习题选解第一章习题1.1(第7页) =1, 2, 3, 4, 5, 6, A=1, 3, 5. 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A: (1)抛一颗骰子, 观察向上一面的点数, A表示“出现奇数点”. (2)对一个目标进行射击, 一旦击中便停止射击, 观察射击的次数, A表示“射击不超过3次”. (3)把单位长度的一根细棒折成 三段, 观察各段的长度, A表示“三段细棒能构成一个三角形”. =1, 2, 3, ，A=1, 2, 31高级培训 =(a, b, 1ab)|a, b0且a+b1, 2. 把 表示成n个两两互不相容事件的和。 A=(a, b, 1ab)|0a, b0.5 =(a, b, c)|a, b, c0且a+bc1, =(a, b, c)|0a, b, c0且x+y+z=l, A=(x, y, z)|0x, y, z0为常数). 所以, c=1/(e1).53高级培训 2.已知随机变量X只取1, 0,1, 2四个值,相应概率依次为1/2c, 3/4c, 5/8c, 7/16c,试确定常数c, 并求PX1|X0. 解 由分布律的性质有： 1/2c+3/4c+5/8c+7/16c=37/16c=1所以, c=37/16. PX1|X0=PX1且X0/PX0 =PX=1/1PX0 =(8/37)/112/37 =8/2554高级培训 3. 一批产品分一、二、三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半. 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 试用随机变量描述检验的可能结果, 并写出其分布律. 解 记Xi为检验结果为i级品, 则X只能取1, 2, 3.若设PX=2=p, 则PX=12p, PX=3 =0.5P, 于是p+2p+0.5p=1, 即p=2/7. 即X的分布律为: PX=1=4/7. PX=2=2/7. PX=3=1/7. 或写成: 55高级培训 4. 某运动员的投篮命中率为0.4, 写出他一次投篮命中数X的分布律. 解 显然, X只能取0，1，其分布律为： PX=0=0.6, PX=1=0.4.或写成: , 或X01P0.60.4 5. 上抛两枚硬币, 写出正面朝上的个数Y的分布律. 解 显然, Y只能取0, 1, 2, 其分布律为： PY=0=0.25, PY=1=0.5, PY=2=0.25.56高级培训 7. 设随机变量XB(6, p), 已知PX=1=PX=5, 求PX=2的值. 解 由于XB(6, p), 所以, PX=k=C6kpk(1-p)6-k,由已知有：6p(1-p)5=6p5(1-p), 所以, p=0.5.因此, PX=2=150.520.54=15/640.2344 8. 已知事件A在一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于三次时, 指示灯将发出信号, 若按一下两种方式进行试验, 分别求指示灯发出信号的概率. 解 (1) PX3= (2) PX3=1PXN0.05, 则 PXN0.95因为:所以, PX1=0.7374+0.2281=0.96550.95因此，取N=1便满足条件。即, 配备一名技师便可以保证设备发生故障.58高级培训 11. 某救援站在长度为t的时间(单位:h)内收到救援信号的次数X服从P(t/2)分布且与时间的起点无关, 试求某天下午救援站在1点至6点间至少收到一次救援信号的概率. 解 由已知, 1点至6点收到救援信号的次数XP(5/2),所以, PX1=1PX=0=1e-2.50.9179 12. 若XP()且PX=2=PX=3, 求PX=5. 解 由已知有: 2e/2=3e/6, 所以, =3所以, PX5=5e/5!35e3/5!0.1008 59高级培训 13. 设步枪射击飞机的命中率为0.001, 今射击6000次,试按泊松分布近似计算步枪至少击中飞机两弹的概率, 并求最可能击中数. 解 记X为击中弹数, 则XB(6000, 0.001)所以, PX2=1PX=0PX=1 1e66e60.9826实际上,PX2=10.999600060000.0010.9995999 0.9827X的最可能数为: (n+1)p=6.001=6即, 最可能击中数为6。60高级培训 15. 在有8件正品, 2件次品的10件产品中随机地取3件,写出取出的次品数X的分布律. 解 XH(10, 2, 3)，其分布律为: PX=0=8/107/96/8=7/15 PX=1=38/107/92/8=7/15 PX=2=38/102/91/8=1/15 16. 在一副扑克牌中(按54张计)随机地抽出5张, 求抽出黑桃张数的概率分布. 解 黑桃张数XH(54, 13, 5)，其分布律为:61高级培训 17. 一批产品的次品率为0.02, 从中任取20件, 现已初步查出2件次品, 求20件中次品数不小于3的概率. 解 20件中次品数XB(20, 0.02)，于是, PX3|X2=PX3/PX2 =1-PX3/1-PX2 =1-0.9820-200.020.9819-1900.0220.9818/ 1-0.9820-200.020.98190.1185 18. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p, 且生产过程中一旦出现废品即刻重新进行调整. 求在两次调整之间生产的合格品数的分布律. 解 合格品数X1G(P)，于是, 其分布律为: PX=k=(1-p)kp，k=0, 1, 2, 62高级培训 19. 某射手有5发子弹,每射一发子弹的命中率都是0.7,如果命中目标就停止射击, 不中目标就一直射击到子弹用完为止, 试求所用子弹数X的分布律. 解 显然, X只能取1, 2, 3, 4, 5, X的分布律为: PX=1=0.7; PX=2=0.30.7=0.21; PX=3=0.320.7=0.063; PX=4=0.330.7=0.0189; PX=5=0.34=0.0081.63高级培训 20. 从有10件正品, 3件次品的产品中一件一件地抽取,每次抽取时, 各件产品被抽到的可能性相等. 在下列三种情形下,分别写出直到取得正品为止所需抽取次数X的分布律. (1) 每次取出的产品不再放回; (2) 每次取出的产品立即放回; (3) 每次取出一件产品后随即放回一件正品. 解 (1) X只能取1, 2, 3, 4, 其分布律为: PX=3=3/132/1210/11=5/143; PX=4=3/132/121/11=1/286. PX=1=10/13; PX=2=3/1310/12=5/26;64高级培训 解 (2) XG(10/13), 其分布律为: PX=1=10/13; PX=2=3/1311/13=33/169. PX=k=(3/13)k1(10/13), k=1, 2, 3, ; (3) X只能取1, 2, 3, 4，其分布律为: PX=3=3/132/1312/13=72/2197. PX=4=3/132/131/13=6/2197.65高级培训 5. 火炮向某目标独立射击, 每发炮弹命中目标的概率为0.6, 且只要命中一发目标就被摧毁. 今发射4发, 求摧毁目标的概率. 若使目标被摧毁的概率达到0.999以上, 则至少要发射多少发炮弹？第二章章末习题2(第72页) 解 4法炮弹中命中目标数XB(4, 0.6), 所以 若记N发炮弹命中目标数Y, 则Y(N, 0.6), 于是 PX1=1PX=0=10.44=0.9744 PX1=1PX=0=10.4N0.999则, Nln0.001/ln0.47.539.故,至少要发射8发炮弹,可使目标被摧毁的概率达到0.999.66高级培训 7. 某种动物出现畸形概率为0.001, 如果在相同的环境中观察5000例, 试按泊松分布近似计算其中至多有两例是畸形的概率, 并求最可能畸形例数. 解 记X为畸形例数, 则XB(5000, 0.001)所以, PX2=PX=0PX=1PX=2 e5+5e5+52e5/20.1247X的最可能数为: (n+1)p=5.001=5即, 最可能畸形例数为5。67高级培训 9. 袋中装有1个白球, 4个红球, 每次从中任取一球, 直到取出白球为止, 试写出取球次数X的分布律. 假定取球方式为每次取出的红球不再放回, 或者每次取出的红球放回. 解 取出的红球不放回, 则X的分布律为: PX=1=1/5, PX=2=4/51/4=1/5, PX=3=4/53/41/3=1/5, PX=4=4/53/42/31/2=1/5 每次取出的红球再放回, 则XG(1/5), 其分布律为: PX=5=4/53/42/31/2=1/5 PX=k=(4/5)k11/5=22k2/5k , k=1, 2, 3,68高级培训第二章习题2.3(第58页) 解 (1) 由于 , 所以, c=1/9. 1. 已知随机变量X , 求(1) 常数c; (2) P1X2, PX1, PX=2. (2) PX=2=0.69高级培训 证明 显然f(x)0, 且 2. 证明函数 (c为正的常数)为密度函数.所以, f(x)是密度函数. 证明 密度函数为: 3. 设XU(2, 3), 写出X的密度函数.70高级培训 证明 (1) X的密度函数为: 6. 设XE(2), (1)写出X的密度函数; (2)求P1X2, P1X4. (2) P1X2=P0X2=1e40.9817 p1x4=e80.000335571高级培训 10. 设XN(1, 16), 求PX1.5, PX2.8, P|X|1. 解 PX1.5=1(1.5+1)/4)=(0.125)0.55 PX2.8=(2.8+1)/4)=1(0.45)=0.3264 P|X|1=PX2 =(0.25)+1(0.75)=0.825372高级培训 解 由于方程无实根, 所以4X0, 于是有 11. 