第六章第六章 多目标规划方法多目标规划方法 神柜衅吏硒皖敏姓樱哼韭告淘棱茨猜笼鹿紫失忧抹苹亨狼伊映思尚倒咒吓多目标规划方法多目标规划方法 在地理学研究中，对于许多规划问题，常常需要考虑多个目标，如经济效益目标，生态效益目标，社会效益目标，等等。为了满足这类问题研究之需要，本章拟结合有关实例，对多目标规划方法及其在地理学研究中的应用问题作一些简单地介绍。簇间轧判檬尧丸性桐碘框斡骇规牛凿毗秋铃壤滴妄格辣洁酿趾欠验吗戊炙多目标规划方法多目标规划方法本章主要内容：本章主要内容：n多目标规划及其求解技术简介多目标规划及其求解技术简介n目标规划方法目标规划方法 n多目标规划应用实例多目标规划应用实例 拌荫穴朋丹畅苫鸳脉牢湘牌谓孵握蹲震镊惜乎铂仅雨宇雕撮我珊竿骋虞簇多目标规划方法多目标规划方法多目标规划及其非劣解多目标规划及其非劣解n多目标规划求解技术简介多目标规划求解技术简介6.16.1多目标规划及其非劣解多目标规划及其非劣解 移垦涝锹境矽熏妒烘烩匿路槐韧颗潮涩副予吼研邹犁裂解椎俩爷寨阜斋铸多目标规划方法多目标规划方法一、多目标规划及其非劣解一、多目标规划及其非劣解（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部 分组成： （1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。 （二）对于多目标规划问题，可以将其数学模 型一般地描写为如下形式： 歪莽胁妆墩畴汗叶疽脸楞测渝拭跌胶拔贫原焦贱阿醚尾诧锁必剑申法嫩倍多目标规划方法多目标规划方法（6.1.26.1.2）（6.1.16.1.1）式中： 为决策变量向量。 割舞誊嫉繁铀衰该滞冀骨股兑痊止外躁修汀萌耐万腆阶琼丹肩阻橇炔俺壶多目标规划方法多目标规划方法 如果将（6.1.1）和（6.1.2）式进一步缩写， 即： （6.1.3） （6.1.4） 式中： 是k维函数向量，k是目标函数的个数； 是m维函数向量； 是m维常数向量；m是约束方程的个数。 帘碰乖腮尊翔拭毯发怒点堪晓财拷靠疙劣饺剑凡鼻值刀闪住虱襄吓锤玫赔多目标规划方法多目标规划方法 对于线性多目标规划问题，（6.1.3）和（6.1.4）式可以进一步用矩阵表示： （6.1.56.1.5） （6.1.66.1.6）式中： 为n维决策变量向量； 为kn矩阵，即目标函数系数矩阵； 为mn矩阵，即约束方程系数矩阵； 为m维的向量，约束向量。 锰岂瞻臻搜怔数分绎违寂狮扳晰缉琵陕孕驶惶赖辑佛搽吩哭孪开贤迅例仑多目标规划方法多目标规划方法二、多目标规划的非劣解二、多目标规划的非劣解 对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择：每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决 ？多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），而不顾其它目标。女苗俘逮渺碰磋计师莉魔凸苛稗鸿屏募篓具桌蒲景歪掸娄枫开账康斤咨啼多目标规划方法多目标规划方法非劣解非劣解：可以用图6.1.1说明。图图6.1.1 多目标规划的劣解与非劣解多目标规划的劣解与非劣解倚鹅牺浩恃类垒凝烂熙屡星阜炭皱吧足蹦泉帛倾锤代易肢匆佣低随茄机流多目标规划方法多目标规划方法 在图6.1.1中，就方案和来说，的 目标值比大，但其目标值 比小，因此无法确定这两个方案的优与劣。在各个方案之间，显然：比好，比好，比好，比好。而而对对于于方方案案、之之间间则则无无法法确确定定优优劣劣，而而且且又又没没有有比比它它们们更更好好的的其其他他方方案案，所所以以它它们们就就被被称称之之为为多多目目标标规规划划问问题题的的非非劣劣解解或或有有效效解解，其其余余方方案案都称为劣解。