第 1 页 共 13 页解析几何小练习以离心率为主1假设直线1xyab通过点(cossin)M，则A221abB221abC22111abD22111ab【答案】 D【 解 析 】 方 法1 ： 由 题 意 知 直 线1xyab与 圆221xy有 交 点 ， 则2222111111abab1,.方法 2：设向量1 1(cos ,sin),(, )a bm =n =，由题意知cossin1ab由m nm n可得22cossin11abab12如图， AB 是平面a的斜线段，A 为斜足，假设点P 在平面a内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是 ( ) A圆B椭圆 C一条直线D两条平行直线【答案】 B 【解析】本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱外表的问题。考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P到直线 AB 的距离为定值，假设忽略平面的限制，则P 轨迹类似为一以 AB为轴心的圆柱面，加上后者平面的交集，轨迹为椭圆！还可以采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，故面积也为无穷大， 从而排除C与 D，又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！3如图，1F和2F分别是双曲线)0,0(12222babrax的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为A3B5C25D31精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页第2页 共13页【答案】 D 【解析】 如图，1F和2F分别是双曲线)0,0( 12222babrax的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且ABF2是等边三角形，连接AF1， AF2F1=30， |AF1|=c ，|AF2|=3c，2( 31)ac，双曲线的离心率为31，选 D。4已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且2AKAF，则AFK的面积为 () 481632【答案】 B 【解析】抛物线2:8Cyx的焦点为2 0F，准线为2x2 0K，设00A xy，过A点向准线作垂线AB，则02By，2AKAF，又0022AFABxx由222BKAKAB得22002yx，即20082xx，解得24A，AFK的面积为01144822KFy故选 B 【点评】此题重点考察抛物线的第二定义，抛物线中与焦点，准线有关三角形问题；【点评】由题意准确化出图象，利用离心率转化位置，在ABK中集中条件求出0x是关键；5椭圆12222byx的焦点为21,FF, 两条准线与x 轴的交点分别为M、 N，假设212FFMN，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页第 3 页 共 13 页A.1222yxB. 13222yxC.12222yxD.13222yx【答案】 A【解析】由212FFMN可得cca2222所以2122ac即212e可见 e 的最小值为22.又11222222caba6直线 l 过双曲线2222byax=1 的右焦点 ,斜率 k=2,假设 l 与双曲线的两个交点分别在双曲线左、右两支上,则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A.e2B.1e3C.1e5【答案】 D 【解析】如图,ab2,即 b24a2,c2-a24a2.e5. 7 ：已知双曲线)0, 0(12222babyax的左顶点、右焦点分别为A、F，点 B 0，b ，假设BFBABFBA，则该双曲线离心率e 的值为A213 B215 C215 D2【答案】：B 【解析】：考点：双曲线的简单性质分析：通过BFBABFBA，判断三角形ABF 的关系，利用三角形的关系，得到 a， b，c 的关系，结合双曲线a，b，c 关系求出双曲线的离心率即可解：因为双曲线)0, 0(12222babyax的左顶点、右焦点分别为A、F，点 B0，b，BFBABFBA，所以 AB BF，三角形 ABF是直角三角形，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页第4页 共13页所以 |AB|2+|BF|2=|AF|2即： c2+b2+c2=a+c2 b2=c2-a2 3c2-a2=a+c2 c2-a2-ac=0 ，e2-e-1=0 ，解得： e=512e=152舍去故答案为： B8设21,ee分别为具有公共焦点21FF 与的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足22212111,0eePFPF则的值为A2 B23C4 D25【答案】 A9已知双曲线22221xyab a0，b 0的一条渐近线为ykx (0)k，离心率5ek，则双曲线方程为 A22xa224ya=1 (B)222215xyaa(C)222214xybb(D)222215xybb【答案】 C【解析】5ceka，2225bkackaabc， 所以224ab。