设XN(, 2), 方程y2+4y+X=0无实根的概率为0.5, 求. P4X4=0.5 px4=1(4)/)=(4)/)=0.5所以, (4)/=0, 即, =4. 解 由已知, P2X4=(2/)(0)=0.3 12. 设XN(2, 2), 且P2X4=0.3, 求PX0.所以, (2/)=0.8. PX0=(2/)=1(2/)=0.2.73高级培训 (A) 单调增大;(B) 单调减小; (C) 保持不变;(D) 增减不定. 13.设XN(, 2), 则随着增大, P|X|必然 . 解 由于p|X|=P|X|/1=2(1)1所以, 应选(C). (A) 12; (C) 12. 14. 随机变量XN(1, 12), YN(2, 22), 且P|X1| P|Y2|1, 则正确的是 . 解 p|X1|1=P|X1|/11/1=2(1/1)1 p|Y2|1=P|Y2|/2(1/2), 故, 10.12=P|X10.05|/0.062 =22(2)=0.0456 解 P120X200=P|X160|/40/ 16. 设XN(160, 2), 若P120X2000.8, 求. =2(40/)10.8.所以, (40/)0.9.查表得: 40/1.29. 即31.008.75高级培训第二章章末习题2(第72页) 6. 已知随机变量X的概率密度 , 现对X进行n次独立的重复观测, 并以Vn表示观测值不大于0.1的次数, 求Vn的概率分布. 解 由于PX0.1=所以, VnB(n, 0.01), 故, Vn的分布律为: PVn=k=Cnk0.01k0.99nk，k=0, 1, 2, , n76高级培训 11. 设X是区间(0,1)中的随机数, 试确定满足条件0aa=PaXp2; (C) p1u= , 若P|X|x=, 则x等于 . (A) u/2; (B) u1/2; (C) u(1)/2; (D) u1. 解 P|X|x=1PXx=12PXx 所以, PXx=(1)/2. 于是, x=u(1)/2 . 故, 应选(C). 79高级培训第二章习题2.4(第65页) 解 定义式为: F(x)=PXx. 1. 写出分布函数的定义式以及离散与连续两种类型随机变量的分布函数计算公式. 离散型随机变量: 连续型随机变量:80高级培训 2. 写出习题2.2第3题中随机变量的分布函数. 解 由于X的分布律为: x1时, F(x)=0; 1x2时, F(x)=PXx=PX=1=4/7; 2x3时, F(x)=PXx=PX=1+PX=2=6/7; x3时, F(x)=PXx=PX=1+PX=2+PX=3=1. 即 81高级培训 (2) x1时, F(x)=即82高级培训 7. 求与密度函数 对应的分布函数. 0x2时, F(x)= 解 xa=1PXa=1F(a) (A) F(a)=1 ; (B) F(a)=1/2 ;可见, (C), (D)都不对. 取a=0可得: F(0)=1/2. 于是,所以, 应选(B).86高级培训 13. 设X1和X2是任意两个连续型随机变量, 它们的密度函数分别为f1(x)和f2(x), 分布函数分别为F1(x)和F2(x), 则下列选项正确的是 . (A) f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的密度函数; (A)中有 , (C)中F1()+F2()=2. 解 (D)中的F(x)F1F2满足: 0F(x)1, 单调不减, 右连续, 且F()=0, F(+)=1. 所以F(x)是分布函数. 选D. (B) f1(x)f2(x)必为某一随机变量的密度函数; (C) F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数; (D) F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数; (B)中若取X1U(0,1), X2U(2,3), 则f1(x)f2(x)=0.87高级培训第二章章末习题2(第72页) 18. 设X的分布函数为 , (1) 求常数A, B, C; (2) 求PX1/2; (3) X是连续型随机变量吗？若是则求X的密度函数. 解 (1) 由F()=0得A=0,由F(2+)=F(2)得C=2, 再由F(1+)=F(1)得B=1/2. (2) PX1/2=1F(1/2)=11/8=7/8.由于F(x)是连续函数, 所以X是连续型随机变量, 密度函数为:88高级培训 19. 设随机变量X的分布函数为 , 若PX30.1, 求常数c. 这时X是连续型随机变量吗？说明理由. 解 由于PX=3=F(3)F(3)127c=0.1所以, c=1/30 . X不是连续型随机变量. 下列任何理由都可说明: F(x)在x=3处不连续， PX=3=0.10.89高级培训 1. 已知随机变量X的概率分布为习题2.5(第58页)X1011.5P0.10.20.30.4Y3112P0.10.20.30.4 解 Y和Z的分布律分别为:求随机变量Y=2X1和Z=X2的分布律.Z012.25P0.20.40.490高级培训 FY(x)=PYx=PXx/2= 解 对任意0x2, 有 3. 设X的密度函数为 , 求Y=2X,Z=X+1和U=X2的密度函数.所以, fY(x)= FY(x)=x/2. 即Y的密度函数为: FZ(x)=PZx=PX1x= 对任意0x1, 有所以, fZ(x)= FZ(x)=2(1x). 即Z的密度为:91高级培训 FU(x)=PUx=Px1/2Xx1/2= 对任意0x1, 有所以, fU(x)= FU(x)=1. 即U的密度函数为:92高级培训 解 (1) FY(y)=PYy=pX3y=PXy1/3 5. (1) 设Xf(x), 求Y=X3的密度函数；(2) 设XE(), 求Y=X3的密度函数; (3) 设XE(1), 求Y=eX的密度函数.所以, Y的密度函数为: (2) 由(1)得, Y的密度函数为:93高级培训 FY(y)=PYy=peXy=PXlny (3) 对任意y1有所以, FY(y)=1/y2, 于是Y的密度函数为:94高级培训 解 (1) 对任意1y0, 有 FY(y)=PYy=p2lnXy=PXey/295高级培训所以, Y的密度函数为YE(1/2). (3) 对任意1ye, 有所以, Y的密度函数为 FY(y)=PYy=peXy=PXlny96高级培训 10. 设XU(1, 2), 随机变量Y= , 试求随机变量Y的分布律. 解 Y只能取1, 0, 1三个值, Y的分布律为: PY=1=PX0=P1X0=P0X2=2/3.或写成:Y101P1/302/397高级培训 11. 假设由自动线加工的某种零件的内径(单位mm)服从正态分布N(11, 1),内径小于10或大于12的为不合格品, 其余为合格品, 销售每件合格品获利, 销售每件不合格品则亏损. 已知销售利润Y(单位:元)与销售零件的内径X有关系:求Y的分布律. PY=1=PX12=1(1)=0.1587 解 Y只能取5, 1, 20三个值, Y的分布律为:98高级培训第二章章末习题2(第72页) 20. 已知随机变量X的分布律为： 求X+2, X+1与X2的分布律. 解 分布律分别为:X2011.53P0.20.10.30.30.1X+20233.55P0.20.10.30.30.1X+120.5013P0.10.30.30.10.2X2012.2549P0.10.30.30.20.199高级培训 21. 设随机变量XE(2), 证明: Y=1e2XU(0, 1). 证明 对任意0y1, 有 FY(y)=PYy=P1e2Xy=P2Xln(1y) =PXln(1y)/2所以，Y的密度函数为:即, YU(0, 1).100高级培训 解 F(y)=PYy=PlnXy=PXey 22. 设随机变量X , 求Y=lnX的密度函数.所以, FY(y)=即Y的密度函数为:101高级培训 (A) 连续函数； (B) 至少有两个间断点； 24. 设随机变量XE(5), 则随机变量Y=minX, 2的分布函数是 . (C) 阶跃函数； (D) 恰好有一个间断点. 解 由于X2时Y=X, X2时Y=2. 所以可见, FY(y)不是阶跃函数, 也不连续, 只有y=2一个间断点.故，应选(D).102高级培训第三章习题3.1(第75页) 例如: 举出几个你所熟悉的能用多维随机变量来描述的社会或生活现象. 描述某种器件的长度H和重量M; 描述某学生各科考试的成绩Xi; 描述平面上随机点的坐标(X, Y)等等。103高级培训 2. 袋中装有1个红球, 2个黑球与3个白球, 现从袋中取两次, 每次取一个球, 以X, Y, Z分别表示两次取球所取得的红球, 黑球与白球的个数. 若每次取出的球(1)立即放回袋中,再取下一个, 或者(2)不再放回袋中接着便取下一个, 就这两种取球方式, 写出(X, Y)的概率分布, 求PX=1|Z=0.第三章习题3.2(第82页)(X,Y)(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(2,0)P 解 X, Y, Z可取0, 1, 2. 且X+Y+Z=2所以，(X, Y)的分布律为: PX=1|Z=0=(2/15)/(3/15)=2/3(X,Y)(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)P1/41/3 1/91/6 1/9 1/361/5 2/5 1/15 1/5 2/15(1)(2)PX=1|Z=0=(1/9)/(9/36)=4/9104高级培训 解 X可取0, 1, 2, 3, Y可取1, 3. 且Y=1对应X=1或X=2, Y=3对应X=0或X=3. 所以, (X,Y)的分布律为: 3. 