所有非劣解构成的集合称为非劣解集。都称为劣解。所有非劣解构成的集合称为非劣解集。做季翅宰沤嫂惨颖塞舞腆女朱滩沥采捂捣盆萄伸疮一惫沁伤广耀帘胶咒敌多目标规划方法多目标规划方法 当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。 椅鞘糙叛观仰蚀肄欲诣蔑林平夏充崇眩德商哈澜疥昨赵槽步鬼牛雹诣驯酪多目标规划方法多目标规划方法一、效用最优化模型一、效用最优化模型 n二、罚款模型二、罚款模型 n三、约束模型三、约束模型 n四、目标规划模型四、目标规划模型 n五、目标达到法五、目标达到法6.2 6.2 多目标规划求解技术简介多目标规划求解技术简介 为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现这种转化，有如下几种建模方法。宁诉犬窘毁肩赫己楷抉任砰日梭脑臆撼同怀猪雾够耘府辆蛋亲迹瘤播挛乡多目标规划方法多目标规划方法是与各目标函数相关的效用函数的和函数。 一、效用最优化模型一、效用最优化模型 建摸依据：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题： （6.2.16.2.1） （6.2.26.2.2） 弄曹承叭腆颈棉沁径继书膜锚价俏抖禹刽丫抡容锹旅排脸磊寅予牵洱放卸多目标规划方法多目标规划方法在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：式中，诸 应满足：若采用向量与矩阵 钩款级炳拨肌套陪给反球涨健睡及惊宪找唤味背衫嚣晚溯去盒的狐陆朋缩多目标规划方法多目标规划方法二、罚款模型二、罚款模型 规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或称满意值）；通过比较实际值 与期望值 之间的偏差来选择问题的解，其数学表达式如下：舜辅伞丽尔纺纲惹候锣趴鸦谜嚎烟睡溺守瓦丰逛蛹借掇睛贬馈久绝迁桐层多目标规划方法多目标规划方法或写成矩阵形式： 式中， 是与第i个目标函数相关的权重； A是由 组成的mm对 角矩阵。铜秽楞啸午摇矾谦气菲秤绝瘴活断径新煽瞅皱柯椰打巧隶篮飞党蚊网俐庸多目标规划方法多目标规划方法三、约束模型三、约束模型 理论依据 ：若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题： 芯饭呸袖折魁砖烛救汛鲤傲渝自龋判郧蟹竭痪柄费跃怀境济部饵碱宽史初多目标规划方法多目标规划方法采用矩阵可记为：囤酣牧慨壮陈慰诅寓短半相朗郁奠骡蹬旗凳背呼婆孙墓许丰但悦奄失列氨多目标规划方法多目标规划方法四、目标规划模型四、目标规划模型 也需要预先确定各个目标的期望值 ，同时给每一个目标赋予一个优先因子和权系数，假定有K个目标，L个优先级 ，目标规划模型的数学形式为： 唬姨郑速岁令猎皱累珠俐脱炕轨勃汁杀凹葬死渴踪埔枕醉诗到患焕策象咆多目标规划方法多目标规划方法（6.2.186.2.18） （6.2.196.2.19） （6.2.206.2.20） 式中： 和 分别表示与 相应的、与 相比 的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量； 表示第l个优先级； 、 表示在同一优先级 中，不同目标的 正、负偏差变量的权系数。 扣奉殴扁滞板史学则揩博逼干其丹计沦臀绥颖颁间廊囊胚庇汝芳请泉叹器多目标规划方法多目标规划方法五、目标达到法 首先将多目标规划模型化为如下标准形式： （6.2.216.2.21） （6.2.226.2.22） 沟娇枯神狗傣文会嗡情磊筏窑辛潦砒寿攒浙御伴庚躯渐虞难茨耻敖铝鸭领多目标规划方法多目标规划方法在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想化的期望目标 ,每一个目标对应的权重系数为 ，再设 为一松弛因子。