第八章第八章第八章第八章 t t 检验检验检验检验2024/7/211 学习要求学习要求 了解：了解：正态性检验和变量变换的基本概念。正态性检验和变量变换的基本概念。 熟悉：熟悉：方差齐性检验的基本概念；两样本方差齐性方差齐性检验的基本概念；两样本方差齐性检验的计算；检验的计算；t t检验的计算。检验的计算。 掌握：掌握：t t检验的步骤和检验的步骤和t t分布的关系；样本均数和总分布的关系；样本均数和总体均数比较、配对设计均数的比较、两样本均数的比体均数比较、配对设计均数的比较、两样本均数的比较较t t检验的方法与步骤。检验的方法与步骤。 2024/7/212 t检验（检验（t test）亦称）亦称Students t test，是以，是以t分布理论为基础，分布理论为基础，定量资料分析常用的假设检验方法。小样本的样本均数与总体定量资料分析常用的假设检验方法。小样本的样本均数与总体均数的比较以及两个样本均数的比较要用均数的比较以及两个样本均数的比较要用t检验。检验。t 检验的适用检验的适用条件：条件：样本来自正态总体或近似正态总体；样本来自正态总体或近似正态总体；两样本总体方两样本总体方差相等。差相等。第一节第一节 样本均数与总体均数的比较样本均数与总体均数的比较 亦称为单样本亦称为单样本t检验（检验（one sample t-test）。）。即样本均数代即样本均数代表的未知总体均数表的未知总体均数与已知的总体均数与已知的总体均数0（一般为理论值、标准（一般为理论值、标准值或经过大量观察所得的稳定值等）进行比较。值或经过大量观察所得的稳定值等）进行比较。2024/7/213 例例8.1 已已知知某某地地新新生生儿儿出出生生体体重重均均数数为为3.36kg。从从该该地地农农村村随随机机抽抽取取40名名新新生生儿儿，测测得得其其平平均均体体重重为为3.27kg，标标准准差差为为0.44kg，问问该该地地农农村村新新生生儿儿出出生生体体重重是是否否与与该该地地新新生生儿儿平均体重不同？平均体重不同？ （1）建立检验假设，确定检验水准）建立检验假设，确定检验水准 H0:=0=3.36 H0:0 =0.05=n-12024/7/214（2）计计算算t值值 本本例例n = 40 , s = 0.44 , =3.27 , =3.36 , 代代入公式得入公式得 （3）确确定定P值值, 作作出出推推断断结结论论 本本例例=401=39，查查t界界值值表表，得得t0.40/2,39=0.851，t0.20/2,39=1.305，现现t0.40/2,39tt0.20/2, 39 , 故故0.40P0.20。按按=0.05的的水水准准，不不拒拒绝绝H0，差差异异无无统统计计学学意意义义，尚不能认为该地农村新生儿体重与该地新生儿平均体重不同。尚不能认为该地农村新生儿体重与该地新生儿平均体重不同。2024/7/215如果在总体标准差如果在总体标准差0已知的情况下，样本均数与总体均数已知的情况下，样本均数与总体均数比较可用比较可用z检验，因为检验，因为z值符合标准正态分布，其计算公式为：值符合标准正态分布，其计算公式为： 若若zz或或z；若若z或或zz/2 ，则，则P。 z或或z/2值查值查t界值表，界值表，=栏即可。栏即可。2024/7/216 第二节第二节 配对设计均数的比较配对设计均数的比较 在在医医学学研研究究中中，为为了了减减少少误误差差，提提高高统统计计检检验验效效率率，我我们常常采用配对实验设计（详见第三章）的方法。们常常采用配对实验设计（详见第三章）的方法。配对设计配对设计同源配对设计同源配对设计同质配对设计同质配对设计自身对照：治疗前后的比较。自身对照：治疗前后的比较。 同一样品两种测试方法的比较。同一样品两种测试方法的比较。动物同窝别、同性别。动物同窝别、同性别。病人：同性别、同病情、同年龄病人：同性别、同病情、同年龄动物：同种属、同性别、同体重动物：同种属、同性别、同体重2024/7/217 配配对对资资料料的的t检检验验(paired samples t-test)先先求求出出各各对对子子的的差差值值d的的均均值值 , 若若两两种种处处理理的的效效应应无无差差别别，理理论论上上差差值值d的的总总体体均均数数 应应为为0。所所以以这这类类资资料料的的比比较较可可看看作作是是样样本本均均数数 与与总总体体均均数数0的的比比较较。要要求求差差值值的的总总体体分分布布为为正正态态分分布布。