将一硬币连掷三次, 以X表示三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值, 试写出X和Y的联合分布律. PX=0,Y=3=PX=0=1/8 PX=3,Y=3=PX=3=1/8 PX=1,Y=1=PX=1=3/8 PX=2,Y=1=PX=2=3/8 或写成: (X,Y)(0,3)(1,1)(2,1)(3,3)P1/83/83/81/8105高级培训 解 X, Y可取0, 1, 2, , 且XY, 所以, (X,Y)的分布律为: 5. 一射手射击命中目标的概率为p(0p1=0 PX=1,Y=1=P11=1/4或写成: (X,Y) (1,1)(1,1)(1,1)P1/41/21/4 Y X1111/4011/21/4107高级培训 解 由于PX1X2=0=1, 所以 9. 已知随机变量X1, X2的分布律为: PX1=1, X2=1=PX1=1, X2=1=0且PX1X2=0=1, 求X1和X2的联合概率分布.又由于, PX1=1=PX1=1,X2=0+PX1=1,X2=1所以, PX1=1, X2=0=PX1=1=1/4同理, PX1=1, X2=0=PX1=1=1/4 PX1=0, X2=1=PX2=1=1/2 PX1=0, X2=0=PX2=0PX1=0,X2=1=0, 即108高级培训 解 由于PX=0=0.4, PX=1=0.6, 所以 11. 已知随机变量X服从参数为p=0.6的01分布, 且在X=0, X=1条件下随机变量Y的条件分布律为: PX=0,Y=j=PY=j|X=0PX=0=0.4PY=j|X=0求(X, Y)的分布律. PX=1,Y=j=PY=j|X=1PX=1=0.6PY=j|X=1所以, (X, Y)的分布律为:Y|X=0123P1/41/2 1/4Y|X=1123P1/2 1/6 1/3X Y12301/101/51/1013/101/101/5109高级培训第三章章末习题3(第110页) 3. 设随机变量X与Y的联合分布律为且PY=1|X=0=3/5, 求常数a, b的值. 解 由于PY=1|X=0=PX=0,Y=1/PX=0 =b/(2/25+b)=3/5所以, b=3/25.又由于pij=1, 所以，a=14/25.即，a=14/25，b=3/25.110高级培训 解 (1) (X, Y)的边缘分布律分别为: 7. 设二维离散型随机变量(X, Y)的分布律为求:(1)边缘分布律; (2)在X=1, Y=2条件下的条件分布律; (3) PXY, PX0. Y X123410.200.030.210.10000.080.110.0910.070.1100111高级培训 (2) 在X=1, Y=2条件下的条件分布律分别为: PX0=1PX0=1PX=1=10.180.82 Y X123410.200.030.210.10000.080.110.0910.070.1100 (3) PXY=1PX=Y=10.07=0.93 112高级培训 8. 设X, Y为两个随机变量, 且PX0, Y0=3/7, PX 0=PY0=4/7, 求Pmax(X, Y)0. 解 Pmax(X,Y)0=PX0或Y0 =PX0+PY0PX0, Y0 =4/7+4/73/7=5/7113高级培训 1. 设随机变量(X, Y)的密度函数为第三章习题3.3(第92页) 解 (1) 由于所以，a=21/4. 求: (1) 常数a; (2) PX0.5, PY0.5. (2) PX0.5= PY0.5=114高级培训 3. 设随机变量(X, Y) , 解 (1) 由于所以，c=1. 求: (1) 常数c; (2) PX1|Y1. (2) PX1,Y1= PY1= PX1|Y1=115高级培训 5. 设二维随机变量(X,Y)在平面区域D上服从均匀分布,其中区域D由曲线y=1/x及直线y=0, x=1, x=e2围成, 写出(X,Y)的密度函数, 并求(X, Y)关于X的边缘密度函数在x=2的值. 解 由于区域D的面积为所以，(X, Y)的密度函数为: (X, Y)关于X的边缘密度函数为:所以, fX(2)=1/4. 或116高级培训 6. 设随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布, 其中D为x轴, y轴及直线y=2x1围成的三角形区域, 求条件密度函数fY|X(y|x). 解 由于区域D的面积为A=1/4. 所以(X,Y)的密度函数:(X, Y)关于X的边缘密度函数为:所以, 对任意1/2x0, 条件密度函数为:117高级培训 1. 设随机变量(X, Y)在区域D=(x,y)|x2+y21且y0内服从均匀分布, 在三次重复独立观察中事件XY出现的次数为Z, 试求PZ=2.第三章章末习题3(第110页) 解 由于D的面积为/2, 所以, (X,Y)的密度函数为: p=PXY=所以, ZB(3, p), 因此, PZ=2=C32p2(1p)3(1/16)(3/4)=9/64118高级培训 11. 已知随机变量(X,Y)的密度函数f(x,y)= , 求(X,Y)的边缘密度函数和条件密度函数. 解 (X,Y)的边缘密度函数为:可见, XN(0, 5/4), YN(0, 1/4).119高级培训所以, 对任意的y和x, 条件密度函数为:可见, X|Y=yN(y, 1), Y|X=xN(x/5, 5).120高级培训 1. 对习题3.2的第1题, 求随机变量(X, Y)的分布函数.第三章习题3.4(第96页) 解 由习题3.2第1题知, (X, Y)的分布律为: 有放回: 无放回: 所以, 分布函数分别为: 0, X1,或Y1 1/9, 1X2,1Y2 1/3, 1X2,Y2,或X2,1Y2 1, X2, Y2有放回: F(x, y)=121高级培训 0, x1,或y1,或x2, y2 1/3, 1x2,y2, 或x2, 1Y0, yx时有： F(x,y)=x0, 0y0, yx所以, (X,Y)的分布函数为:F(x, y)= 0 , x0或y0 1eyyex , x0, 0y0.1,Y0.1求:(1)(X,Y)的边缘分布函数; (2) X,Y皆大于0.1的概率. 4. 已知连续型随机变量X, Y的联合分布函数为 FY(y)=F(+, y)= =1FX(0.1)FY(0.1)+F(0.1,0.1)=e0.1 =1PX0.1PY0.1PX0.1,Y0.1124高级培训 解而Y=X2, F(x,y)为随机变量(X,Y)的分布函数,求F(1/2,4). 5. 设随机变量X的密度函数为 F(1/2, 4)=PX1/2, Y4=P2X1/2125高级培训 证明 因为1=F(0+,0)=F(0, 0+)F(0,0)=0 6. 证明还是F(x,y) 不是分布函数. 即F(x, y)在点(0,0)处关于x, y都不是右连续的, 所以F(x, y)不是分布函数。 1. 0F(x, y)1, x(,+), y(,+); 2. F(x, y)对每个变量都是非减函数; 3. x(,+)有F(x,)=0, F(, )=0, y(,+)有F(,y)=0, F(+, +)=1. 4. F(x,y)关于x和y都右连续，即： F(x+, y)=F(x, y), F(x, y+)=F(x, y) 126高级培训 2. 第三章章末习题3(第110页) 解 由于D的面积为/2, 所以, (X,Y)的密度函数为: p=PXY=所以, ZB(3, p), 因此, PZ=2=C32p2(1p)3(1/16)(3/4)=9/64127高级培训 3. 随机变量X, Y相互独立, X, Y的分布律为:第三章习题3.5(第100页)写出(X,Y)的分布律, 并求PX+Y=1和PXY=0. PX=i,Y=j=PX=iPY=j=1/6, i=1,0,1, j=2, 2. PX+Y=1=PX=1, Y=2=1/6. PXY=0=PX=0,Y=2+PX=0, Y=2=1/3. 解 因为X, Y相互独立, 所以(X, Y)的分布律为:128高级培训 4. 设随机变量X, Y相互独立且有相同的分布, X的分布律为:记U=maxX, Y, V=minX, Y, 求(U, V)的分布律. PU=1,V=1=PX=1PY=1=4/9, 解 显然U, V只能取1, 2, 且UV, (U, V)的分布律为: PU=2,V=1=PX=1PY=2+PX=2PY=1=4/9, PU=2,V=2=PX=2PY=2=1/9,或写成:129高级培训 5. 下表列出了随机变量X, Y的联合分布律和边缘分布律中的部分数值, 如果X与Y相互独立, 试在表中的空白处填上其余数值. 解 由边缘分布的概念有： 又由于X,Y相互独立， 所以 1/24 3/4 1/4 1/2 3/8 1/12 1/4 1/3130高级培训 解 由于事件X=0与X+Y=1相互独立, 所以X=0与X+Y也相互独立. 又由于 7. 设随机变量X, Y的概率分布为:且事件X=0与X+Y=1相互独立, 求常数a, b. PX=0=0.4+a, PXY=1a+b, PX+Y1=0.5 PX=0且X+Y=1=a, PX=0, XY1=0.4所以, (0.4+a)(a+b)=a, (0.4+a)0.5=0.4因此, a=0.4, b=0.1.也可以由X0与X+Y1独立得: (b+0.1)0.5=0.1131高级培训 解 易得: 8. 已知随机变量X和Y的联合概率密度为:求X和Y的联合分布函数F(x, y)及P0X0.5, 0Y 0.5.所以, X和Y相互独立, 所以 P=FX(0.5)FX(0)FY(0.5)FY(0)0.0625132高级培训 也可以不用独立性, 直接按定义计算:x0或y1时, x1, 0y1时, X1, y1时, P0X0.5, 0Y0.5 133高级培训 解 (1)由已知: 12. 设随机变量X和Y相互独立, XU(0, 0.2), YE(5), (1) 写成(X, Y)的密度函数; (2) 求PYX.