第二章第二章 自动调理系统的自动调理系统的 数学描画数学描画2.1 2.1 调理系统的微分方程描画调理系统的微分方程描画 2.6 2.6 典型环节及其传送函数典型环节及其传送函数2.2 2.2 传送函数传送函数2.3 2.3 动态构造图及其等效变换动态构造图及其等效变换2.4 2.4 闭环系统的传送函数闭环系统的传送函数2.5 2.5 脉冲呼应与阶跃呼应脉冲呼应与阶跃呼应2.7 2.7 利用计算机求取系统传送函数利用计算机求取系统传送函数2-1 调理系统的微分 方程描画 列写微分方程的普通方法 非线性方程的线性化 复杂系统列写微分方程例如分析系统各部分运动的机理，根据这些机理分别写出描画各部分运动的微分方程，合在一同便成为描画整个系统的方程；解 析 法 步骤：1.明确输入、输出量 2.建立输入、输出量的动态联络 3.消掉中间变量，得到微分方程人为地在系统上加上某种测试信号，记录系统中各变量的运动，然后选择适宜的微分方程，使之能近似地表示这种运动，以此作为系统的方程。 辩 识 法解析法举例3412 根据电路实际的基尔霍夫电压定律，任一时辰网络的输入电压等于各支路的电压降和，那么得 (2.1.1)而 (2.1.2)式中i为网络电流，是除输入、输出量之外的中间变量。例2.1.1 列写图示RC网络的微分方程。urucRCiRC无源网络解：1. 明确输入、输出量 网络的输入量为电压ur,输出量为电压 uc 。2. 建立输入、输出量的动态联络 3消掉中间变量将式(2.1.2)两端求导，得 (2.1.3)代入式2.1.1整理得 (2.1.4)这就是RC网络的动态数学模型，是一个一阶常系数线性非齐次微分方程。等号右端为输入量所在项，左端为输出项。 例2.1.1续例2.1.2 列写图示的二级RC网络的微分方程。 u1ucR2C2i2二级RC网络urR1C1i1解：1. 明确输入、输出量 输入量为电压ur,输出量为电压 uc, i1、i2为中间变量。2. 建立输入、输出量的动态联络 根据电路实际的基尔霍夫电压定律，有 (2.1.5)例2.1.2续及 (2.1.6)又 (2.1.7)3消掉中间变量 将式(2.1.6)、(2.1.7)两边求导，代入式(2.1.5)，得(2.1.8) 二级RC网络的动态数学模型是一个二阶常系数线性非齐次微分方程。例2.1.3 用热电偶丈量环境介质的温度，如右图所示。输入信号为环境介质的温度 T，输出信号为热电偶的热电势E，试写出它的微分方程。 解： 设热电偶的冷端温度不变，为0C，热电偶的热端温度为Th。那么，被测介质与热电偶之间的热流量为： (2.1.9)式中，R 为传热阻力，假定为常数； q 为热流量，单位时间的传热量，时间的函数。T热电偶测温表示图ThE例2.1.3续 热电偶的热端温度Th随着热流量q的变化而改动，它们之间的动态关系为： (2.1.10)式中，C 为热电偶的热容量。而热电偶的热端温度Th与热电偶的输出热电势E之间的动态关系为： (2.1.11)式中，r 为热电偶的特性常数， Th改动1C时E改动的值。从上面三式中消去中间q和Th，得到热电偶测温的微分方程： (2.1.12) 数学方法：对于光滑的非线性函数 y = f (x)，在平衡任务点x0附近的邻域内，将其展开为泰勒级数，并略去二阶以上的高阶小量，即 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化微偏线性化近似处置在平衡任务点x0附近， y和x 呈近似的线性关系 。 举例例讨论1 12 2例2.1.4 图示蓄水箱系统中，蓄水箱面积为A，输入信号为进水流量Q1，输出信号为水位H，写出该系统的微分方程。 解：水箱的蓄水过程, Q1 和Q2不相等引起液位H的变化, 由单位时间内水箱中水体积变化的关系，有(2.1.13)2. 