1 班级：_ 姓名：_ 座号：_ 拉格朗日中值定理形式题目解法拉格朗日中值定理形式题目解法高中导数高中导数 拉格朗日中值定理（高等数学） ：拉格朗日中值定理（高等数学） ： 如果函数 f(x)满足以下条件： (1)f(x)在闭区间a,b上连续； (2)f(x)在开区间(a,b)内可导； 那么至少存在一点，使得成立. 注：本文只讨论这一形式的题目，即拉格朗日中值定理在高中命题中的应用。注：本文只讨论这一形式的题目，即拉格朗日中值定理在高中命题中的应用。 【例 1】 2020 年全国卷文科 节选已知函数 f(x)=2lnx+1， 设 a0， 讨论函数的单调性.（直接+放缩） 解：由题意得 g(x) 得 g(x) = (x0) 即 g(x) = 令 h(x)=lnx+1-x(x0)（引入放缩） 可得 h(x) = (x0) h(x)0 的解为 0x0 (x-a)20 恒成立 g(x)0 恒成立 g(x)在（0，+）上单调递减. 我的笔记：我的笔记：_ _ 【例 2】2018 年全国卷理科节选已知函数 f(x) = ，若 f(x)存在两个极值点x1、x2，证明： 0) x1、x2为 f(x)的两个极值点 x1、x2分别对应-x2+ax-1=0的两个根 设0x1x2，有x1+x2=a，x1x2=1 0x11x2a，x1 = = =-2 a-2 等价于1，即2lnx2x2 - 需证明2lnx21) （引入放缩） h(x)=1 h(x)h(x)max=0 0，即 2lnx . 2lnx2，即1 得证. ， 即等价于 3 令 h(x)=g(x)+ 若需要成立，则需要函数 h(x)在区间1,e上单调递减成立. 由题意得 g(x)= h(x) = ，h(x) = h(x)在1,e上单调递减 在1,e上恒成立 得m+1(1-x)ex 令，有 x1,e 恒成立 m+1(1-x)ex m+1 m+10 实数 m 的取值范围为 . 我的笔记：我的笔记：_ _ 主编说： 其实这些题目都有一个共同点，即看似复杂，实则“高起点、低落点” ，许多考生被表象所迷惑，认为太难了， “不是我的菜” ，匆匆扫一眼题目就已经从心理上放弃了，虽会手头上挣扎一下，但打心底就认为自己做不出了，于是会出现“考时懵圈、考后大悟”的现象。 所谓“都是假象” ，应对方法其实很简单，就是一句话：不畏难，迎难而上，题中的一切都是最好的安排！ 练习（兼解法补充） 2021 江西重点中学盟校联考节选已知 f(x)=lnx，设0x11),g(t)=lnt - (t1) K=，有 g(t)=lnt-t- (t1)， g(t)= (t1)，令 h(t)=-t2+t+1(t1)， h(t)=-2t+1(t1)，h(t)0 在定义域内恒成立 h(t)在定义域内单调递减 t1 时，h(t) 1；t+时，h(t) -，h(2)=-10 ，使得h(t0)=0，此时g(t0)=0， 有 g(t)在(1,t0)上单调递增，在(t0,+)上单调递减， g(t)max=g(t0)，有g(t0)= =0 ， g(t0)=lnt0-1， lnt0(0,ln2)(0,1) g(t0)0，即g(t)max0 成立 g(t)g(t)max g(t)0 在(1,+)上恒成立 x10 K0 在定义域内恒成立 得 f(x1)+f(x2) . 我的笔记我的笔记：_ _ 文尾：文尾：最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹！