2.1.3 函数的简单性质函数的简单性质( (函数的单调性函数的单调性) )主讲人主讲人: :吴江市青云中学吴江市青云中学 水菊芳水菊芳引例引例1 1：图示是某市一天图示是某市一天24小时内的气温变化图。气温小时内的气温变化图。气温是关是关于时间于时间 t 的函数，记为的函数，记为 f (t) ，观察这个气温变化图，观察这个气温变化图，说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的？说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的？ 引例引例2 2：画出下列：画出下列函数函数的图象的图象（1）y = xxyy = xO11引例引例2 2：画出下列：画出下列函数函数的图象的图象（1）y = xxyy = xO11引例引例2 2：画出下列：画出下列函数函数的图象的图象（1）y = x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；xyy = xO11引例引例2 2：画出下列：画出下列函数函数的图象的图象（1）y = x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；x1f(x1)xyy = xO11引例引例2 2：画出下列：画出下列函数函数的图象的图象（1）y = x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；x1f(x1)xyy = xO11引例引例2 2：画出下列：画出下列函数函数的图象的图象（1）y = x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；x1f(x1)xyy = xO11引例引例2 2：画出下列：画出下列函数函数的图象的图象（1）y = x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；x1f(x1)xyy = xO11引例引例2 2：画出下列：画出下列函数函数的图象的图象（1）y = x 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 y随随x的增大而减小；的增大而减小；x1f(x1)（- -, + ）（2）y = x2引例引例2 2：画出下列：画出下列函数函数的图象的图象Oxyy = x2（2）y = x2引例引例2 2：画出下列：画出下列函数函数的图象的图象11Oxyy = x2（2）y = x2引例引例2 2：画出下列：画出下列函数函数的图象的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。Oxyy = x2（2）y = x2引例引例2 2：画出下列：画出下列函数函数的图象的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。x1f(x1)Oxyy = x2（2）y = x2引例引例2 2：画出下列：画出下列函数函数的图象的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。f(x1)x1Oxyy = x2（2）y = x2引例引例2 2：画出下列：画出下列函数函数的图象的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。f(x1)x1Oxyy = x2（2）y = x2引例引例2 2：画出下列：画出下列函数函数的图象的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。f(x1)x1Oxyy = x2（2）y = x2引例引例2 2：画出下列：画出下列函数函数的图象的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。f(x1)x1Oxyy = x2（2）y = x2引例引例2 2：画出下列：画出下列函数函数的图象的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。f(x1)x1Oxyy = x2（2）y = x2引例引例2 2：画出下列：画出下列函数函数的图象的图象11 此函数在区间此函数在区间 内内y随随x的增大而增的增大而增大，在区间大，在区间 内内y随随x的增大而减小。的增大而减小。f(x1)x1（- -, 0 0 0, + )0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征数量数量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升数量数量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大y随随x的增大而减小的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大当当x1x2时，时， f(x1) f(x2)y随随x的增大而减小的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大当当x1x2时，时， f(x1) f(x2)函数的单调性定义：函数的单调性定义：函数的单调性定义：函数的单调性定义： 设函数设函数y= f (x)的定义域为的定义域为A A，区间区间I I A A函数的单调性定义：函数的单调性定义： 设函数设函数y= f (x)的定义域为的定义域为A A，区间区间I I A A如果对于区间如果对于区间I I内的内的任意任意两个值两个值x1 1，x2 2 ，当当x1 1 x2 2时，时，都有都有f( (x1 1) ) f( (x2 2),),那么就说那么就说y= f (x) 在区间在区间I I上是增函数上是增函数, ,I I称为称为y= f (x)单调增区间。单调增区间。函数的单调性定义：函数的单调性定义： 设函数设函数y= f (x)的定义域为的定义域为A A，区间区间I I A A如果对于区间如果对于区间I I内的内的任意任意两个值两个值x1 1，x2 2 ，当当x1 1 x2 2时，时，都有都有f( (x1 1) ) f( (x2 2),),那么就说那么就说y= f (x) 在区间在区间I I上是增函数上是增函数, ,I I称为称为y= f (x)单调增区间。单调增区间。如果对于区间如果对于区间I I内的内的任意任意两个值两个值x1 1，x2 2 ，当当x1 1 f( (x2 2),),那么那么就说就说y= f (x)在区间在区间I I上是减函数上是减函数, ,I I称为称为y= f (x)单调减区间。单调减区间。探索题探索题 判断下列说法是否正确。判断下列说法是否正确。2. 定义在定义在R上的上的函数函数 f (x) 满足满足 f (-1) f (2) ，则，则函数函数 f (x) 是是R上的单调增函数；上的单调增函数；1. 函数函数y= f (x)是（是（0，2）上的单调增函数，则此）上的单调增函数，则此函数的单调增区间为（函数的单调增区间为（0，2）；）；()()例例1 求证：函数求证：函数 f (x) = 1在区间（在区间（，0）上是单调增函数。上是单调增函数。1x例例2 试判断函数试判断函数y= x2 + x 在（在（0，）上是增函）上是增函数还是减函数？并给予证明。数还是减函数？并给予证明。解：函数解：函数y= x2 + x 在（在（0，）上是增函数）上是增函数下面给予证明：下面给予证明：设设 x1 1，x2 2 为为区间区间(0,)上的任意两个值，且上的任意两个值，且x1 1 x2 2， 则则f (x1) f (x2)= (x12 + x1 ) (x22 + x2 ) =( x12 x22) + (x1 x2) = (x1 x2) (x1 + x2) + (x1 x2) = (x1 x2) (x1 + x2 +1)又又 x2 x1 0，所以，所以x1 x2 0， x1 + x2 +1 0， 所以所以f (x1) f (x2)0所以函数所以函数y= x2 + x 在（在（0，）上是增函数）上是增函数小结：在区间小结：在区间小结：在区间小结：在区间I I内内内内0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 单调增函数单调增函数 单调减函数单调减函数图图象象图象图象特征特征自左至右，图象上升自左至右，图象上升.自左至右，图象下降自左至右，图象下降.数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大当当x1x2时，时， f(x1) f(x2)判断函数单调性的方法判断函数单调性的方法：1、图象法、图象法 2、代数论证法、代数论证法证明函数的单调性常用步骤：证明函数的单调性常用步骤：(1)取值取值 (2)作差变形作差变形(3)定号定号 (4)结论结论思考题思考题: 讨论讨论函数函数y=x + (x 0)的单调性。的单调性。1x作业：课本第作业：课本第37页页 练习练习5、6谢谢，再见！谢谢，再见！