流出流量Q2与液位H的关系，由伯努利方程有(2.1.14) 例2.1.4续13. 将(2.1.14) 代入(2.1.13)得蓄水箱系统的微分方程：(2.1.15)这是一个一阶非线性微分方程，采用微偏线性化方法将它线性化：HH0Q20Q2HaQ2o(1). 参看右图，选择一个平衡任务点a(H0,Q20)，延续可导；(2). 在a点将非线性曲线(2.1.14)作线性化处置，取泰勒展开式一阶项，略去二阶以上小量：(2.1.16)例2.1.4续2(3). 变非线性方程为线性化增量方程：代入(2.1.15)得到(2.1.17)(2.1.16)代入(2.1.17)得到线性化增量方程：RL为Q2= Q20时流出管路的阻力系数称为液阻。为了方便起见，经常省略线性化增量方程中的符号“例2.1.5 铁芯线圈的动态方程为 (2.1.18)给定平衡点 u0、i0 , 试建立线性化增量方程。解： 将方程中一切变量看作是平衡点附近的变化量，即 (2.1.19)非线性函数i取近似式u、i、 代入原方程(2.1.18) ，有例2.1.5续上式中, 是原方程式(2.1.18)的静平衡方程。故整理后得线性化增量方程为: (2.1.19)式中 为线圈在i0处的电感，如用L表示，那么上式可写为这是一个一阶线性常系数微分方程。对照原非线性方程(2.1.18)可看出，只需将非线性项用一阶增量项近似，而线性项直接将变量换写成相应增量，即得线性化方程。 线性化讨论1.线性化方程描画的不是变量本身，而是变量对平衡点的增量。线性化方程中的增量，不应了解为无穷小量，而应了解为是有工程实践概念的较小的变化量。2.平衡点应根据系统平衡任务形状而定，各部件应一致。3.关于增量假设的可靠性：一切变量都在平衡点附近变化，这一假设对控制系统而言是合理的。自动控制的义务是使被控量按给定值变化。因此，正常任务的系统，控制的偏向是不大的，各部件输入、输出的偏离量都不应过大，这就保证了小偏向法运用的可靠性。4.非线性变量变化范围很大的系统，仍可用线性化模型的计算结果定性分析。5.线性化方程仍是近似方程。6.在平衡点附近不可导的函数不能微偏线性化方法。复复杂杂系系统统列写微分方程例如列写微分方程例如 为复杂对象列写运动方程通常比较费力，需求关于对象机理的详细知识和缜密的思索。假设对象是由几个部分组成的，就先列写每一部分的方程，然后用一些联络方程把它们联络起来。 列写方程以后，要检查方程中的变量，区分输入量、输出量和中间变量，消去中间变量，最终导出单变量微分方程 。并写成以下的典型方式：举例例例2.1.6 双容水箱液位自动调理系统如以下图所示，流出蓄水箱的流量Q3只与水泵转速有关。设输入信号为流出的流量Q3，输出信号为水位H2，写出调理系统的动态方程式。解： 设流入水箱的流量Q1只取决于进水调理阀开度。在平衡形状时：下面对非线性方程线性化时就以该平衡形状为参考点，所用的变量都从平衡形状算起。为清楚起见，将本问题划分为以下几个部分思索。(1) 第一水箱蓄水过程：输入信号为流量差(Q1Q2)，输出信号为水位H1，根据质量平衡原理有： (2.1.20)(2) 水箱1至水箱2的流动过程：输入信号为(H1H2)，输出信号为水位Q2，动态方程式为：(2.1.21)式中为常数，决议于流管的阻力。以平衡形状为参考点对2.1.21进展线性化处置后，得到：(2.1.22)式中RL为两水箱间管路的液阻。(3) 第二水箱蓄水过程：输入信号为流量差(Q2Q3)，输出信号为水位H2，根据质量平衡原理有(2.1.23)(4) 浮子、杠杆和阀门的运动：输入信号为H2，输出信号为，忽略摩擦阻力，有 (2.1.24)式中，“号表示H2添加时， 减小。(5) 进水调理阀的作用：输入信号为，输出信号为Q1，其近似关系为 (2.1.25)式中为常数 。