又由于 X和Y相互独立, 所以(X, Y)的密度函数为: (2) PYX=P0YX45=PX1=12PX2=15PX3=19=0.001. PX1+X2+X345=PX1=10PX2=13PX3=17=0.006. 所以, 进货45件不够卖的概率为0.001, 进货40件够卖的概率为0.006。136高级培训 12. 设随机变量(X, Y) 的概率密度为求: (1) PX+Y1; (2) 边缘密度函数与条件密度函数; (3) 判断X, Y的独立性. 解 (1) PX+Y1=x01y12D =1/3+1/41/41/91/2465/72137高级培训 (2) fX(x)= 对任意0x1, 有即： fY(y)= fY|X(y|x)即,类似地, 对任意0y2有:(3) 显然有: f(x,y)fX(x)fY(y)所以X,Y不独立.138高级培训 证明 由已知: 15. 设随机变量X1,X2相互独立, X1B(n1, p),X2B(n2,p), 证明X1+X2B(n1+n2, p).所以, X1+X2可取0,1,n1+n2, 而且kminn1, n2时, 139高级培训n1kn2时, (n2kmaxn1, n2时, 140高级培训 1. 已知随机变量(X, Y)的分布律为:第三章习题3.6(第108页)求Z=2XY,U=minX,Y,V=maxX,Y和W=XY的分布律.0 解 Z, U, V, W的分布律分别为:0.20.30.1 0.400.50.4 0.10.30.2 0.500.6 0.4141高级培训 4. 设随机变量X与Y相互独立且均服从U(0, 1), 试求Z= X+Y的密度函数. 解 由卷积公式:所以, 0z1时，所以, Z的密度函数为：0 1 xz21z-x=1z-x=010时有所以, Z=XY的概率密度为:143高级培训 6. 设(X, Y)的概率密度为求: Z=(X+Y)/2的密度函数. 解 z0时, FZ(z)=0, z0时有所以, Z=(X+Y)/2的密度函数为:144高级培训 7. 若随机变量X, Y相互独立且都服从N(0, 1), 证明: Z=X2+Y2的密度函数为: 证明 z0时, FZ(z)=0, z0时有所以, Z的密度函数为：145高级培训 10. 设随机变量X,Y相互独立, X的分布律为PX=i=1/3 (i=-1, 0, 1), Y的密度函数为 记Z=X+Y, (1) 求Z的概率分布; (2) 求PZ1/2|X=0. 解 (1) z1时, FZ(z)=0, 1z0时有0z1时有146高级培训1z2时有所以, Z的分布函数为:所以, Z是连续型随机变量, Z的密度函数为:147高级培训 (2) PZ1/2|X=0 =PY1/2=1/2或 PZ1/2|X=0=PY1/2|X=0=PY1/2=1/2148高级培训第三章章末习题3(第110页) 16. 设随机变量X和Y的联合分布是正方形G=(x, y)| 1x3, 1y3上的均匀分布, 求: (1) (X, Y)的分布函数; (2) 随机变量U=|XY|的密度函数. 149高级培训 16. 设随机变量X和Y的联合分布是正方形G=(x, y)| 1x3, 1y3上的均匀分布, 求: (1) (X, Y)的分布函数; (2) 随机变量U=|XY|的密度函数. 解 (1) x1, 或y3时, F(x,y)=x3, 1y3时, F(x,y)=即，F(x,y)=150高级培训 对任意0u2, 有: FU(u)=PUu=P|XY|u01 3 xy13D所以, 随机变量U的密度函数为: (2)由于对任意u65. 解 由已知有: XiN(60, 25), 所以153高级培训第四章习题4.1(第122页) 解 (1) X的分布律为 1. (1) 在下列句子中随机地取一单词, 以X表示取到的单词所包含的字母的个数, 写出X的分布律并求E(X). (2) 在上述句子的30个字母中随机地取一字母, 以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数,写出Y的分布律并求E(Y). “THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT” k 2 3 4 9 PX=k 1/8 5/8 1/8 1/8 E(X)=21/8+35/8+41/8+91/8=15/4=3.75 (2) Y的分布律为 k 2 3 4 9 PX=k 1/15 1/2 2/15 3/10 E(Y)=21/15+31/2+42/15+93/10=73/15=4.867154高级培训求E(X), E(X2), E(3X2+5) . 解 E(X)=20.4+00.3+20.3=0.2 3. 设随机变量X的分布律为X -2 0 2pk 0.4 0.3 0.3 解 记X“取出合格品前已取出的废品数”，则X只取0, 1, 2, 3四个值, 其分布律为： E(X2)=(2)20.4+020.3+220.3=2.8 E(3X2+5)=170.4+50.3+170.3=13.4 5. 一批零件中有9个合格品和3个废品, 安装机器时, 从这批零件中任取一个, 如果取出的是废品就不再放回去, 求在取出合格品前已取出的废品数的数学期望.155高级培训出售的设备若在出售一年之内损坏可予以调换, 若工厂出售一台设备盈利100元, 调换一台设备厂方需花费300元, 求厂方出售一台设备净盈利的数学期望. 所以, E(X)=19/44+29/220+31/220=0.3 . 7. 一工厂生产的某种设备的寿命X(单位:年)服从指数分布, 其概率密度函数为： , 厂方规定, 解 由于 PX1=所以, E(净盈利)=100300(1e1/4)33.64156高级培训求 (1) Y=2X的数学期望; (2) Y=e-2X的数学期望. 9. 设随机变量X的概率密度为 解 (1) E(Y)= (2) E(Y)= 157高级培训 =10.4+20.2+30.4=2 10. 设随机变量(X, Y)的分布律为: (1)求E(X), E(Y); (2)设Z=Y/X, 求E(Z); (3)设Z=(X-Y)2, 求E(Z). 解 (1) X Y 1 2 3101 0.2 0.1 0.0 0.1 0.0 0.3 0.1 0.1 0.1 =-10.3+00.4+10.3=0 158高级培训 解 求E(X), E(Y), E(XY), E(X2+Y2). 11. 设随机变量(X, Y)的概率密度为:159高级培训 解 (1) E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3/4 12. 设随机变量X, Y的概率密度分别为 (1) 求E(X+Y), E(2X3Y2); (2) 当X, Y相互独立时, 求E(XY). E(2X3Y2)=2E(X)3E(Y2)=13/8=5/8 160高级培训 (2) E(XY)=E(X)E(Y)=1/8 13. 旅游车上载有12位游客, 沿途有6个旅游景点, 如果到达一个景点无人下车就不停车. 设X表示停车总次数,求E(X). (假定每位游客在各个景点下车是等可能的, 他们下车与否是相互独立的.) 解 记Xi则有, PXi0=(5/6)12, PXi=1=1(5/6)12, i=1,2,6且，X=X1+X2+X6所以，E(X)=E(X1+X2+X6)=61(5/6)12161高级培训 15. 某种商品每周的需求量XU(10, 30), 经销商店进货数量是区间10, 30中的某一个整数. 商店每销售一单位商品可获利500元; 若供大于求, 则剩余的每单位商品带来亏损100元; 若供不应求, 则可从外部调剂供应, 此时经调剂的每单位商品仅获利300元. 求使商店每周所获利润的期望值最大的最少进货量及最大期望利润值. 解 记商店进货数量为k, 所获利润为Y, 则有所以, 5250350k7.5k2故，最少进货量为23时，最大期望利润值为9332.5元.162高级培训第四章习题4.2(第132页)求E(X)和D(X). 2. 设随机变量X的概率密度为 解 E(X)= 1/3+(41)(81)/31 D(X)= =1/42/3+1/2 1/6 163高级培训 4. (1)设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立, 且有E(Xi)=i, D(Xi)=5-i, i=1,2,3,4.设Y=2X1-X2+3X3-X4/2,求E(Y),D(Y). (2) 设随机变量X, Y相互独立, 且XN(720, 302), Y N(640, 252), 求Z1=2X+Y, Z2=X-Y, Z3=X+Y的概率分布, 并求PX1400 . 解 (1) E(Y)=2E(X1)E(X2)+3E(X3)(1/2)E(X4) =212+33(1/2)4=7 D(Y)=22D(X1)+D(X2)+32D(X3)+(1/2)2D(X4) =44+3+92+(1/4)1=37. 25 (2) Z1N(2720+640, 4302+252)=N(2080, 652) Z2N(720640, 302+252)=N(80, 1525) 164高级培训 PXY=PXY0=PZ20 =P(Z280)/15251/21400=P(Z31400 =1(40/15281/2)=1(1.02)=0.1539附表2 Z3N(720640, 302+252)=N(1360, 1525) =1(2.05)=10.979820.02018 =P(Z31360)/15251/240/15281/2165高级培训 5. 卡车装运水泥, 设每袋水泥重量X(单位: kg )服从N(50, 2.52), 若总重量超过2000的概率不大于0.05, 那么最多可装多少袋水泥？ 