8.8 多元函数极值多元函数极值 一、多元函数的极值和最优值一、多元函数的极值和最优值 观察二元函数观察二元函数 的图形的图形. 设函数设函数z=f(x, y)在点在点(x0, y0)的某邻域内有定义的某邻域内有定义, 对于该邻域内对于该邻域内异于异于(x0, y0)的任意点的任意点(x, y), 若满足不若满足不等式等式:f(x, y) f(x0, y0)则称则称函数函数f(x, y)在点在点(x0, y0)处有极小值处有极小值f(x0, y0), 称点称点 (x0, y0)为为函数函数f(x, y)的极小值点的极小值点. 极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值. 使函数取得极值的使函数取得极值的点称为点称为极值点极值点.1. 多多元函数极值的定义元函数极值的定义 函数函数z=xy在点在点(0, 0)处无极处无极值值.函数函数在点在点(0, 0)处有极大值处有极大值. 函数函数z=3x2+4y2在点在点(0, 0)处有极小值处有极小值.证证: 不妨设函数不妨设函数z=f(x, y)在点在点(x0, y0)处有极大值处有极大值.则则对点对点(x0, y0)的某邻域内的某邻域内任意的任意的(x, y) (x0, y0)都有都有, f(x, y) f(x0, y0)则则当当y=y0, x x0时时, 仍有仍有 f(x, y0)0时时具有极值具有极值, 当当A0时有极小值时有极小值; (2) 当当ACB20, 且且A=120, 所以所以函数在点函数在点(1, 0)处有极小值处有极小值f(1, 0)= 5; 在点在点(1, 2)处处, ACB2=12 (6)0, 在点在点(3, 0)处处, ACB2=(12) 60, 且且A= 120, 所以函数在点所以函数在点(3, 2)处有极大值处有极大值f(3, 2)=31. 例例2: 求由方程求由方程 x2+y2+z22x+2y4z10=0 确定的确定的隐函数隐函数z=f(x, y)的极值的极值.解解: 在方程两边分别对在方程两边分别对x, y求偏导求偏导, 得得由函数取极值的必要条件知由函数取极值的必要条件知, 求驻点求驻点. 令令得得驻点驻点P(1, 1).在上述方程组两边再分别对在上述方程组两边再分别对x, y求偏导数求偏导数, 得得将将驻点驻点P(1, 1)代入上述方程组方程组代入上述方程组方程组, 并注意到并注意到 得得故故将驻点将驻点P(1, 1)代入原方程代入原方程, 得得 z1= 2, z2=6. 当当z2= 2时时, 所以所以z=f(1, 1)= 2为极小值为极小值; 当当z2=6时时, 所以所以z=f(1, 1)=6为极大值为极大值. 与一元函数相类似与一元函数相类似, 我们可以利用函数的极值来我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值求函数的最大值和最小值. 设函数设函数f(x, y)在在区域区域D上连续上连续, D内可微且在内可微且在D内内至多有有限个驻点至多有有限个驻点, 这时若这时若f(x, y)在在D内内取得最优值取得最优值, 则这个最值也一定是极值则这个最值也一定是极值. 3. 多元函数的最优值问题多元函数的最优值问题 求最优值问题的一般方法求最优值问题的一般方法: 将函数在将函数在D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D的边的边界上的最大值和最小值相互比较界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大者即为最其中最大者即为最大值大值, 最小者即为最小值最小者即为最小值. 在实际问题中在实际问题中, 往往根据问题的性质就可以断定往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值函数在区域内部确有最大值(最小值最小值), 这时如果函数这时如果函数在区域内只有一个驻点在区域内只有一个驻点, 则可以断定该点处的函数值则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值就是函数在区域上的最大值(最小值最小值). 例例3: 求二元函数求二元函数 z=f(x, y)=x2y(4xy) 在以直线在以直线x+y=6, x轴和轴和y轴所围成的闭区域上的最大值与最小值轴所围成的闭区域上的最大值与最小值.解解: 区域区域D如图如图, 先求函数在先求函数在D内的驻点内的驻点. 解方程组解方程组 得区域得区域D内的唯一驻点内的唯一驻点(2, 1), 且且f(2, 1)=4. 再求函数再求函数f(x, y)在在D的边界上的最大的边界上的最大(小小)值值. 在边界在边界x=0和和y=0上上f(x, y)=0, 在边界在边界x+y=6上上, 有有y=6x, 则则 f(x, y)=x2(6x)(2), 由由fx(x, y)=4x(x6)+2x2=0, 得得 x1=0, x2=4, 对应对应 y1=6, y2=2. 则则 f(0, 6)=0, f(4, 2)= 64. 比较得知比较得知: f(2, 1)=4为为最大值最大值, f(4, 2)= 64为最小为最小值值. 无条件极值无条件极值: 对自变量除了限制在定义域内之对自变量除了限制在定义域内之外外, 并无其他限制条件并无其他限制条件.条件极值条件极值: 对自变量有附加限制条件的极值对自变量有附加限制条件的极值. 二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法 一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解件极值来求解降元法降元法, 但这种方法需要经过解方但这种方法需要经过解方程和代入的手续程和代入的手续, 对于较复杂的方程就不容易作到对于较复杂的方程就不容易作到, 有时甚至是不可能的有时甚至是不可能的. 