由以上动态方程式2.1.20至2.1.25式中消去中间变量、Q1、H1和Q2，就可以得到系统的微分方程为： 2-2 传 递 函 数 传 递 函 数 的 概 念 传 递 函 数 的 性 质q概念q定义q例题 传送函数的零极点微分方程t 域动态数学模型 urucRCi RC无源网络输入信号ur对输出uc的动态联络称为零形状分量初始形状uc(0-)对输出uc的动态联络称为零输入分量传送函数的概念 以RC网络为例 象方程s 域动态数学模型象方程的解：微分方程的解时域阶跃呼应零形状呼应零输入呼应假设设uc(0-)=0，即系统有零初始形状，那么由象方程可得：G(s)Ur(s)Uc(s)G(s)相当于放大系数，相当于放大系数， Ur(s) 经经G(s)动态传送输出，故称其为传送动态传送输出，故称其为传送函数函数传送函数的定义 线性定常系统的传送函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 思索由以下微分方程描画的线性定常系统： 式中，y 为 系统的输出量，x为系统的输入量。在全部初始条件为零的假设下，ai和bi均为与系统构造有关的常数。对上式的两端进展拉氏变换，可得系统的传送函数为：(2.2.1)利用传送函数的概念，可以用以s为变量的代数方程表示系统的动态特性。假设传送函数的分母中，s的最高阶次为n, 那么称该系统为n 阶系统。 (2.2.2)例2.2.1 求例 2.1.2的二级RC网络的传送函数Uc(s)/ Ur(s) 。 解： 二级RC网络的微分方程用式 (2.1.8) 表示为： 在零初始条件下，对上式各项求拉氏变换，得 由传送函数的定义，得二级RC网络的传送函数为1.传送函数是经拉氏变换导出的，拉氏变换是一种线性积分运算，因此传送函数的概念只适用于线性定常系统。 2.系统的传送函数是一种数学模型，它表示联络输出量与输入量的微分方程的一种运算方法。传送函数包含了微分方程的全部系数，与微分方程所包含的信息量一样。 3.传送函数G(s)是以s为自变量的复变函数，具有复变函数实际所阐明的一切性质。 4.传送函数完全取决于系统内部的构造和参数，而与初始条件无关。 传送函数的性质传送函数的性质5.传送函数只阐明一个特定的输入、输出关系。同一系统，取不同变量作输出，以给定值或不同位置的干扰为输入，传送函数各不一样。6.传送函数G(s)是s的有理函数，即有理分式2.2.2，分母多项式即为微分方程的特征多项式，分子多项式为微分方程右端函数的微分算符多项式。对于实践的即物理上可以实现的线性集总参数对象，传送函数表达式2.2.2为严厉真有理分式，即nm，只是在理想假设下，才有n=m。7.零初始条件，故仅为系统的零形状模型，不能反映零输入呼应的动态特征 ，但在t=0-时，系统处于相对平衡形状，各变量对平衡点的增量为零。条件容易设置。传送函数的性质传送函数的性质传送函数的三种表达方式 多项式方式 零极点方式 因子连乘积方式 zi 传送函数的零点 pj 传送函数的极点 K *=b0/a0传送系数， 根 轨迹增益传送函数的零极点方式传送函数的因子连乘积二阶因子对应于共轭 复数零极点 i、Tj 时间常数 K 传送系数，增益传送函数的零点和极点因式分解因式分解传送函数的普通方式2-3 动态构造图及其 等效变换 动态构造图 构造图的等效变换 梅森公式动动 态态 结结 构构 图图动态构造图是控制系统的一种数学模型，是系统原理图与数学方程的结合，既补充了原理图所短少的定量描画，又防止了纯数学的笼统运算，从构造图上可以用方框进展运算，也可以直观了解各元部件的相互关系及其在系统中所起的作用，更重要的是从系统构造图可以方便地求出系统的传送函数。