解 设最多装n袋水泥, 则总重量YN(50n, 2.52n), PY2000 =P(Y50n)/2.5n1/2(200050n)/2.5n1/20.05 (200050n)/2.5n1/20.95 (2000-50n)/2.5n1/21.65 20n+1.65n1/28000 n39.48即最多可装39袋水泥.附表2166高级培训 7. 已知正常男性成人血液中, 每毫升中的白细胞数平均是7300, 均方差是700. 试利用切比雪夫不等式估计, 每毫升男性成人血液中白细胞数在52009400之间的概率. 解 因为E(Xc)2E(X22cX+c2) 解 p=P5200X9400=P|X-7300|2100 17002/21002=8/9 8. 设X为随机变量, c是任意常数, 证明: D(X)E(X-c)2且等号成立当且仅当cE(X), (不等式的含义是方差D(X)是E(Xc)2的最小值.) E(X2)2cE(X)+c2D(X)+E(X)c2所以, D(X)E(Xc)2且等号成立当且仅当cE(X).167高级培训第四章习题4.3(第141页)求X, Y的相关系数. 2. 设随机变量(X, Y)的概率密度为 解 E(X)= 11/31/45/12 E(X2)= 2/31/41/61/4由对称性有: E(Y)=5/12, E(Y2)1/4.168高级培训所以, D(X)=E(X2)E2(X)=1/4(5/12)2=11/144 Cov(X, Y)=E(XY)E(X)E(Y)1/6(5/12)21/144于是, (X, Y)= D(Y)=11/144 3. 设随机变量(X, Y)的分布律为 X Y -1 0 1-101 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8证明: X与Y不相关, 且不相互独立的. 169高级培训 又 PX=1PY=1=3/83/8PX=1,Y=1所以，Cov(X,Y)=0, X和Y是不相关的. 证明 由于E(X)=-13/8+02/8+13/8=0 E(Y)=-13/8+02/8+13/8=0 E(XY)=11/8-11/8+11/8-11/8=0故, X和Y不是相互独立的. 6. 随机变量X1, X2, Xn相互独立, 有相同的期望和方差2, 设 , 求: (1) E(X), E(Y1), (2) D(X), D(Y1), (3) xov(Xi,X), (4) cov(Y1, Yn). 解 (1) E(Y1)=E(X1)E(X)=0170高级培训 (2) 由于Y1=X1X=(11/n)X1(1/n)X2(1/n)Xn (3)所以, D(Y1)=(11/n)2D(X1)+(1/n2)D(X2)+ +(1/n2)D(Xn) =(11/n)2+(n1)/n22=(n1)/n2 (4)171高级培训 7. 已知随机变量X, Y的方差均存在, 则下列等式不一定成立的是 . (A) D(XY)=D(X)D(Y);A 8. 随机变量XN(0, 1), YN(1, 4), 相关系数XY1, 则正确的是 . (B) D(XY)=E(XY)2E(XY)2; (C) D(XY)=D(X)+D(Y)2cov(X, Y); (D) D(XY)=E(XE(X)(YE(Y)2; (A) PY=2X+1=1; (B) PY=2X+1=1; (C) PY=2X1=1; (D) PY=2X1=1.B172高级培训第四章习题4.4(第143页) 1. 设随机变量X服从参数为的指数分布, 求X的k阶原点矩. 解 E(Xk)= 2. 设随机变量XU(0, 2), 求X的k阶中心距. 解 E(X)=1, X的k阶中心距为: E(X1)k=173高级培训第4章章末习题4(第150页) 1. 某种鸟在某时间区间(0, t0内下蛋数为15只, 下r只蛋的概率与r成正比, 一个拾鸟蛋的人在时刻t0去收集鸟蛋,但仅当鸟窝中多于3只蛋时他才从中取走1只蛋. 在某处有这种鸟窝6个,每个鸟窝保存完好,各鸟窝中蛋的个数相互独立. (1) 写出一个鸟窝中蛋的个数X的分布律； (2) 对于指定的一个鸟窝, 求拾蛋人在该鸟窝中拾到1只蛋的概率； (3) 求拾蛋人在6个鸟窝中拾到蛋的总数Y的分布律及数学期望;(4) 求PX4； (5)当一个拾蛋人在这6个鸟窝中拾过蛋后, 紧接着又有一个拾蛋人到这些鸟窝中拾蛋, 也仅当鸟窝中多于3只蛋时, 才取走1只蛋. 求第二个拾蛋人拾得的蛋数Z的数学期望. 174高级培训 解 (1) 由已知有PX=r=kr, r1,2,5 (2) p=PX3=3/5. PX=r=r/15，r1,2,3,4,5由于 , 所以, k1/15. X的分布律为： (3) 由已知可得: YB(6, 3/5), 所以Y的分布律为: (4) PX4=PY=5+PY=6= (5) ZB(6, 1/3), 所以, E(Z)=2.175高级培训 5.已知甲、乙两箱中装有同种产品, 其中甲箱中装有3件合格品和3件次品, 乙箱中仅装有3件合格品, 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后, 求： (1) 乙箱中次品件数X的数学期望； 解 X只能取0, 1, 2, 3四个值, 其分布律为: PX=0=3/62/51/4=1/20; (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. PX=1=33/63/52/4=9/20; PX=2=33/62/53/4=9/20; PX=3=3/62/51/4=1/20;所以, (1) E(X)=3/2=1.5. (2) P=9/201/6+9/201/3+1/201/2=1/4176高级培训 6. 有3只球, 4只盒子,盒子的编号为1,2,3,4. 将球逐个独立地随机放入4只盒子中去. 以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码, 例如X=3表示第1号,第2号盒子是空的,第3号盒子至少有一只球), 试求E(X). 解 PX=1=133/43=37/64 E(X)=137/64+219/64+37/64+41/64=25/16 PX=2=(3323)/43=19/64 PX=3=(231)/43=7/64 PX=4=1/43=1/64 177高级培训 8. 从数字0,1,., n中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望. 解 记X=“这两个数字之差的绝对值”, 则所以, E(X)= PX=k=(nk1)/Cn12，k1,2,n178高级培训 9. 设A, B为随机事件, 且P(A)=1/4, P(B|A)=1/3, P(A|B)=1/2, 令求: (1)二维随机变量(X, Y)的概率分布; (2) X和Y的相关系数(X, Y); (3) Z=X2+Y2的概率分布. 解 (1)由已知可得: P(AB)=1/12, P(B)=1/6,P(A-B)=1/6, P(B-A)=1/12, P(A+B)=1/3, 所以, (X,Y)的分布律为: 179高级培训 (3) Z=X2+Y2只能取0, 1, 2, 其分布律为: (2) 由(1)可得: E(X)=1/4, E(Y)=1/6, E(XY)=1/12, E(X2)=1/4, E(Y2)=1/6, 所以, D(X)=3/16, D(Y)=5/36, cov(X,Y)=1/24, 因此, (X, Y)= PZ=0=PX=0,Y=0=2/3, PZ=1=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0=1/4, PZ=2=PX=1,Y=1=1/12.180高级培训 10. 设随机变量X的概率密度为:令Y=X2, 求cov(X,Y). 解 由于 所以, cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=7/81/45/62/3. 181高级培训 11. 随机变量X和Y的期望分别为2和2, 方差分别为1和4, 相关系数为0.5, 试根据切比雪夫不等式估计概率 P|X+Y|6. 解 由于 E(XY)=E(X)+E(Y)=0 P|X+Y|6D(X+Y)/36=1/12. D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X, Y)=3由切比雪夫不等式有： cov(X, Y)=(X, Y)D(X)1/2D(Y)1/2=1 182高级培训 12. 二维随机变量(X, Y)的分布律为 且E(X)=0.2, PY0|X0=0.5, 记Z=X+Y, 求: (1)常数a, b, c; (2) PX=Z；(3) Z的分布律. 解 (1)由已知有: a+b+c+0.6=1, ca0.10.2, (ab0.1)/(ab0.5)=0.5.解得: a=0.2, b0.1, c=0.1. (2) PX=Z=PY=0=b0.10.2 (3) Z只能取2,1, 0, 1, 2, 其分布律为：183高级培训 14. 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光.电梯于每个整点的第5分钟, 25分钟和55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处, 且X在0, 60上均匀分布, 求该游客等候时间的数学期望. 所以, E(Y)= 解 记该游客等候时间为Y, 则有(分钟)184高级培训 15. 一商店经销某种商品, 每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量,且均服从区间10, 20上的均匀分布. 商店每售出一单位商品可得利润1000元; 若需求量超过了进货量, 商店可从其它商店调剂供应, 这时每单位商品获利为500元. 试计算商店经销该种商品的每周利润的期望值.