t检检验验的公式为：的公式为：公式中，公式中， 为差数的均数，为差数的均数，Sd 为差数的标准差，为差数的标准差， 为差为差数均数的标准误。数均数的标准误。 =n-12024/7/218 例例8.2 对对24名名接接种种卡卡介介苗苗。胺胺同同年年龄龄、同同性性别别配配成成12对对，每每对对重重的的2名名儿儿童童分分别别接接种种两两种种结结核核菌菌素素，一一种种为为标标准准品品，另另一一种种为为新新制制品品。72小小时时后后记记录录两两种种结结核核菌菌素素的的皮皮肤肤反反应应平平均均直直径径，数数据据见见表表8.1。问问儿儿童童对对两两种种不不同同结结核核菌菌素素的的皮皮肤肤反反应应直径有无不同？直径有无不同？（1）建立检验假设）建立检验假设 ，确定检验水准，确定检验水准 H0： ，儿童的皮肤反应直径无差别儿童的皮肤反应直径无差别 H1： ，儿童的皮肤反应直径有差别儿童的皮肤反应直径有差别2024/7/219（2）计算）计算t值值 本例本例n = 12, d = 39，d2 = 195， =d /n = 39/12=3.25(mm )（3）确确定定P值值，作作出出推推断断结结论论 =n-1=12-1=11，t界界值值表表，得得t0.001/2，11=4.437, 现现tt0.001/2, 11 , 故故P0.001。按按水水准准，拒拒绝绝H0, 接接受受H1，差差异异有有统统计计学学意意义义。可可以以认认为为两两种种不不同同结结核核菌菌素素对对儿儿童的皮肤反应直径有差别，新制品反应小于标准品童的皮肤反应直径有差别，新制品反应小于标准品。2024/7/2110第三节第三节 两样本均数比较两样本均数比较 两本均数比较的两本均数比较的t检验亦称为成组检验亦称为成组t检验，又称为独立样本检验，又称为独立样本t检验（检验（independent samples t-test）。）。适用于比较按完全随机适用于比较按完全随机设计而得到的两组资料，比较的目的是推断两样本均数各自所设计而得到的两组资料，比较的目的是推断两样本均数各自所代表的总体均数代表的总体均数1和和2是否相等。两样本含量可以相等也可以是否相等。两样本含量可以相等也可以不相等，但在总例数不变的条件下，当两样本含量相等时，统不相等，但在总例数不变的条件下，当两样本含量相等时，统计检验的效率最高。本检验要求：计检验的效率最高。本检验要求：两总体分布为正态分布，且两总体分布为正态分布，且方差齐同方差齐同 .2024/7/2111 一、两样本均数比较的一、两样本均数比较的t检验检验 式中，式中， 称为两均数之差的标准误的估计值，称为两均数之差的标准误的估计值，其计算公式为其计算公式为式中，式中，S2称为两均数合并的方差，计算公式为：称为两均数合并的方差，计算公式为：=n1+n2-12024/7/2112上式如果上式如果n1=n2，则，则2024/7/2113 例例8.3 某某医医生生研研究究血血清清白白介介素素-6（IL-6）与与银银屑屑病病的的关关系系，见见表表8.2结结果果。问问银银屑屑病病患患者者与与正正常常人人的的血血清清IL-6平平均均水水平平是是否否不同？不同？ 表表8.2 银屑病组与正常对照组的血清银屑病组与正常对照组的血清IL-6（pg/mL)组别组别例数例数均数均数标准差标准差银屑病组银屑病组正常人组正常人组1212182.4149.727.719.52024/7/2114（1）建立检验假设）建立检验假设 ,确定检验水准确定检验水准 H0： ，银屑病患者与正常人的血清银屑病患者与正常人的血清IL-6均数相同均数相同 H1： ，银屑病患者与正常人的血清银屑病患者与正常人的血清IL-6均数不同均数不同（2）计算）计算t值值 本例本例n1=n2, 即可按下式计算即可按下式计算t值。值。2024/7/2115 （3）确定确定P值值 作出推断结论作出推断结论 =12+12-2=22，查，查t界值界值表，得表，得t0.005/2,22=3.119, t0.001/2,22=3.505,现现t0.005/2,22tP0.002。按按水准，拒绝水准，拒绝H0，接受接受H1，差异有统计学，差异有统计学意义。可以认为意义。可以认为银屑病患者与正常人的血清银屑病患者与正常人的血清IL-6平均水平不同，平均水平不同，银屑病患者血清银屑病患者血清IL-6平均水平较高平均水平较高。 