1.1动态构造图的四种根本单元信号线表示信号输入、输出通道，箭头表示信号传送方向。直线旁标注信号的时间函数或象函数。y(t)或Y(s)表示引出或丈量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全一样 。引出点Y(s)Y(s)传送方框G(s)表示对信号进展的数学变换，方框两侧为输入、输出信号线，方框内为传送函数。X(s)G X综合点表示几个信号相加减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在相应信号线的箭头附近标以负号。X(s)Y(s)X-Y系统动态构造图的绘制系统动态构造图的绘制1.写出系统各元部件的微分方程和象方程或传送函数；2.选择输入、输出信号，绘出各元部件的方框图；3.根据系统内信号流向，将各方框依次衔接，得到系统的动态构造图。例2.3.1 绘出例2.1.6所示双容水箱液位自动调理系统的动态构造图。Q1Q2H1方 框 图象方程解：(1) 第一水箱蓄水过程：微分方程(3) 第2水箱蓄水过程与水箱1类似：(2) 水箱1至水箱2的流动过程：方程H1Q2H2方 框 图Q3Q2H2方 框 图(5) 进水调理阀的作用：(4) 浮子、杠杆和阀门的运动：方 程方 框 图 H2方 程方 框 图Q1 Q1 H2浮子、杠杆和阀门Q3Q2H2水箱2H1H2水箱1至水箱2Q1Q2H1水箱1进水调理阀(6) 系统动态构造图：Q2例2.3.3 试建立图示二级RC网络的动态构造图。解：采用复阻抗概念直接画图，用复数阻抗表示电阻时仍为R，电容的复阻抗为 1/Cs。R1两端的压差uru1乘以 1/R1即为过R1的电流i1。i1i2 即为过 C1的电流，此电流乘以容抗 1/C1s 即为电压 u1(即第二级的输入电压)。而 R2 两端的压差u1uc乘以 1/R2 即为过 R2 的电流 i2, i2乘以容抗1/C2s即为输出电压uc。 u1ucR2C2i2二级RC网络urR1C1i1二级网络动态构造图二级网络的动态构造不同于两个一级网络动态构造的串联，电流i2经反响作用影响u1，后一级网络对前级网络的这种反作用称为负载效应，后一级网络为前级的负载。UrU1I1UcI2I2U1Ucu1ucR2C2i2二级RC网络urR1C1i1urucRCiUrUcIUc动态构造图的等效变换动态构造图的等效变换1.串联构造的等效变换总的传送函数等于各个串联环节的传送函数的乘积 XYXY2.并联构造的等效变换总传送函数等于各个并联环节的传送函数的代数和 XYXY+YnY1Y23.反响构造的等效变换XYXYEB综合点后移综合点前移4.综合点的等效挪动XYQXYQXYQXYQXYQP综合点换位XYQP引出点后移引出点前移5. 引出点的等效挪动引出点换位XYXXYXXYYYYYYYYXYY引出点后移引出点前移6. 综合点和引出点之间换位XYQYXYQYQXYQXXYX+QQ7. 负号在支路上的挪动XYEBXY+EB例2.3.4 利用方框图等效变换法那么求出图示的系统的传送函数C(s)/R(s) R(s)C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H1(s)H2(s)H3(s)解：将图中间的引出点移至最右端：R(s)C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H1(s)H2(s)H3(s)1/G4(s) (s)R(s)C(s)依次化简图中洋红色负反响回路：R(s)C(s)G1(s)G2(s)G34(s)H1(s)H2(s)1/G4(s)R(s)C(s)G1(s)G23(s)H1(s)梅森公式为：式中：回路传送函数：反响回路的前向通道和反响通道传送函数的乘积并包含表示反响极性的正负号。