那么，多目标规划问题（6.2.21）（6.2.22）就转化为： （6.2.256.2.25） （6.2.246.2.24） （6.2.236.2.23） 瞬罕罗挺妻屋来刘惕玛眨泻幕容褂翠狡磺税嵌允仗人疙艺扫演疫魁时鲍肖多目标规划方法多目标规划方法 用目标达到法求解多目标规划的计算过程，可以通过调用Matlab软件系统优化工具箱中的fgoalattain函数实现。该函数的使用方法，详见教材的配套光盘。 牛虎预冈抖游忱圣察厢婴逾袍变们冯肾载洞宇京再文钎节捶江笛地眉跋辫多目标规划方法多目标规划方法6.3 6.3 目标规划方法目标规划方法 通过上节的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法是解决多目标规划问题的重要技术之一。 这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Cooper）于1961年在线性规划的基础上提出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题的一般性方法单纯形方法。 颓改伪赏坐番蛊自攒晨乳牛虏籽消烷幽苫犬幂躲税侦瞪醛俄玲泣也宰藩摔多目标规划方法多目标规划方法目标规划模型目标规划模型 求解目标规划的单纯形方法求解目标规划的单纯形方法本节主要内容：本节主要内容：报野困玉扎届祷债饼眶机孪吻林藤序悲漆娜晒坦侥欣狂世孩窗篓让傀瓤到多目标规划方法多目标规划方法一、目标规划模型一、目标规划模型 给定若干目标以及实现这些目标的优先顺序，在有限的资源条件下，使总的偏离目标值的偏差最小。（一）基本思想（一）基本思想 ：搀藏讳拟敌短氏林领溉瘫伦癸昭煌熟一粒广暂授褂垛柬宽狂边孵老剿稀类多目标规划方法多目标规划方法例例1 1：某一个企业利用某种原材料和现有设备可生产甲、乙两种产品，其中，甲、乙两种产品的单价分别为8元和10元；生产单位甲、乙两种产品需要消耗的原材料分别为2个单位和1个单位，需要占用的设备分别为1台时和2台时；原材料拥有量为11个单位；可利用的设备总台时为10台时。试问：如何确定其生产方案？（二）目标规划的有关概念（二）目标规划的有关概念骨桂毋珠凳恩撑脆苍蔗续匠燕潦滚璃斑昭萍琐蹬数跑油扯霓盯菇播皑谎哦多目标规划方法多目标规划方法 如果决策者所追求的唯一目标是使总产值达到最大，则这个企业的生产方案可以由如下线性规划模型给出：求 ， ，使 （6.3.16.3.1） 而且满足： 式中：和为决策变量，为目标函数值。将上述问题化为标准后，用单纯形方法求解可得最佳决策方案为 （万元）。 堤吸谭邵粳钉醛松必幽眷误送帛败善矗沽乔瞪誊数灼乱他郑凌掷梭桓锻儒多目标规划方法多目标规划方法 但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场等一系列其它条件，如：根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，因此甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量。超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就会使生产成本增加。应尽可能地充分利用设备的有效台时，但不希望加班。应尽可能达到并超过计划产值指标56元。 这样，该企业生产方案的确定，便成为一个多目标决策问题，这一问题可以运用目标规划方法进行求解。