10椭圆22ax+22by=1(ab0)的离心率e=21,左焦点为F,A、B、C 为其三个顶点 ,直线 CF与 AB 交于 D,则 tanBDC 的值等于 ( )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页第 5 页 共 13 页33C.5353【答案】 A【解析】 e=ac=21, a=2c,b=3c.直线 AB 的方程为cx2+cy3=1,kAB=23,同理 ,kFC=-3. tanBDC=ABFCABFCkkkk?1=231233=33.11椭圆的一个焦点和短轴的两个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( ) A.12B.32C.33【答案】 B 【解析】如图, ca=cos30=32. 12 已知椭圆22153xy，双曲线22153xy和抛物线24yx的离心率分别为123,e e e，则A. 1 23e ee B. 1 23eee C. 123eee D. 123eee【答案】 C 【解析】 试题分析： 椭圆22153xy的离心率1105e；双曲线22153xy的离心率22 105e； 抛 物 线24yx的 离 心 率31e；122 101041555ee精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页第6页 共13页123eee。考点：圆锥曲线的离心率。点评：椭圆和双曲线的离心率都是cea222cab；双曲线中222cab。13双曲线0,012222babyax的离心率是2，则ab312的最小值为A 、332B、33C、2 D、1 【答案】 A 【 解 析 】 双 曲 线 的 离 心 率 为2， 所 以 有41222abe， 所 以223ab， 所 以aaab3133122aa31332，故选 A 14 假设双曲线)0,0( , 12222babyax的离心率为e，过双曲线的右焦点且斜率为22e的直线与双曲线的两个交点分别在第三、四象限，则离心率e的取值范围是A351e B350eC1e D 35e【答案】 A. 【解析】如下图，交点在第三、四象限，则满足222022(22)bbeeaa，即225484113eeee，因此选A.15如图，在等腰梯形SBCD中， AB CD,且 AB=2AD ，设,(0,)2DAB, 以 A,B为焦点且过点D 的双曲线离心率为1e，以 C,D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e，则角的增大，1e增大，1 2e e为定值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页第 7 页 共 13 页B. 随着角的增大 ，1e减小，12e e为定值C. 随着角的增大，1e增大，1 2e e也增大D随着角的增大，1e减小，1 2e e也减小【答案】B【解析】该试题考查的知识点主要有：椭圆、双曲线及其离心率的定义，平面几何和三角函数的简单知识，函数的单调性.思路分析：首先以角为参变量，根据椭圆和双曲线的离心率定义，结合平面几何的简单知识，把1e和2e都表示为的函数 .其次，根据有关函数单调性的知识特别是复合函数的单调性知识判别函数1e的单调性 .最后，通过计算，观察12e e是否是常数函数，以确定12e e是否为定值 ,如果12ee不为常数函数，还要继续考查12e e的单调性 .具 体 解 答 过 程 ： 由 题 可 知 ： 双 曲 线 离 心 率1|ABeDBDA与 椭 圆 离 心 率2|.|CDeBDBC设| |ADBCt则|2ABt，|22 cosCDtt，|54cosBDt，故1254cos1e，222cos54cos1e，当0,2时，增大，cos减小，导致1e减小 . 12222cos154cos154cos1e e. 故选 B. 试题点评： 从以上解题过程可以看出，该题的综合性是比较强的，要完整地做出这道题，需要考生把相关的知识点有机地结合起来，并进行适当的运算.该题属于中等难度的题. 16曲线6161022aayax与曲线9519522bbybx有 A相同的焦距 B相同的离心率C相同的焦点D相同的准线【答案】 A 【解析】：由6161022aayax知这是焦点在x轴上的椭圆，由22159xybb59b得9515922bbxby， 即这是焦点在y轴上的双曲线， 故排除 B、 C、D，选择 A。