Pk 为第k条前向通道的传送函数 ，n为前向通道数k 是将主特征式中，与第 k 条前向通道相接触 有重合部分的回路所在项去掉后的余子式。 梅森梅森S。J。Mason公公 式式一切三个互不接触的回路，其回路传送函数乘积之和一切两两互不接触的回路，其回路传送函数乘积之和一切不同回路的回路传送函数之和RRRCCCuruci1i2i3u1u2I11R1R1R I2I3UrUcu1u2例2.3.5 利用梅森公式求出图示三级RC网络的 传送函数Uc(s)/Ur(s) 解：绘制三级RC网络的动态构造图：共有5个反响回路，回路传送函数均一样，即 所以 1Cs1Cs1Cs将 、P1 、1代入梅森公式，可得网络的传送函数为 5个回路中，可以组成6对两两互不接触的回路，故 还有一组三个互不接触的回路，因此 所以前向通道与各回路均有接触，故余子式 前向通道只需一条，即 2-4 2-4 系统传送函数系统传送函数 闭环系统典型构造 开环传送函数 闭环系统传送函数 误差传送函数 单位负反响1. 闭环系统的典型构造RCEBN2. 系统开环传送函数开环传送函数不是指开式控制系统的传送函数，而是闭环系统的开环。开环传送函数不含反响的极性。3. r(t)作用下的系统闭环传送函数RCEBN令 n(t)=0 由上图可求得系统的闭环传送函数为4. n(t)作用下的系统闭环传送函数令 r(t)=0 由上图可求得输出c(t)对输入n(t)的传送函数为CN5.系统总输出根据线性迭加原理，线性系统的总输出应为各外作用引起的输出之和，因此总输出的拉氏变换式为 6. 误差传送函数系统分析时，除要了解被控量c(t)的变化规律，还经常关注控制过程中的误差变化。误差大小直接反映了系统的控制精度。上图中，暂且规定给定指令r(t)与代表被控量c(t)的丈量安装的输出b(t)之差为系统误差e(t), 即 为误差的拉氏变换式 。RCEBN那么1). r(t)作用下闭环系统的误差传送函数REB令 n(t)=0 可得上图，那么闭环系统的误差传送函数为2). n(t)作用下闭环系统的误差传送函数令 r(t)=0 可得上图，那么闭环系统的误差传送函数为-EN3). 系统总误差根据迭加定理，系统总误差为 对比上面导出的四个闭环传送函数 (s)、n(s)、e(s)、en(s)的表达式，可以看出，虽然各不一样，但其分母却完全一样，均为1+G1(s)G2(s)H(s),这是控制系统的本质特征。无论是系统内部的哪个变量，无论是哪个外作用对系统的影响，同一反响系统、同一闭合回路，其动态规律必然存在着根本的共同点，反映在闭环传送函数上，即分母一样。从梅森公式可知，同一系统的具有独一性。 7.单位负反响反响通道的传送函数H(s)=1, 那么称单位负反响，此时开环传送函数为RCEN闭环传送函数为 2-5 2-5 脉冲呼脉冲呼应与与阶跃呼呼应 典型呼应 典型外作用 典型初形状 脉冲呼应 阶跃呼应1. 1. 典型呼典型呼应 所谓呼应，就是指系统的动态过程 y(t)，是指由于输入量的作用而呵斥的对象的输出量的变化的函数，不仅决议于系统内部的构造、参数，而且和系统的初形状以及加于系统上的外作用有关。典型呼应是指在零初始条件下某种典型输入量函数作用下对象的呼应。简言之：初形状为零的系统，在典型外作用下输出量的动态过程，称典型时间呼应。 2. 2. 典型外作用典型外作用 典型外作用是众多而复杂的实践外作用的近似和笼统，它的选择不仅应使数学运算简单，而且还应便于用实验验证，常用的典型外作用有以下几种： q 单位阶跃信号 1(t) q 单 位 斜 坡 信 号 t1(t) q 正弦信号 asint q 单位脉冲信号 (t)数学描画 单位脉冲信号 (t)拉氏变换式 数学描画 拉氏变换式 单位阶跃信号 1(t) 数学描画 拉氏变换式 单位斜坡信号 t1(t) 数学描画 拉氏变换式 正弦信号 asint 3. 