解决条件极值问题的一般方法是解决条件极值问题的一般方法是Lagrange乘数法乘数法升元法升元法.xyzoz=f(x, y) CM无条件极值点无条件极值点 P条件极值点条件极值点 D 或者表述为在或者表述为在xoy面上面上的曲线的曲线 (x, y)=0上寻求一上寻求一点点(x0, y0), 使得使得f(x, y) f(x0, y0)其中点其中点(x, y)在曲线在曲线C上上. 不妨设不妨设 y(x0, y0) 0, 则则 (x, y)=0在在(x0, y0)附近附近确定了一个隐函数确定了一个隐函数y=y(x). z=fx, y(x)在点在点P(x0, y0)处处取得极值的必要条件为取得极值的必要条件为: 假定点假定点P(x0, y0)为条为条件极值点件极值点, 在在(x0, y0)的某的某个邻域内个邻域内f(x, y)可微可微, x(x, y), y(x, y)连续且不连续且不同时为同时为0.即即又由隐函数的微分法知又由隐函数的微分法知 故故令令,则则P(x0, y0)为条件极值点的必要条件为为条件极值点的必要条件为: 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数z=f(x, y)在条件在条件 (x, y)=0下的可能极值下的可能极值点先构造函数点先构造函数: F(x, y)=f(x, y)+(x, y)其中其中 为某一常数为某一常数, 解出解出x0, y0, 0, 其中其中(x0, y0)就是可能的极值点的坐就是可能的极值点的坐标标. 可由可由 其中其中 1, 2均为常数均为常数. 要求函数要求函数u=f(x, y, z, t)在条件在条件 (x, y, z, t)=0, (x, y, z, t)=0下的极值下的极值, 先构造函数先构造函数拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况: F(x, y, z, t)=f(x, y, z, t)+ 1 (x, y, z, t)+ 2 (x, y, z, t) 可能极值点的坐标可由函数可能极值点的坐标可由函数F(x, y, z, t)的偏导数的偏导数为零及条件为零及条件 (x, y, z, t)=0, (x, y, z, t)=0解出解出. 解一解一: 设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为体在第一卦限的顶点的坐标为(x, y, z). 则长方体的体则长方体的体积为积为: V = 8xyz例例4: 求内接于椭球面求内接于椭球面 体的体积体的体积, 长方体的各面平行于坐标面长方体的各面平行于坐标面.的最大长方的最大长方 令令则由则由 另解另解三三方程方程: 由由 两式相除得两式相除得: 同理同理 即即代入椭球面方程解得代入椭球面方程解得: 前三个前三个方程方程分别乘以分别乘以x, y, z并并相加相加, 注意到约束条件得注意到约束条件得: 3xyz = 2 .代入上三代入上三方程方程解得解得: 从而有从而有 由可能极值点的唯一性和椭球面内接最大长方体由可能极值点的唯一性和椭球面内接最大长方体的存在性可知的存在性可知: 这时长方体在第一卦限顶点的坐标为这时长方体在第一卦限顶点的坐标为:解二解二: 作变量替换作变量替换: 问题变成在单位球面问题变成在单位球面X2+Y2+Z2=1内求内接长方体内求内接长方体的最大体积问题的最大体积问题. 设设(X, Y, Z)为为长方体在第一卦限顶点的坐标长方体在第一卦限顶点的坐标, 此此时长方体的体积为时长方体的体积为:V=8XYZ令令 F(X, Y, Z)=XYZ+ (X2+Y2+Z21)最大长方体的长宽高分别为最大长方体的长宽高分别为: 最大体积为最大体积为: 及及类似可解得类似可解得: 从而从而, 单位球面内接最大体积的长方体为正方体单位球面内接最大体积的长方体为正方体, 且且边边 长为长为 最大体积为最大体积为 因此因此, 椭球面内接最大长方体的长宽高分别为椭球面内接最大长方体的长宽高分别为: 最大体积为最大体积为: 平面平面, 使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小小, 求切点坐标求切点坐标.例例5: 在第一卦限内作椭球面在第一卦限内作椭球面 的切的切 解解: 设设P(x0, y0, z0)为椭球面上一点为椭球面上一点. 先求切平面先求切平面. 令令则则过过P(x0, y0, z0)的切平面方程为的切平面方程为: 化简为化简为: 该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为: 所围四面体的体积为所围四面体的体积为: 下求下求V的最小值的最小值. 问题转化为问题转化为: 在条件在条件 为了便于求解为了便于求解, 作变换作变换: 下求下求u的最小值的最小值. 问题转化为问题转化为: 在条件在条件 设设由由即即可得可得 所以所以, 所求切点坐标为所求切点坐标为: 四面体的最小体积为四面体的最小体积为: 思考题思考题 若函数若函数f(x0, y)及及f(x, y0)在点在点(x0, y0)均取得极值均取得极值, 则函数则函数f(x, y)在点在点(x0, y0)是否也取得极值是否也取得极值? 思考题解答思考题解答否否! 例如函数例如函数 f(x, y) = x2 y2. 当当 x=0 时时, f(0, y) = y2, 在点在点(0, 0)处取得极大值处取得极大值;当当 y=0 时时, f(x, 0) = x2 , 在点在点(0, 0)处取得极小值处取得极小值.但点但点(0, 0)不是函数不是函数 f(x, y) = x2 y2 的极值点的极值点. 三、小结三、小结多元函数的极值多元函数的极值: 取得极值的必要条件取得极值的必要条件, 充分条件充分条件;多元函数的最优值问题多元函数的最优值问题;条件极值与拉格朗日乘数法条件极值与拉格朗日乘数法.