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页第8页 共13页17已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),( ,0)FcFc，假设 双 曲 线 上 存 在 一 点P使1221sinsinPF FaPF Fc， 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 的 取 值 范 围是。【答案】(121)，【解析】解法1：因为在12PF F中，由正弦定理得211221sinsinPFPFPF FPF F，则由已知，得1211acPFPF，即12aPFcPF，且知点P 在双曲线的右支上，设点00(,)xy由焦点半径公式，得1020,PFaexPFexa， 则00()()a aexc exa，解得0()(1)()(1)a caa exe cae e，由双曲线的几何性质知0(1)(1)a exaae e则，整理得2210,ee解 得2121(1,)ee，又， 故 椭 圆 的 离 心 率(1, 21)e。解法 2 由解析 1 知12cPFPFa由双曲线的定义知212222222caPFPFaPFPFaPFaca则即， 由 椭 圆 的 几 何 性 质 知22222,20,aPFcacacacaca则既所以2210,ee以下同解析1。18 设 F1，F2是椭圆 C：22221xyab(0)ab的两个焦点，假设在C上存在一点P,使 PF1PF2，且 PF1F2=30，则 C的离心率为 _.【答案】31【解析】试 题 分 析 ： 因 为PF1 PF2， 且 PF1F2=30 ， 所 以PF1=12sin603F Fc，PF2=12sin 30F Fc，又 PF1+PF2=2a，所以 2a=3cc，231ca=31.考点：椭圆方程和性质. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页第 9 页 共 13 页19过抛物线22ypx (0)p焦点F的弦AB，过,A B两点分别作其准线的垂线,AM BN，垂足分别为,MN，AB倾斜角为，假设1122(,),(,)A x yB xy，则2124px x；221pyy|1cospAF，|1cospBF|2|AFBFAFBFp?，|AB1222,sinpxxp0FM FN其中结论正确的序号为【答案】【解析】试题分析：抛物线焦点(,0)2pF，直线AB 斜率为tank，则直线AB 方程为()2pyk x，代入抛物线方程并整理得22222(2)04k pk xp kx，有韦达定理可得21222(2)2p kpxxpkk，2124px x，所以2241212()4y yp x xp，由题意可知12,yy异号，所以221pyy，故正确；由 抛 物 线 的 定 义 知cos ,cosAFpAFBFpBF, 整 理 可 得|1cospAF，|1cospBF，故正确；由抛物线的定义知12,22ppAFxBFx，1212()()()22ppABAFBFxxxxp212 (1)pk212 (1)tanp22sinp，故正确；由可知222sin1cos1cospAFBFABppAFBFAFBFp?，故正确；由抛物线定义知AMAF,AMAF, 所以,AMFAFMBNFNFB,设抛物线准线与x 轴交点为 E，则平行可得,AMFMFEBNFNFE。所以90MFENFE，即90MFN, 所以MFNF, 所以0FM FN，故正确。考点：抛物线定义，及直线与抛物线的位置关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页第10页 共13 页20 已知抛物线24(0)ypx p与椭圆22221(0)xyabab有相同的焦点F， 点A是两曲线的交点，且AFx轴，则椭圆的离心率为 .【答案】21【解析】试 题 分 析 ： 依 题 意 ， 抛 物 线24(0)ypx p的 焦 点( ,0)F p， 也 是 椭 圆22221(0)xyabab222abp. 点A是两曲线的交点，且AFx轴，则点A横坐标为p， 代入抛物线方程得(,2)A pp或( , 2 )A pp， 将其代入椭圆方程中得222241ppab， 又222abp. 所 以2222241ppaap， 而 椭 圆 的 离 心 率222ppeeaa.所以22222222222222244411ppppeaeapaapaea，得232 2e. 又因为椭圆离心率范围为(0,1)，所以2232 2(21)e，即21e.考点：椭圆与抛物线的几何性质21抛物线xy82的焦点为F，点),(yx为该抛物线上的动点， ，又已知点)0, 2(A，则|PFPA的取值范围是 .