F1、F2 是左右焦点，P 为双曲线上一点，且F1PF2 60，SPF1F2x2y212 3求该双曲线的标准方程（答：1）；4129、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：讲过了，不再重复10、弦长公式：（1）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若 x1+x2=6，那么|AB|等于_（答：8）；（2）过抛物线y2 2x焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ABC重心的横坐标为_（答：3）；11、圆锥曲线的中点弦问题：x2y21弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（1）如果椭圆369（答：x2y 8 0）；x2y2（2）已知直线 y=x+1 与椭圆221(a b 0)相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直线abL：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为_（答：2）；2x2y2（3）试确定 m 的取值范围，使得椭圆1上有不同的两点关于直线y 4xm对称（答：432 13 2 1313,13）；特别提醒：因为 0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件， 故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 0！13动点轨迹方程：已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线x 3的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程（答：y2 12(x4)(3 x 4)或y2 4x(0 x 3)）；线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M（m，0）(m 0)，端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m，以 x 轴为对称轴，过 A、O、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为22（答：y 2x）；2(1)由动点 P 向圆x y 1作两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，APB=600，则动点 P 的轨迹方程为（答：x y 4）；22（2） 点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线l： x50的距离小于 1， 则点 M 的轨迹方程是_（答：y216x）；(3) 一动圆与两圆M：x2 y21和N：x2 y28x 12 0都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；2 动点 P 是抛物线y 2x 1上任一点，定点为A(0,1),点 M 分PA所成的比为 2，则 M 的轨迹方程为_（答：y 6x21）；3（1）AB 是圆 O 的直径，且|AB|=2a，M 为圆上一动点，作 MNAB，垂足为 N，在 OM 上取点P，使|OP | MN |，求点P的轨迹。（答：x2 y2 a| y|）；（2）若点P(x1,y1)在圆x2 y21上运动，则点Q(x1y1,x1 y1)的轨迹方程是_（答：1y2 2x1(|x|)）；2（3）过抛物线x24y的焦点 F 作直线l交抛物线于 A、B 两点，则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是_（答：x2 2y2）；x2y2已知椭圆221(a b 0)的左、右焦点分别是 F1（c，0）、F2（c，0），abQ 是椭圆外的动点，满足| F1Q| 2a.点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段F2Q 上，并且满足PT TF2 0,|TF2| 0.（1）设x为点 P 的横坐标，证明| F1P | a （2）求点 T 的轨迹 C 的方程；2（3）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M，使F1MF2 的面积 S=b .若存在，求F1MF2 的正cx；a切值；若不存在，请说明理由.b2b2 a时不存在；当 a时存在，此时F1MF2（答：（1）略；（2）x y a；（3）当cc2222）空间向量空间向量知识网络结构图知识网络结构图二、知识点清单二、知识点清单（一）空间向量的标准正交分解与坐标表示在给定的空间直角坐标系中，i，j，k 分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量 a，存在唯一一组三元有序实数（x，y，z），使得 a=xiyjzk，我们把 a=xiyjzk叫作 a 的标准正交分解，把 i，j，k 叫作标准正交基（x，y，z）叫作空间向量a 的坐标，记作a=(x，y，z)，a=(x，y，z)叫作向量 a 的坐标表示一般地，若 b0 为 b 的单位向量，称为向量 a 在向量 b 上的投影（二）空间向量基本定理1、定理内容：如果向量 e1，e2，e3 是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数，使得2、基底与基向量：如果三个向量e1，e2，e3 不共面，则e1，e2，e3 的线性组合能生成所有的空间向量，这时e1，e2，e3 叫做空间的一个基底，记为e1，e2，e3，其中e1，e2，e3 都叫做基向量（三）空间向量运算的坐标表示1、空间向量的坐标运算法则设 a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则ab=(x1x2，y1y2，z1z2)，ab=(x1x2，y1y2，z1z2)，a=(x1，y1，z1)，ab=x1x2y1y2z1z22、空间向量平行与垂直的条件若 b0，则 a/ba=bx1=x2，y1=y2，z1=z2(R)abx1x2y1y2z1z2=0注意：设 a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则 a/b(b0)，这一形式不能随便写成，只有在 b 与三个坐标轴都不平行时，才能这样写3、两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设 a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则；设 A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则，这个公式也是空间中两点间的距离公式基本题型基本题型例 1、设向量 a=（3，5，4），b=（2，1，8），计算：（1）2a3b；（2）3a2b；（3）ab；（4）若1a2b 与 z 轴垂直，求1、2 满足的关系式分析：进行坐标运算必须要遵从空间向量的坐标运算法则解：（1）2a3b2（3，5，4）3（2，1，8）=（6，10，8）（6，3，24）=（12，13，16）（2）3a2b3（3，5，4）2（2，1，8）=（9，15，12）（4，2，16）=（5，13，28）（3）ab（3，5，4）（2，1，8）=3251（4）8=6532=21（4）（1a2b）（0，0，1）=（3122，512，4182）（0，0，1）=4182=0，122=0点评：（1）运算法则一定要记清，尤其是ab 这一法则（2）在（4）中，z 轴可以用（0，0，1）表示，也可以用（0，0，2）表示，这是无关紧要的，因为垂直只体现方向，与长度无关例 2、在正方体ABCDA1B1C1D1 中，M 是棱 DD1 的中点，O 为正方形 ABCD 的中心，用坐标法证明向量证明：如图所示，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 1 个单位长，点评：（1）建立适当的空间直角坐标系是关键，然后用坐标表示有关的向量即可（2）用向量的坐标运算证明明时，选基向量，过程大大简化了，此题若不建系，而是用向量法证作为一个基底也可以例 3、（1）已知向量 a=（2，4，5），b=（3，x，y），若 ab，求 x，y 的值（2）已知：a=（2，4，x），b=（2，y，2），若|a|=6，且 ab，求 xy 的值分析：（1）ab，a=b，一定存在，故可设（2）ab，ab=0，再加上条件|a|=6，可求 x，y 的值解：（1）ab，a=b（2）ab 且|a|=6，点评：利用向量平行与垂直的条件来确定向量坐标也是向量平行与垂直题目中重要的一部分例 4、如图，已知正方体ABCDABCD，点E 是上底面 ABCD的中心，求下列各式中x、y、z 的值分析：只要选出一个基底，则向量的表示法是唯一的解：点评：只要是三个不共面的向量就可以作为基底，而基底一选定，空间中的任何向量都可用基底线性表示，而且表示形式是唯一的例 5、已知空间三点 A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)(1)求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；垂直，且，求向量 a 的坐标(2)若向量 a 分别与向量分析：利用夹角公式可以求出BAC，进而求出平行四边形面积，第（2）问直接列出方程组即可解：