3. 典型初形状典型初形状 规定控制系统的初形状为零形状，即 这阐明，在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡任务点的增量为零，系统处于相对平衡形状。 推论1 4. 4. 脉冲呼脉冲呼应 脉冲呼应是在零初始条件下，系统在(t)作用下的呼应称为单位脉冲呼应。设系统的传送函数为(s),那么 当x(t)= (t)时 ，得单位脉冲呼应为 * 零初始条件下系统在恣意输入量作用下的呼应 ，对*式用卷积定理 或 y(t)为脉冲呼应与输入量的卷积 (s)为脉冲呼应(t)的拉氏变换 推论2 5. 5. 阶跃呼呼应 在零初值条件下，系统的输入量是单位阶跃函数1(t)，那么系统的呼应称为单位阶跃呼应。设系统的传送函数为(s),系统的输入量x(t)=1(t), 那么单位阶跃呼应为 阶跃呼应是脉冲呼应的积分脉冲呼应是阶跃呼应的导数 2-6 2-6 典型环节及其传送函数典型环节及其传送函数1. 1. 根本根本环节概念概念线性定常系统的传送函数可以表示为 它是真有理式nm,分子分母均为 s的实系数多项式。我们知道，一个n次的实系数多项式有n个实的或复的零点，其中复零点以共轭对出现。因此，实系数多项式必可写成一系列形如 的因子的乘积，其中， 都是实数，这些因子分别对应于实零点和共轭复零点j 。(1)根本根本环节概念概念形如式1的传送函数，不论多么复杂，总可看成是一系列形如 的根本因子的乘积，在控制实际中，把这些根本因子叫作根本单元也称根本环节、根本元件，而以为一切有理分式传送函数都是由这样的根本单元组合起来的。 2. 2. 比例比例环节其中，K为实数，称为比例系数，在许多场所，比例系数K也称为增益。 比例环节用来描画系统中两个变量成正比的关系如理想放大器，跟随器等。 微分方程 传送函数3. 3. 积分分环节微分方程 在零初值条件下，它的解为 传送函数即输出量是输入量的积分，积分单元由此得名。 阶跃呼应 4. 4. 微分微分环节微分方程 传送函数因输出量中含有输入量的导数，微分环节由此得名。 或或5. 5. 惯性性环节微分方程 传送函数在起始阶段，t 很小，et/T 1t/T，y(t)=Kx0t/T=K t，与积分环节类似，故又称实践积分环节。在最后阶段，即tT时，y (t) Kx0 ，为有一定惯性的比例环节。 或其中T0 ,称为时间常数 ，而 。阶跃呼应 6. 6. 振振荡环节微分方程 传送函数或T 0 为时间常数 ，n =1/T为无阻尼自振角频率， 为阻尼比。 0 1，有一对共轭复极点，在左半平面或虚轴上： 1时，变为两个惯性环节的串联。7. 7. 纯延延迟环节动态方程 传送函数 是正实数，称为延时。 取拉氏变换，得到可见，传送函数是s的无理函数，根据复变函数实际，它在s平面处处解析，但在s=点有一个本性奇点。换句话说，在s=点的邻域内，函数e-s可以无限多次的取恣意值，包括恣意大的值和零。有时把这种性质简单地说成 “函数e-s 在s=点有无穷多个极点和无穷多个零点。1根据指数函数的一种定义，有 即把延时单元看成假设干个时间常数相等的惯性环节的串联组合，这种近似方法精度较高，但所得结果复杂。 2把指数函数展开成Taylor级数2把指数函数展开成Taylor级数可看出，延时环节的输出量中含有输入量的各阶导数，假设输入量变化相当慢，就可以略去高阶导数项，而以为这种近似方法比较简单，但在输入量含有迅速变化的成分时如阶跃函数，它的精度很差。8. 8. 不不稳定定环节传送函数极点位于右半平面。2-7 利用计算机求取系 统传送函数 软件的构造 软件的运用面向框图自动识别系统演示软件构造框件构造框图软件构造框件构造框图