(X, Y)的联合概率密度函数为: 解 记周利润为R, 则有185高级培训所以, E(R)=(元)186高级培训第五章习题5.1(第155页) 解 由于独立同分布序列均值收敛到自身的数学期望, (1) XiP(), i=1, 2, ; (2) XiU(0, ), i=1,2,其中0. 设X1, X2,.是独立同分布的随机变量序列. 在下列两种情形下, 问 依概率收敛于什么值？ 所以, 附表2依概率收敛于. 依概率收敛于/2. 187高级培训 1已知某厂生产的晶体管的寿命服从均值为100小时的指数分布, 现在从该厂的产品中随机地抽取64只, 求这64只晶体管的寿命总和超过7000小时的概率. (假定这些晶体管的寿命是相互独立的.) 第五章习题5.2(第159页) 解 记第i只晶体管的寿命为Xi, 则XiE(1/100). 所以, E(Xi)=100, D(Xi)=10000，i=1, 2, 64附表2于是 1(0.75)=10.77337=0.22663188高级培训 4报童沿街向行人兜售报纸. 设每位行人买报的概率为0.2, 且他们买报与否是相互独立的. 求报童在向100位行人兜售之后, 卖掉1530份报纸的概率 . 解 记则XiB(1, 0.2), E(Xi)=0.2, D(Xi)=0.16，i=1, 2, 100.附表2于是 (2.5)(1.25)=(2.5)+(1.25)1 0.993790.8943510.88814189高级培训 6. 随机地选取两组学生, 分别在两个实验室里测量某种化合物的PH值, 每组80人. 假定各人测量的结果是随机变量,它们相互独立, 且服从同一分布, 数学期望为5, 方差为0.3, 以X,Y分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均, 求: (1) P4.9X 5.1; (2)P0.1XY0.1.附表2190高级培训附表2191高级培训 1设X1, X2,Xn相互独立, 均服从参数为2的指数分布, 则 依概率收敛于_.第五章习题5.2(第159页)附表2 解 由于独立同分布序列均值收敛到自身的数学期望, 而 E(Xi2)D(Xi)E2(Xi)1/2, 故，应填“1/2”. 192高级培训 2. 一部件包括10部分, 每部分的长度是一个随机变量,它们相互独立, 且服从同一分布, 其数学期望为2mm, 均方差为0.05mm. 规定总长度为(200.1)mm时产品合格, 试求产品合格的概率. 解 记X=“总长度”，Xi=“第i部分长度” 由已知，Xi独立同分布，且X=X1+X2+X10于是, (X102)/(101/20.05)近似服从标准正态分布. P产品合格=P|X20|15194高级培训 4. (1)一个复杂系统由100个相互独立起作用的部件组成. 在整个运行期间, 每个部件损坏的概率为0.1, 为使整个系统起作用, 至少须有85个部件正常工作, 求整个系统起作用的概率. (2)一个复杂系统由n个相互独立起作用的部件组成, 每个部件的可靠性为0.9, 且至少须有80%的部件工作才能使整个系统正常工作. 问n至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95. 解 (1) 记X“100个部件损坏的件数”, 则XB(100,0.1) (2) PX0.8n=附表2 所以, n24.5, 即n至少为25.195高级培训 证明: 由于XiN(, 1)且相互独立, 所以Yi是正态分布.第六章习题6.1(第169页) 1. 设X1, X2, X3, X4是来自正态总体N(, 1)的一个样本,记, 试证: Y1, Y2和Y3均服从N(0,1). E(Y1)=21/2()0, D(Y1)=1/2(1+1)=1所以，Y1N(0, 1). 同理，Y2, Y3N(0, 1).196高级培训 2. 设某厂用自动装瓶机灌装饮料, 从生产线上随机抽取20瓶饮料, 测量了它们的实际装瓶量(单位: ml), 得到如下一组数据: 985 940 975 1020 940 975 1060 945 920 980 920 990 980 1010 935 945 1010 960 955 960试列出数据的频数分布表, 画出直方图. 解解 首先从n20个数据中找出最小值x1*920 和最大值xn*1060; 取a910, b1070; 将区间(910, 1070分成8等分, 即组数k8, 各组组距均为20, 分组及频数、频率如下: 197高级培训组 号装瓶量区间频 数ni频率fi1(910, 93020.102(930, 95050.253(950,97030.154(970,99060.305(990,101020.106(1010,103010.057(1030,1050008(1050,107010.05合计201.00 作出的直方图为: 910 930 950 970 990 1010 1030 1050 1070 x198高级培训 3. 掷骰子得到如下一组数据： 5 3 6 5 4 5 2 1 6 5 4 1 3 4 5 4 1 2 5 4试列出数据的频数分布表, 画出条形图,给出经验分布函数. 解解 频率分布表为：骰子数频 数ni频率fi130.15220.10320.10450.25560.30620.10合计201.00199高级培训 条形图为： 1 2 3 4 5 6 x 经验分布函数为：200高级培训 1. 观测到5头母羊的体重(单位:千克)分别为53.2, 51.3, 54.5, 47.8, 50. 9, 试计算这组样本观测值的数字特征: (1)样本总和; (2)样本均值; (3)样本离差平方和; (4)样本方差; (5)样本标准差; (6)众数; (7)中位数. 解 (1) x1+x2+x3+x4+x5=257.7第六章习题6.2(第172页) (2)x=257.7/5=51.54 (3) ss25.972 (4) s225.972/4=6.493 (5) s2.548 (6) 无 (7) Me51.3201高级培训 2. 设x1, x2,xn是一组实数, yi=(xia)/b (i=1,2,n),其中a, b(b0)为任意实数; x,y分别为两组实数的均值, sX2, sY2分别为两组实数的方差, 证明: (1)y(xa)/b; (2) sY2=sX2/b2. 证明 (1) (2)202高级培训 3. 设总体XN(12,4), 今从中抽取容量为n的一个样本X1, X2,Xn, 其样本均值记为X, (1) 若n = 5, 求PX13; (2) 求Pmin(X1, X2, X3, X4, X5)15; (4) 若使P11X130.95, 问样本容量n至少取多少? 解 (1) (2) Pmin(X1,X2,X3,X4,X5)10203高级培训 (3) Pmax(X1,X2,X3,X4,X5)15 =1(1.5)5=0.2923 =1Pmax(X1,X2,X3,X4,X5)Y. 解 由已知有:XN(0, 16/25),YN(1, 9/25), =1(1)=0.15866所以, XYN(1, 1)，于是205高级培训 1. 设z1z0.9751.96, 写出有关的上分位数. 解 由已知, =0.025，且PZ1.960.975第六章习题6.3(第177页)所以, 0.025=10.975=1PZ1.96=PZ1.96因此, zz0.0251.96206高级培训 5. 设X1, X2,X20是来自正态总体N(0, 0.32)的一个样本, 求: (1) ；(2) ; 解 (1) 由于Xi/0.3N(0, 1), 故所以, =0.01 (0.01(16)=32) (2) 由于(X1+X2+X9)/0.9N(0, 1), 所以， 207高级培训(因为t0.1(9)=1.383) (3) 由于所以， =0.05这是因为F0.05(8, 12)=2.85.208高级培训 6. 设Xt(n)，证明: X2F(1, n). 证明 由于Xt(n), 所以有YN(0,1), Z2(n)使得:所以, 由于Y22(1)，Z2(n)， 所以，X2F(1, n). 209高级培训 1. 选择题. (1)设X1,X2,Xn(n2)为来自正态总体N(0, 1)的简单随机样本,X为样本均值, S2为样本方差, 则正确的是 . (A) nXN(0,1)； (B) nS22(n)； (C) (n-1)X/St(n-1)；(D) D第六章习题6.4(第180页) (2) 设随机变量Xt(n)(n1), Y=1/X2, 则正确的是 . (A) Y2(n); (B) Y2(n-1); (C) YF(n,1); (D)YF(1,n) C (3)设随机变量X和Y均服从标准正态分布,则正确的是 . (A) X+Y服从正态分布; (B) X2+Y2服从分布; (C) X2和Y2都服从2分布; (D) X2/Y2服从F分布. C210高级培训 2. 设X1, X2,X2n(n1)为来自正态总体N(1, 0.5)的一个样本, 求统计量Y=(X1-X2)2+(X3-X4)2+(X2n-1-X2n)2的分布. 解 由于X2i1X2iN(0, 1), 所以Y2(n). 解 Ut(n). 解 ZF(10, 10). 3. 设X1, X2,X2n(n1)为来自正态总体N( 0, 2)的一个样本, , 求统计量U的分布. 4. 设X1, X2, X20为来自正态总体N( 0, 2)的一个样本, 求统计量 的分布.211高级培训 5. 设X1, X2, X3是来自正态总体N(0, 1)的一个样本, 证明: 均与总体同分布. 证明 由已知Y1, Y2都服从正态分布, 且E(Y1)=E(Y2)=0,第六章章末习题6(第180页) D(Y1)=2(0.09+0.16+0.25)=1, D(Y2)=0.64+0.36=1.所以, Y1, Y2都服从标准正态分布.212高级培训 7. 