第第2课时课时 奇偶性的应用奇偶性的应用1巩固巩固函数奇偶性的性质函数奇偶性的性质，并能熟，并能熟练练应用应用2能能利用函数的奇偶性利用函数的奇偶性、单调性解单调性解决决一一些些综合综合问问题题1定定义义在在R上上的奇函数的奇函数，必有，必有f(0)_.2若若奇函数奇函数f(x)在在a，b上是增上是增函数函数，且有，且有最大最大值值M，则则f(x)在在b，a上是上是_函数函数，且，且有有_.3若若偶函数偶函数f(x)在在(，0)上是减上是减函数函数，则则有有f(x)在在(0，)上是上是_自学导引自学导引0最小值最小值M增函数增函数增增奇函数的奇函数的图图象象一一定定过过原原点点吗吗？自主探究自主探究1若若点点(1,3)在在奇函数奇函数yf(x)的的图图象上，象上，则则f(1)等于等于()A0 B1 C3 D3解析解析：由：由题题知知f(1)3，因因为为f(x)为为奇函数奇函数，所以所以f(1)3，f(1)3.答案答案：D预习测评预习测评2已知已知函数函数yf(x)是是偶函数偶函数，其，其图图象象与与x轴轴有四个交有四个交点点，则则方程方程f(x)0的的所有所有实实根之和根之和是是()A4 B2 C1 D0解析解析：根据：根据偶函数偶函数图图象关于象关于y轴对轴对称知，四称知，四个交个交点的点的横坐横坐标标是两是两对对互互为为相反相反数的数数的数，因因此此它它们们的的和和为为0.答案答案：D函数函数f(x)x在区在区间间1,1上上为为减减函数函数，当，当x取取区区间间左端左端点的点的值时值时，函数函数取取得得最大最大值值1.答案答案：11由由奇函数奇函数和和偶函数的性质偶函数的性质，可，可得单调性与奇得单调性与奇偶性的偶性的联联系：系：奇函数奇函数在关于原在关于原点点对对称称的的两个区两个区间间上上的单调性一的单调性一致，致，偶函数偶函数在关于原在关于原点点对对称称的的两个区两个区间间上上的单调性的单调性相反即相反即(1)奇函数奇函数在在a，b和和b，a上具有相同上具有相同的单的单调性调性；(2)偶函数偶函数在在a，b和和b，a上具有相反上具有相反的单的单调性调性要点阐释要点阐释2几个基本几个基本函数的奇偶性函数的奇偶性：(2)ykxb(k0)，当，当b0时时是是奇函数奇函数，当，当b0时时既不是既不是奇函数奇函数又不是又不是偶函数偶函数；(3)yax2bxc(a0)，当，当b0时时是是偶函数偶函数，当当b0时时既不是既不是奇函数奇函数又不是又不是偶函数偶函数题型一利用奇偶性求函数解析式题型一利用奇偶性求函数解析式【例例1】 已知已知函数函数f(x)是定是定义义在在R上上的奇函数的奇函数，当当x0时时，f(x)2x23x1，求求：(1)f(0)；(2)当当x0时时，f(x)的解析式的解析式；(3)f(x)在在R上上的解析式的解析式解解：(1)因因为为函数函数f(x)是定是定义义在在R上上的奇函数的奇函数，所，所以以f(0)f(0)，即，即f(0)0.典例剖析典例剖析(3)函数函数f(x)在在R上上的解析式的解析式为为点评点评：首先：首先设设出所出所求求区区间间上上的的自自变变量，量，利用利用奇奇、偶函数偶函数定定义义域关于原域关于原点点对对称称的的特特点点，把它，把它转转化到已知化到已知的的区区间间上，代入已知上，代入已知的解析式的解析式，然后再，然后再次次利用函数的奇偶性求解利用函数的奇偶性求解即可即可(2)当当x0，f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于由于f(x)是奇函数，故是奇函数，故f(x)f(x)，所以，所以f(x)2x23x1，x0.1已知已知f(x)是是偶函数偶函数，且当，且当x1,0时时，f(x)x1，试试求函数求函数f(x)在在x1,1上上的的表达表达式式解解：任取：任取x(0,1，则则x1,0)，f(x)x1.