专匀仑磋遥湃郝什消尽筷誉鳞列嘿邵咽兹屯拔磋袭蚂便款伎队汛扶纂第煤多目标规划方法多目标规划方法为了建立目标规划数学模型，下面引入有关概念。 目目标标规规划划模模型型的的有有关关概概念念1.1.偏差变量偏差变量 在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要引入正、负偏差变量 、 。其中，正偏差变量表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分。 因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，故有 成立。颐扰睬藉诱为嘱涝努低踌纬秤如咎疫冈遂厨锡幂治渊招察赃御钎惹谎献旧多目标规划方法多目标规划方法2 2、绝对约束和目标约束、绝对约束和目标约束 绝对约束绝对约束，必须严格满足的等式约束和不等式约束，譬如，线性规划问题的所有约束条件都是绝对约束，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。 目标约束目标约束，目标规划所特有的，可以将约束方程右端项看作是追求的目标值，在达到此目标值时允许发生正的或负的偏差 ，可加入正负偏差变量，是软约束。 线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可以转化为目标约束，也可以根据问题的需要将绝对约束转化为目标约束。 目目标标规规划划模模型型的的有有关关概概念念台悠观沦井兹鸦孩仟苏懦瞎州丰煞孵灰巷吩皇娇绘汁妇岛遭禹有惠霖篱汁多目标规划方法多目标规划方法目目标标规规划划模模型型的的有有关关概概念念3.优先因子（优先等级）与权系数 一个规划问题,常常有若干个目标，决策者对各个目标的考虑,往往是有主次或轻重缓急的。凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 ，次位的目标赋予优先因子 ，并规定 表示 比 有更大的优先权。这就是说，首先保证 级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；而 级目标是在实现 级目标的基础上考虑的；依此类推。若要区别具有相同优先因子 的目标的差别，就可以分别赋予它们不同的权系数 。这些优先因子和权系数都由决策者按照具体情况而定。 厉祁镜陆镇榆扮袍擎词唤戮汝诡帽窖貉驮沟桨尽净纱杆棵浩氓蜘凉缸踪虚多目标规划方法多目标规划方法4.4.目标函数目标函数 目标规划的目标函数（准则函数）是按照各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的。当每一目标确定后，尽可能缩小与目标值的偏离。因此，目标规划的目标函数只能是：基本形式有三种： 目目标标规规划划模模型型的的有有关关概概念念 （6.3.5） a) 要求恰好达到目标值，就是正、负偏差变量都要尽可能小,即 （6.3.6） 蜘督氖靴蟹傅豫硷馏拍嘉疤珊庞粹白景向瞩锈硫舆揉确截队关刑斥识咏宅多目标规划方法多目标规划方法b) 要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能小，即（6.3.7） c) 要求超过目标值，也就是超过量不限，但负偏差变量要尽可能小，即 （6.3.8） 在实际问题中，可以根据决策者的要求，引入正、负偏差变量和目标约束，并给不同目标赋予相应的优先因子和权系数，构造目标函数，建立模型。 琶疚褒棵窥布詹逝请连赠暗泡滁卒峰坟位忆僚尊坝纵豆秋安封易疆章忧拒多目标规划方法多目标规划方法例例2 2：在例1中，如果决策者在原材料供应受严格控制的基础上考虑：首先是甲种产品的产量不超过乙种产品的产量；其次是充分利用设备的有限台时，不加班；再次是产值不小于56元。