【答案】2, 1 【解析】试题分析：由抛物线的定义可得2|xPF，又xxyxPA8)2()2(|222，448128)2(|22xxxxxxPFPA，当0x时，1|PFPA；当0x时，44814481|2xxxxxPFPA，4424xxxx，当且仅当xx4即2x时取等号，于是844xx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页第 11 页 共 13 页1448xx，2, 1(4481xx，综上所述|PFPA的取值范围是2, 1.考点：抛物线的定义、最值问题，基本不等式.22P为抛物线24yx上任意一点， P在y轴上的射影为Q ，点 M 4，5 ，则 PQ与 PM长度之和的最小值为【答案】341【解析】试题分析：设点P到准线1x的距离为d，则PQPMd1PM，由抛物线定义dPF，故只需PFPM最小，其最小值为M,F 两点之间的距离为34，所以PQPM的最小值为341.xyFMQPdO考点： 1、抛物线定义和标准方程；2、平面内两点之间的距离.23已知椭圆22221(0)xyabab的离心率32e，A,B 是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B 的一点，直线PA,PB倾斜角分别为,，则cos()=cos+（）【答案】35.【解析】试题分析 : 由32e可得2ab. 让 P 取在短轴的顶点上则11tan,tan22. 又因为cos()=cos+（）coscossinsin1tantancoscossinsin1tantan=35. 此题采用特值法使得解题简单. 由于点是动点所以不用特值法很难解. 这也是数学选择天空题中的常用的一种有效的方法.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页第12页 共13 页考点： 1. 椭圆的离心率.2. 三角函数的运算.3. 特值法的使用.24已知双曲线2221(0)9xybb，过其右焦点F作圆922yx的两 条切线，切点记作,C D，双曲线的右顶点为E，150CED，则双曲线的离心率为 .【答案】2 33【解析】试题分析：0150CED，075CEO，而OCOE，075OCE，015ECF，075ECFCFECEO，060CFE，在Rt COF中，3OCa，OFc，03sin 602ac，即2 33cea.考点： 1. 平面几何中角度的换算；2. 双曲线的离心率.25已知双曲线122yx, 点 F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，假设1PF2PF则1PF+2PF的值为 _.【答案】2 3【解析】试题分析： 由条件知：2c， 而1ab，221212|8| 2PFPFPFPF， 12| 2PFPF，222121212(|)|2 | 8412PFPFPFPFPFPF，12|2 3PFPF.考点： 1. 焦点三角形问题；2. 双曲线的定义.26已知椭圆)0( 12222babyax的左、右焦点分别为)0,(),0 ,21cFcF （, 假设椭圆上存在点P使1221sinsinFPFcFPFa, 则该椭圆的离心率的取值范围为_ 【答案】( 21,1)【解析】试题分析：要求离心率的取值范围，要求我们能找到一个关于离心率或, ,a b c的不等关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页第 13 页 共 13 页系 ， 我 们 从 唯 一 的 已 知 等 式1221sinsinFPFcFPFa入 手 ， 在12PF F中 有211221sinsinPFPFPF FPF F，因此有21PFPFac，12,PFPF是椭圆上的点到焦点的距离，于是想到焦半径公式，设00(,)P xy，则10PFaex，20PFaex，从而有00aexaexac0ac axac e. 根据题意，0axa，因此不等关系就是ac aaaac e， 即11111ee e， 解 得21e， 又 椭 圆 中1e， 故211e.考点：正弦定理，椭圆的离心率，焦半径公式.27已知点1F、2F分别是双曲线22221xyab的左、 右焦点，过1F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，假设2ABF为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 _.【答案】1,12【解析】试题分析：根据题意，作图像如下：由已知得1,0Fc， 将它代入双曲线方程可得，2bya， 所以21bAFa， 因为2ABF是 锐 角 三 角 形 ， 所 以290AF B， 则2145AF F， 在12AF F中 ，2121F AFAF F， 所 以211F FAF， 即22bca， 由222bca化 简 得 ，2220caca， 不 等 式 两 边 都 除 以2a得 ，2210ee， 又1e， 解 得112e.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页