又又f(x)是是偶函数偶函数，所以，所以f(x)f(x)x1.题型二函数奇偶性与单调性的综合应用题型二函数奇偶性与单调性的综合应用【例例2】 已知已知奇函数奇函数yf(x)，x(1,1)在在(1,1)上是减上是减函数函数，解解不等不等式式f(1x)f(13x)0.解解：yf(x)，x(1,1)是是奇函数奇函数，f(x)f(x)，f(1x)f(13x)0f(1x)f(13x)f(1x)f(3x1)又又yf(x)在在(1,1)上是减上是减函数函数，点评点评：函数单调性的函数单调性的实实质质是自是自变变量量的的变变化化与函与函数数变变化化的的内在内在统统一性一性，解答解答这类这类题的题的思路是：先由思路是：先由函数的奇偶性函数的奇偶性将不等将不等式式两两边边都都变变成只含成只含“f”的式子，的式子，然后根据函数的单调性列出不等式然后根据函数的单调性列出不等式(组组)求解求解2设设定定义义在在2,2上上的偶函数的偶函数g(x)，当，当x0时时，g(x)单调单调递递减，若减，若g(1m)g(m)成立，成立，求求m的的取取值值范范围围解解：g(x)是定是定义义在在2,2上上的偶函数的偶函数，且在且在0,2上上单调单调递递减，减，g(x)在在2,0上上单调单调递递增，增，又又g(1m)0时时，f(x)2x1，求函数求函数f(x)的解析式的解析式错解错解：当：当x0，f(x)2(x)12x1.f(x)是是奇函数奇函数，f(x)f(x)，f(x)2x1，错因分析错因分析：错解错解中忽略了定中忽略了定义义域域为为R的的条件，条件，漏掉了漏掉了x0的的情况情况正解正解：同：同错解得错解得：当：当x0时时，f(x)2x1.f(x)(xR)是是奇函数奇函数，f(0)f(0)，f(0)0.纠错心得纠错心得：定义域是函数的灵魂，尤其是解决：定义域是函数的灵魂，尤其是解决奇、偶函数的问题首先要考虑定义域，若函数奇、偶函数的问题首先要考虑定义域，若函数f(x)为为奇函数，且函数在原点有定义，则有奇函数，且函数在原点有定义，则有f(0)0，此点，此点是条件中的隐含结论，不可忽略是条件中的隐含结论，不可忽略奇偶函数的主要性质奇偶函数的主要性质1奇函数的奇函数的图图象关于原象关于原点点对对称，称，偶函数的偶函数的图图象象关于关于y轴对轴对称，故可直接根据称，故可直接根据函数函数图图象象的的对对称称性性来判来判断断函数的奇偶性函数的奇偶性画画函数函数图图象象时时首先判断首先判断奇偶性奇偶性，作作图图比比较较方便方便2(1)根据根据奇函数的奇函数的定定义义，如果，如果一一个个奇函数奇函数在原在原点点处处有定有定义义，即，即f(0)有意有意义义，那么，那么一一定有定有f(0)0.有有时时可以可以用用这这个个结论结论来否定来否定一一个个函数函数为为奇函数奇函数课堂总结课堂总结(2)偶函数的一偶函数的一个重个重要性质要性质：f(|x|)f(x)，它能，它能使自使自变变量化量化归归到到0，)上，避免上，避免分分类讨论类讨论3具有具有奇偶性的函数的单调性的奇偶性的函数的单调性的特特点点：(1)奇函数奇函数在在a，b和和b，a上具有相同上具有相同的的单调性单调性(2)偶函数偶函数在在a，b和和b，a上具有相反上具有相反的的单调性单调性