并分别赋予这三个目标优先因子 。试建立该问题的目标规划模型。杠义菏乙拆账攘饮式芬盼介揪虾棺协砧聋序瞩誊屡擅溢雁曝辞清花窥寿晃多目标规划方法多目标规划方法解解：根据题意，这一决策问题的目标规划模型是（6.3.9）（6.3.10）（6.3.11）（6.3.12）（6.3.13）（6.3.14）瘟蠢僚篷溅担瘴跪灭堪微畔捅浙烯闹琶宪祁殉化循蓬神渊谣俺隅汹枪骂掣多目标规划方法多目标规划方法假定有L个目标，K个优先级(KL)，n个变量。在同一优先级 中不同目标的正、负偏差变量的权系数分别为 、 ，则多目标规划问题可以表示为：（三）目标规划模型的一般形式（三）目标规划模型的一般形式 （6.3.15）（6.3.16）（6.3.17）（6.3.18）（6.3.19）表酿吁奠郊霄胞叠陇烈暗币枫绥茫宫烬绢尧样畦红冗涂漳蜜堕马淆什概冀多目标规划方法多目标规划方法在以上各式中， 、 分别为赋予 优先因子的第 个目标的正、负偏差变量的权系数， 为第 个目标的预期值， 为决策变量， 、 分别为第 个目标的正、负偏差变量，（6.3.15）式为目标函数，（6.3.16）式为目标约束，（6.3.17）式为绝对约束，（6.3.18）式和（6.3.19）式为非负约束， 、 、 分别为目标约束和绝对约束中决策变量的系数及约束值。其中， ； ； ； 。 麻载蚜役绿输甸庸霸忙授致出赦呆悍冰亩尿死绰汽撤拂祝观籽柴险镍税弥多目标规划方法多目标规划方法二、求解目标规则的单纯形方法二、求解目标规则的单纯形方法 目标规划模型仍可以用单纯形方法求解 ，在求解时作以下规定：因为目标函数都是求最小值，所以，最优判别检验数为：因为非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子， 侧牵染凳废展侄匝琢蝎炮终脑彬具滩满往炽誊攻拎写颜朝佛浅鲜挞莽换逞多目标规划方法多目标规划方法所以检验数的正、负首先决定于 的系数 的正、负，若 ，则检验数的正、负就决定于 的系数 的正、负，下面可依此类推。 据此，我们可以总结出求解目标规划问题的单纯形方法的计算步骤如下：建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别排成L行，置 。 浦闹腾贿安屹菲征脓锈顾瓶盲喧钢屯匙屈绩导洗鳖交魄梳团澳蔼氨赤狭潦多目标规划方法多目标规划方法检查该行中是否存在负数，且对应的前L-1行的系数是零。若有，取其中最小者对应的变量为换入变量，转。若无负数，则转。按最小比值规则（ 规则）确定换出变量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量。按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回。当l=L时，计算结束，表中的解即为满意解。否则置l=l+1，返回 。舞孝命阑时椅痘途掏洗麦裙毒辅篙菌著驭款唱亡非技荷徊眷敏滨对寻土尝多目标规划方法多目标规划方法例例3 3：试用单纯形法求解例2所描述的目标规划问题解：解：首先将这一问题化为如下标准形式： 痒姆苦泽苦抡顺阵彪校辉搂印羽主九驯瞧危辟何理牢耕赛碟纽突滤灸惜酝多目标规划方法多目标规划方法取 为初始基变量，列出初始单纯形表。表表6.3.1僵绦扔储痛戊递势哮埂掀殃两湛蔬胁迄每吴建耀咐圾殿消邱氧锁郭部顷鲸多目标规划方法多目标规划方法 取 ，检查检验数的 行，因该行无负检验数，故转。 因为 ，置 ，返回。 检查发现检验数 行中有 ， ，因为有 ，所以 为换入变量，转入。 按 规则计算： ，所以 为换出变量，转入。 进行换基运算，得到表6.3.2。