设X1, X2,X9为来自正态总体的样本, Y1=1/6(X1X2+X6), Y2=1/3(X7+X8+X9), 证明: 统计量Z服从自由度为2的t分布. 证明 设XN(,2), 则Y1N(,2/6), Y2N(,2/3),于是, Y1Y2N(0, 2/2), 又由于, 2S2/22( 2), 所以, 213高级培训 8. 设X1, X2,Xn为来自正态总体N(, 2)的样本, X和S2为样本均值和样本方差, 又设Xn1N(, 2), 且Xn1 与X1, X2,Xn相互独立, 求统计量 的分布. 解 由于XN(,2/n), 故Xn1XN(0,(n1)2/n), 所以, 又由于, 所以, 214高级培训又由于XN(0, 1/n), , (n1)S22(n1). 9. 设X1, X2,Xn为来自正态总体N(0, 1)的样本, X和S2为样本均值和样本方差, T=X2S2/n, 求D(T). 解 由于X与S2相互独立, 所以 所以,于是,所以, 所以, 215高级培训 1. (1) 设X服从参数为(0) 的泊松分布, 其中未知; X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本, 求的矩估计和最大似然估计. (2) 设X服从参数为(0)的指数分布, 其中未知; X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本, 求1的矩估计和最大似然估计. 解 (1) 由于XP(), 所以, E(X)=,第七章习题7.1(第192页)令 X, 得参数的矩估计量为: 参数的矩估计值为: 样本的似然函数为: 216高级培训所以，令得参数的最大似然估计值为: 参数的最大似然估计量为: (2) 由于XE(), 所以, E(X)=1/,令1/ X, 得参数1的矩估计量为: 参数1的矩估计值为: 217高级培训所以，令得参数1的最大似然估计值为: 样本的似然函数为: 参数1的最大似然估计量为: 218高级培训 3. 设总体X的分布律为: 其中 (00)未知. 设x1, x2, xn是X的一组样本观测值, 求的矩估计和最大似然估计. 解 由于令 , 得的矩估计值为: 样本的似然函数为：可见, 的最大似然估计值为: 220高级培训 7*. 设 是未知参数的无偏估计量, 方差 依赖于子样容量n, 若 , 试证 是的相合估计量. 解 由于 , 由切比雪夫不等式有:即， 是的相合估计量. 8. 设 和 是分别来自总体 N(1, 2) 和N(2, 2)的简单随机样本, 试证: 是的无偏估计. 证明 由于所以, 221高级培训 11设X1, X2, X3, X4是来自参数为的指数分布总体的简单随机样本, 其中未知. 设有估计量(1)指出T1, T2, T3中哪几个是1的无偏估计量;(2) 在1的无偏估计量中哪个较为有效？ 解 由于E(T1)=E(T3)=1, E(T2)=21所以, T1, T3是1的无偏估计量, T2是1的有偏估计量.又由于D(T1)=5/(182), D(T3)=1/(42) 所以, 1的无偏估计量中 T3较为有效.222高级培训 14. (1)设X1, X2,Xn是来自参数为(0)的泊松分布总体的一个样本, 求PX=0的最大似然估计. (2)某铁路局的证实一个扳道员在五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布. 下表是该铁路局某五年内的相关数据： 一扳道员引起的严重事故的次数 0 1 2 3 4 5 某五年中观察到的扳道员人数 44 42 21 9 4 2求一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率p的最大似然估计. 解 (1) 由于PX=0=e，记e, 似然函数为:223高级培训所以, 令 得参数(PX=0)的最大似然估计为: (2) 记一扳道员在五年内所引起的严重事故的次数为X, =PX=0=e, PX=1=eln PX=2=2e/2(ln)2/2 PX=3=3e/6(ln)3/6 PX=4=4e/24(ln)4/24 PX=5=5e/120(ln)5/120224高级培训所以, 令 得参数(PX=0)的最大似然估计为: 所以, 似然函数为:225高级培训 1. 已知一批零件的长度X(单位: cm)服从正态分布N(, 1), 从中随机地抽取16个零件, 算得长度的平均值为40cm,求的置信度为0.95的置信区间 解 由于10.95, 所以0.05, 查表得z0.0251.96,第七章习题7.2(第206页)于是, 的置信度为0.95的一个置信区间为: 226高级培训 2. 用某仪器间接测量温度, 重复测5次得数据: 1250, 1265, 1245, 1260, 1275. 设温度X服从正态分布, 试求置信度为0.99的温度均值的置信区间. 解 由10.99, 得0.01, 查表得t0.005(4)4.6041,而且,x1259，s2=142.5， 于是, 的置信度为0.99的一个置信区间为: 227高级培训 3. 估计一批钢索的平均张力, 取样做了10次试验, 由试验值算得平均张力为6720kPa, 张力的标准差s为220kPa. 设张力服从正态分布, 求钢索平均张力的单侧置信下限(设置信水平为0.95). 解 由10.95, 得0.05, 查表得t0.05(9)1.8331,于是, 钢索平均张力的置信度为0.99的单侧置信下限为: 228高级培训的置信度为0.95的一个置信区间为: 4. 测试10个灯泡, 得灯泡使用时数的样本均值1500 h和样本标准差20 h. 已知灯泡使用时数服从正态分布, 求2及的置信区间(设置信水平为0.95). 解 由于10.95, 所以0.05, 查表得: 20.025(9)19.023, 20.975=2.7于是, 2的置信度为0.95的一个置信区间为: 229高级培训 6. 某食品处理前取样分析, 含脂率为: 0.19, 0.12, 0.18, 0.30, 0.21, 0.27, 0.30, 0.42, 0.66, 0.08, 处理后取样分析,含脂率为0.15, 0.04, 0.13, 0.18, 0.00, 0.20, 0.07, 0.12, 0.24, 0.13, 0.24. 假如处理前后的含脂率均服从正态分布,且方差不变, 试求处理前后含脂率均值差的置信水平为0.95的置信区间. 解由10.95,得0.05,查表得: t0.025(19)2.093而, n1=10, n2=11,x0.273,y0.136, S12=0.0281, s22=0.00603, sw2=0.0165, sw0.128于是, 均值差的置信度为0.95的一个置信区间为: 230高级培训 (0.0199, 0.254)231高级培训 7. 某自动机床加工一种套筒, 假定套筒直径服从正态分布. 现从A, B两班的产品中各随机地抽取5个套筒, 测得直径数据：A班: 2.066, 2.063, 2.068, 2.060, 2.067；B班: 2.058, 2.057, 2.063, 2.059, 2.060. 求两班套筒方差比A2/B2的置信水平为0.90的置信区间. 解由10.9, 得0.1, 查表得: F0.05(4, 4)6.39, F0.95(4, 4)=1/F0.05(4, 4)=1/6.39=0.1565.而, S12=0.0000428, s22=0.0000212于是, A2/B2的置信度为0.90的一个置信区间为: 232高级培训 3. 设分别从总体N(1, 2)和N(2, 2)中抽取容量为n, m的两个独立样本, 它们的样本方差分别为S12和S22. 试证: (1) 对于任意常数a, b(a+b=1), Z=aS12+bS22都是2的无偏估计量; (2)确定常数a, b, 使D(Z)达到最小. 证明 (1)由于(n-1)S12/22(n-1), (m-1)S22/22(m-1),第七章章末习题7(第207页)所以, (n-1)E(S12)/2=n-1, (m-1)E(S22)/2=m-1，所以, E(Z)=aE(S12)+bE(S22)(a+b)2=2即, Z=aS12+bS22是2的无偏估计量. (2) D(Z)=a2D(S12)+b2D(S22)a224/(n-1)b224/(m-1) 2(m+n-2)a2-2(n-1)a(n-1)4/(n-1)(m-1)所以, 当a(n-1)/(m+n-2), b(m-1)/(nm-2)时取最小值.233高级培训 5. 设X1,X2,X2n(n2)是来自总体X的简单随机样本,总体X服从正态分布N(, 2)(0). 设 , 求统计量 的数学期望E(Y). 证明 由于 Xi+Xn+iN(2, 22), i=1, 2, , n所以, Y/222(n-1)，所以, E(Y)/22=n1即, E(Y)=2(n)2.234高级培训 6. 设总体X的分布函数为 其中未知参数1. X1, X2, Xn为来自总体X的简单随机样本, (1)求的矩估计; (2)求的最大似然估计. 解 可得X的概率密度函数为: (1) 由于E(X)=1/(1), 令/(1)=X得参数的矩估计量为: (2) 似然函数为: L()=n/(x1x2xn)1, xi1所以, lnL()=nln(1)ln(x1x2xn)令 n/ln(x1x2xn)=0得参数的最大似然估计量为: 235高级培训 9. 设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本, 而X的概率密度函数为 , 其中0是未知参数. (1)求总体X的分布函数F(x); (2) 求统计量 的分布函数 ; (3)判断 是否为的无偏估计量. 解 (1)X的分布函数为: (2) (3) 由(2)可得:所以, 是的有偏估计量.236高级培训 13. 假设0.50, 1.25, 0.80, 2.00是来自总体X的简单随机样本值. 