1.3.1函数的单调性函数的单调性函数的基本性质增函数增函数减函数减函数图象图象图象图象特征特征自左至右自左至右,图象上升图象上升.自左至右自左至右,图象下降图象下降.数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大.当当x1x2时，时，y1y2y随随x的增大而减小的增大而减小.当当x1x2时，时，y1y2例例1. 指出下列函数的单调区间：指出下列函数的单调区间： 解解：无单调减区间无单调减区间无单调增区间无单调增区间归纳：函数归纳：函数 的单调的单调性性单调增区间单调增区间单调减区间单调减区间K0K0 a0的对称轴为成果运用成果运用若若二次函数二次函数 的单调增区间是的单调增区间是 ， 则则a的取值情况是的取值情况是 （ ） 变式变式1变式变式2请你请你说出一个单调减区间是说出一个单调减区间是 的二次函数的二次函数变式变式3请你请你说出一个在说出一个在 上单调递减的函数上单调递减的函数A. B. C. D. 若若二次函数二次函数 在区间在区间 上单调递上单调递增，求增，求a的取值范围。的取值范围。 变式变式4讨论函数讨论函数 在在(-2,2)(-2,2)内的单调性内的单调性. .成果运用成果运用若若二次函数二次函数 在区间在区间 上单调递上单调递增，求增，求a的取值范围。的取值范围。 解：解：二次函数二次函数 的对称轴为的对称轴为 , ,由图象可知只要由图象可知只要 ，即，即 即可即可. . oxy1xy1o例例3. 指出下列函数的单调区间：指出下列函数的单调区间：_ ,xyO思考思考1：思考思考2：函数函数 的单调区间是什么？的单调区间是什么？ 的单调增区间是 归纳：归纳： 在在 和和 上的单调性上的单调性？解：没有单调增区间没有单调增区间证明：函数证明：函数f(x)=1/x f(x)=1/x 在在(0(0，+)+)上是减上是减函数。函数。证明：证明：设设x1,x2是是(0(0，+)+)上任意两个实数，上任意两个实数，且且x10,又由又由x10所以所以f(x1)- f(x2)0, 即即f(x1) f(x2)因此因此 f(x)=1/x 在在(0，+)上是减上是减函数。函数。取值定号变形作差判断 单调增区间单调增区间 单调减区间单调减区间 的单调区间，yoxoyxyox在(-,+)是减函数在(-,0)和(0,+)是减函数在 增函数在 减函数yoxyoxyox在(-,+)是增函数在(-,0)和(0,+)是增函数在 增函数在 减函数 例例4、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。证明：证明：根据单调性的定义，设根据单调性的定义，设V1，V2是定义域是定义域(0，+)上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且V10, 由由V10又又k0,于是于是 所以，函数所以，函数 是减函数是减函数.也就是说，当体积也就是说，当体积V减少时，压强减少时，压强p将增大将增大.取值定号变形作差结论结论判断判断函数单调性的方法步骤函数单调性的方法步骤 1 任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5 下下结结论论（即即指指出出函函数数f(x)在在给给定定的的区区间间D上上的的单调性）单调性） 利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单上的单调性的一般步骤：调性的一般步骤：思考？思考：思考：画出反比例函数f(x)=1/xf(x)=1/x的图象1 这个函数的定义域是什么？2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论 归纳小结归纳小结 函数的单调性一般是先根据图象判断根据图象判断，再利再利用定义证明用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取取 值值 作作 差差 变变 形形 定定 号号 下结论下结论 判断函数判断函数 在区间在区间(- -1,1)上的单调性上的单调性.解解: :设设则则 f( (x1 1) )f( (x2 2) )1x1x21,1+x1x20,x2x10, f(x1)f(x2)0 .即即 f(x1)f(x2) .故此函数在故此函数在( (- -1,1)1,1)上是减函数上是减函数. ._