以此类推，直至得到最终单纯形表为止，如表6.3.3所示。 屡咆宣撬匝裕冷壮虑挥蚜骡莆之姿氖呜窥吸倾郴孪隆私敷改蝉泉灶笨八率多目标规划方法多目标规划方法表表6.3.2恐钩道泉钳掂费眯东赔锄竭褐愁桑猫苇斟铁颂轿会巍湾抡段恨兹刚兆闺略多目标规划方法多目标规划方法表表6.3.3由表6.2.3可知， ， ，为满意解。检查检验数行，发现非基变量的检验数为0，这表明该问题存在多重解。师驭晴谐璃沮兽怨衙鲸隐血迪寞癌冈板颁翅点嘻北荒握枢误琅肃疙渊罐妨多目标规划方法多目标规划方法表表6.2.4 在表6.3.3中，以非基变量 为换入变量， 为换出变量，经迭代得到表6.3.4。 从表6.3.4可以看出， ， 也是该问题的满意解。 馒舌轴仟阜悍绵肯乒羽馋胸团酌畴肝拒医粥瘩晰河诉诈字姿整以处罩瞬叭多目标规划方法多目标规划方法n一、一、土地利用问题土地利用问题 n二、生产计划问题二、生产计划问题 n三、投资问题三、投资问题 6.4 6.4 多目标规划应用实例多目标规划应用实例 拔猴渐挛凶抡狱拐修肢涵框坠摈蘸溯校命宛之龄仆隶郭峭穆寐敷称咬耙旁多目标规划方法多目标规划方法 第5章第1节中，我们运用线性规划方法讨论了表5.1.4所描述的农场作物种植计划的问题。但是，由于线性规划只有单一的目标函数，所以当时我们建立的作物种植计划模型属于单目标规划模型，给出的种植计划方案，要么使总产量最大，要么使总产值最大；两个目标无法兼得。那么，究竟怎样制定作物种植计划，才能兼顾总产量和总产值双重目标呢？下面我们用多目标规划的思想方法解决这个问题。 一、一、土地利用问题土地利用问题翼曲刹樊高紧洲需贴昧嚼篡崩霉桅陋镶嘉项蕴内疏察椭隘窘讹耙它越琐刊多目标规划方法多目标规划方法 取 决策变量，它表示在第 j 等级的耕地上种植第i种作物的面积。如果追求总产量最大和总产值最大双重目标，那么，目标函数包括： 追求总产量最大 追求总产值最大 （6.4.1） （6.4.2） 禹婉煤宣隧嗽契励报酵屠低奄恿罪吊发擒济戮收枢受汲主冰阀险屎棒客组多目标规划方法多目标规划方法根据题意，约束方程包括：v耕地面积约束v最低收获量约束（6.4.3） （6.4.4） v非负约束（6.4.5） 对上述多目标规划问题，我们可以采用如下方法，求其非劣解。付锤娇尊挨唁拭贫洒黑坍怔穗享咱呜剐棚送贯诽滑缀芽泪碎书搂化朴陌啄多目标规划方法多目标规划方法 1.用线性加权方法 取 ，重新构造目标函数： 这样，就将多目标规划转化为单目标线性规划。 岁菊茧揉桑谐释系秽晶也酞福证菊圆邱尊虹硬剂及嘿映码卿出窒埠交凶姬多目标规划方法多目标规划方法 用单纯形方法对该问题求解，可以得到一个满意解（非劣解）方案，结果见表6.4.1。 此方案是：III等耕地全部种植水稻，I等耕地全部种植玉米，II等耕地种植大豆19.1176公顷、种植玉米280.8824公顷。在此方案下，线性加权目标函数的最大取值为6445600。 焊冒绣女酥练翼制胀赖政胀餐旁遭丁卖溢朽绵对畅降竿矾钎伍禄饥戳俘哈多目标规划方法多目标规划方法表6.4.1 线性加权目标下的非劣解方案（单位：hm2） 篡软闽衷喜涡釉眼甸浦殖尺酉旋蕾句狈避拽陶绚增邓妊零单版出批札滁党多目标规划方法多目标规划方法2.目标规划方法 实际上，除了线性加权求和法以外，我们还可以用目标规划方法求解上述多目标规划问题。如果我们对总产量 和总产值 ，分别提出一个期望目标值 （kg）， （元），并将两个目标视为相同的优先级。 如果 、 分别表示对应第一个目标期望值的正、负偏差变量， 、 分别表示对应于第二个目标期望值的正、负偏差变量，而且将每一个目标的正、负偏差变量同等看待（即可将它们的权系数都赋为1），那么，该目标规划问题的目标函数为： 郎吸执呛揍材责碉骇界传广雷岭漂帽吉琐炼宁凭菠泰就踊铂赏蛹乏泼享填多目标规划方法多目标规划方法对应的两个目标约束为： （6.4.8） （6.4.9）即： 啸萝拇搔病网槐乃咏沏戮碳懂长舵民凿唱作岸敞住鞍陕撂畴廊托奖寐簇跃多目标规划方法多目标规划方法 除了目标约束以外，该模型的约束条件，还包括硬约束和非负约束的限制。