已知Y=lnX服从正态分布N(, 1). (1)求X的数学期望E(X)(记E(X)为b); (2)求的置信度为0.95的置信区间; (3)利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间. 解 (1) E(X)=E(eY) (2) 由于10.95, 所以, =0.05, z0.0251.96, n4,Y=ln0.5+ln1.25+ln0.8+ln2/4=0.所以, 的置信度为0.95的置信区间为:237高级培训 (3) 由(2)有: P0.980.98=0.95, 且be0.5所以, P0.98lnb0.50.980.95即, Pe0.48b0, 则, 拒绝域为：241高级培训由于, t0.05(9)=1.8331,d8.3, s2=38.41，所以 , 所以在显著水平0.05下拒绝H0,即, 在显著水平0.05下, 医生的意见是对的.242高级培训 4. 电工器材厂生产了一批保险丝, 从中抽取10个测试其溶化时间, 得到如下数据： 42, 65, 75, 78, 71, 59, 57, 68, 55, 54设整批保险丝的熔化时间服从正态分布, 问是否可以认为保险丝的熔化时间的方差为144(=0.10). 解 提出假设 H0: 2=02=144, H1: 2144, 则, 拒绝域为： 或由于, 20.05(9)=16.919, 20.95(9)=3.325, s2=121.82, 所以 , 所以在显著水平0.10下接受H0, 即保险丝的熔化时间的方差为144.243高级培训 6. 为检验A, B两种药在血液中的反应, 今在服A种药的8人和服B种药的6人服药两小时后, 检验了他们血液中的药物浓度, 得到如下数据: A种药的浓度: 1.23, 1.42, 1.41, 1.62, 1.55, 1.51, 1.60, 1.76,B种药的浓度: 1.76, 1.41, 1.87, 1.49, 1.67, 1.81.设A, B两种药在血液中的浓度均服从正态分布, 且方差相等, 那么可否认为这两种药在血液中的浓度相同(=0.10)? 解 提出假设 H0: 12=0, H1: 120, 则, 拒绝域为：由于, =0.1，所以，t/2(12)=t0.05(12)=1.7823,244高级培训而,x1.5125, y1.6683, s12=0.0258, s220.0335， sw20.029，所以所以在显著水平0.10下接受H0, 即认为这两种药在血液中的浓度相同.245高级培训 7. 为比较在不同季节出生的女婴体重的差异, 从某年12月和6月出生的女婴中各随机地取了6名与10名, 测得体重(单位: g)如下: 12月: 3520, 2960, 2560, 2960, 3260, 3960, 6月: 3220, 3220, 3760, 3000, 2920, 3740, 3060, 3080, 2940, 3060. 设新生女婴体重服从正态分布, 试问冬、夏两季新生女婴体重的方差是否不同(=0.05)？ 解 提出假设 H0: 12/22=1, H1: 12/221, 则, 拒绝域为：由于, =0.05, 所以, F0.975(5,9)=1/6.68, F0.025(5,9)=4.48,246高级培训而,x3203.33, y3200, s12=241666.6, s2293955.6,所以所以在显著水平0.05下接受H0, 即认为冬、夏两季新生女婴体重的方差没有明显差别.247高级培训分 布 参 数分布律或规律密度期 望方 差01分布 0p1PX=1=p, PX=0=1- p pp(1-p)二项分布n10p0PX=k=ke-/ k!k=0,1,2,均匀分布a02正态分布02 几种常用概率分布表几种常用概率分布表附表附表1 1248高级培训 标准正态分布表标准正态分布表t0f(t)xx.00.01.02.03.04.05.06.07.08.090.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.61.71.80.500000.539830.579260.617910.655420.691460.725750.758040.788140.815940.841340.864330.884930.903200.919240.933190.945200.955430.964070.503990.543800.583170.621720.659100.694970.729700.761150.791030.818590.843750.866500.886860.904900.920730.934480.946300.956370.964850.507980.547760.587060.625520.662760.698470.732370.764240.793890.821210.846140.868640.888770.906580.922200.935740.947380.957280.965620.511970.551720.590950.629300.666400.701940.735650.767300.796730.823810.848500.870760.890650.908240.923640.936990.948450.958180.966380.515950.555670.594830.633070.670030.705400.738910.770350.799550.826390.850830.872360.892510.909880.925070.938220.949500.959070.967120.519940.559620.598710.636830.673640.708840.742150.773370.802340.828940.853140.874930.894350.911490.926470.939430.950530.959940.967840.523920.563560.602570.640580.677240.712260.745370.776370.805110.831470.855430.876980.896170.913090.927860.940620.951540.960800.968560.527900.567490.606420.644310.680820.715660.748570.779350.807850.833980.857690.879000.897960.914660.929220.941790.952540.961640.969260.531880.571420.610260.648030.684390.719040.751750.782300.810570.836460.859930.881000.899730.916210.930560.942950.953520.962460.969950.535860.575350.614090.651730.687930.722400.754900.785240.813270.838910.862140.882980.901470.917740.931890.944080.954490.963270.97062附表附表3 3249高级培训x.00.01.02.03.04.05.06.07.08.091.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.90.971280.977250.982140.986100.989280.991800.993790.995340.996530.997440.998130.971930.977780.982570.986450.989560.992020.993960.995470.996640.997520.998190.972570.978310.983000.986790.989830.992240.994130.995600.996740.997600.998250.973200.978820.983410.987130.990100.992450.994300.995730.996830.997670.998310.973810.979320.983820.987450.990360.992660.994460.995850.996930.997740.998360.974410.979820.984220.987780.990610.992860.994610.995980.997020.997810.998410.975000.980300.984610.988090.990860.993050.994770.996090.997110.997880.998460.975580.980770.985000.988400.991110.993240.994920.996210.997200.997920.998510.976150.981240.985370.988700.991340.993430.995060.996320.997280.998010.998560.976700.981690.985740.988990.991580.993610.998200.996430.997360.998070.99861x.0.1.2.3.4.5.6.7.8.930.998650.999030.999310.999520.999660.999770.999840.999890.999930.99995附表附表3 3( (续续) )250高级培训则称(X, Y)服从参数为(1, 2; 12,22;)的二维正态分布, 简记为(X,Y)N(1,2,12,22,)。 这里1,2;12,22; 都是常数, 且10,20, |1。二维正态分布二维正态分布 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为: 251高级培训