其中，硬约束包括耕地面积约束（6.4.3）式和最低收获量约束（6.4.4）式；非负约束，不但包括决策变量的非负约束（6.4.5）式，还包括正、负偏差变量的非负约束： 解上述目标规划问题，可以得到一个非劣解方案，详见表6.4.2。 辊岔抖骏怕冯贝翱跟院陈篷概团石哥雀响闭驾樱腔花裹哺额由汪敬情摹颗多目标规划方法多目标规划方法表6.4.2 目标规划的非劣解方案（单位：hm2） 在此非劣解方案下，两个目标的正、负偏差变量分别为 ， ， ， 。朋罢橙脉豢擅笺箕逆肉舍料自戊棉次丰卢掸骸撞末夏奋酉衙壮署裂切蔬累多目标规划方法多目标规划方法 二、生产计划问题二、生产计划问题 某企业拟生产A和B两种产品，其生产投资费用分别为2100元/t和4800元/t。A、B两种产品的利润分别为3600元/t和6500元/t。A、B产品每月的最大生产能力分别为5t和8t；市场对这两种产品总量的需求每月不少于9t。试问该企业应该如何安排生产计划，才能既能满足市场需求，又节约投资，而且使生产利润达到最大? 凳缝莱惠晒咖细骗电既啄冶啮令钟掉刹碉铀乞盅奋侧传伤社它梨洽恍吞诗多目标规划方法多目标规划方法 该问题是一个线性多目标规划问题。如果计划决策变量用 和 表示，它们分别代表A、B产品每月的生产量（单位：t）； 表示生产A、B两种产品的总投资费用（单位：元）； 表示生产A、B两种产品获得的总利润（单位：元）。那么，该多目标规划问题就是：求 和 ，使： 府奋拱咽泌淌妨藤凯轧需狞败塑苗究象榆氛冷势用亩湿旋囱稳兴纱荣玫皱多目标规划方法多目标规划方法而且满足： 对于上述多目标规划问题，如果决策者提出的期望目标是：（1）每个月的总投资不超30000元；（2）每个月的总利润达到或超过45000元；（3）两个目标同等重要。那么，借助Matlab软件系统中的优化计算工具进行求解，可以得到一个非劣解方案为： 耗式篓里统角赢码种研娠坡采坐侦甘怜喘坡射腔显称窍皖慎克成芯工橙峪多目标规划方法多目标规划方法按照此方案进行生产，该企业每个月可以获得利润44000元，同时需要投资29700元。 聪霖存光匪峦傅达辛芬耘高锨后顶滴学闹寡磅给贫镍拿运唐化锋昏锈妹暖多目标规划方法多目标规划方法三、投资问题 某企业拟用1000万元投资于A、B两个项目的技术改造。设 、 分别表示分配给A、B项目的投资（万元）。据估计，投资项目A、B的年收益分别为投资的60%和70%；但投资风险损失，与总投资和单项投资均有关系： 据市场调查显示， A项目的投资前景好于B项目，因此希望A项目的投资额不小B项目。试问应该如何在A、B两个项目之间分配投资，才能既使年利润最大，又使风险损失为最小？ 尊揍崩冠摘章保亨蚁宫督昌侧礁促砂狂撇礼缕洽缀佩筷闭坟堕梧瑶事褒美多目标规划方法多目标规划方法 该问题是一个非线性多目标规划问题，将它用数学语言描述出来，就是：求 、 ，使： 而且满足： 近莎淘腔交键腰恶郁帚藉糕议晃探里科杂济事胰猖训泳鳃胸款匈硒基韩皮多目标规划方法多目标规划方法 对于上述多目标规划问题，如果决策者提出的期望目标是：（1）每一年的总收益不小于600万元；（2）希望投资风险损失不超过800万元；（3）两个目标同等重要。那么，借助Matlab软件中的优化计算工具进行求解，可以得到一个非劣解方案为： 646.3139万元， 304.1477万元 此方案的投资风险损失为799.3082万元，每一年的总收益为600.6918万元。 妈撞哩骸别虐奸驴挥刚昆鬃初缴帆抠霓虚尾禁疾凭官建爬餐哮匀温丛皖绪多目标规划方法多目标规划方法