当两样本含量当两样本含量n1和和n2均大于均大于50时，时，t分布非常接近分布非常接近z分布，近分布，近似可按下式计算在似可按下式计算在z值：值： z或或z/2值查值查t界值表界值表，=栏即可。栏即可。2024/7/2116二、二、两样本几何均数两样本几何均数t检验检验 比较两样本几何均数的目的是推断它们各自代表的总体比较两样本几何均数的目的是推断它们各自代表的总体几何均数有无差异。适用于：几何均数有无差异。适用于：观察值呈等比关系，如血清观察值呈等比关系，如血清滴度；滴度；观察值呈对数正态分布，如人体血铅含量等。两样观察值呈对数正态分布，如人体血铅含量等。两样本几何均数比较的本几何均数比较的t检验公式与两样本均数比较的检验公式与两样本均数比较的t检验公式检验公式相同。只需将观察相同。只需将观察X用用lgX来代替就行了。来代替就行了。 例例 将将2020名名钩钩端端螺螺旋旋体体病病人人的的血血清清随随机机分分为为两两组组，分分别别用用标标准准株株和和水水生生株株作作凝凝溶溶试试验验，抗抗体体滴滴度度的的倒倒数数（即即稀稀释释度度）结果如下。问两组抗体的平均效价有无差别？结果如下。问两组抗体的平均效价有无差别？ 2024/7/2117标标准准株株(11人人)：100 200 400 400 400 400 800 1600 1600 1600 3200水生株水生株(9人人)： 100 100 100 200 200 200 200 400 1600（1）建立检验假设，确定检验水准）建立检验假设，确定检验水准 H0： ,即两组对数值的总体均数相等。即两组对数值的总体均数相等。 H1： ,即两组对数值的总体均数不等。即两组对数值的总体均数不等。 =0.05。 2024/7/2118（2）计算）计算t值值 将两组数据分别取对数，记为将两组数据分别取对数，记为x1, x2 。 x1: 2.000 2.301 2.602 2.602 2.602 2.602 2.903 3.204 3.204 3.204 3.505 x2：2.000 2.000 2.000 2.301 2.301 2.301 2.301 2.602 3.204用变换后的数据计算用变换后的数据计算 , s1, , s2得：得： =2.7935， s1=0.4520， =2.3344， s2=0.3821，n1=11, n2=92024/7/2119 （3）确定确定P值值 作出推断结论作出推断结论 =11+9-2=18，查查t界值表，得界值表，得t0.05/2,18=2.011，t0.02/2,18=2.552，现现t0.05/2,18tP0.02。按按=0.05水准，拒绝水准，拒绝H0，接受接受H1，差异有统计差异有统计学意义。可认为两组抗体的平均效价不同，标准株高于水生学意义。可认为两组抗体的平均效价不同，标准株高于水生株。株。2024/7/2120第四节第四节 正态性检验和两总体方差的齐性检验正态性检验和两总体方差的齐性检验 一、正态性检验一、正态性检验 正态性检验只介绍以下基本概念。定量资料的假设检验方正态性检验只介绍以下基本概念。定量资料的假设检验方法，如法，如t 检验、检验、F检验检验等大都要求资料服从于正态分布，通过等大都要求资料服从于正态分布，通过频数分布表可近似的看出资料的分布形态，但要确定资料是否频数分布表可近似的看出资料的分布形态，但要确定资料是否为正态分布要通过假设检验的方法。为正态分布要通过假设检验的方法。 （一）图示法（一）图示法：常用的图示法包括常用的图示法包括P-P图法和图法和Q-Q图法。图图法。图中数据呈直线关系可认为呈正态分布，不呈直线关系可认为呈中数据呈直线关系可认为呈正态分布，不呈直线关系可认为呈偏态分布。主要通过偏态分布。主要通过SAS或或SPSS统计软件实现的。统计软件实现的。2024/7/21212024/7/2122 (二二) 统计检验法统计检验法 1.W检验和检验和D检验：检验：两种方法的检验假设为：两种方法的检验假设为： H0：样本来自正态分布，：样本来自正态分布，H1：样本不来自正态分布。：样本不来自正态分布。 由于两种方法的计算公式繁琐，一般用由于两种方法的计算公式繁琐，一般用SAS或或SPSS统计软统计软件处理，当件处理，当P0.05，则不拒绝，则不拒绝H0； P0.05，则拒绝，则拒绝H0。 注意：注意：SAS规定，当样本含量规定，当样本含量n 2000时，以时，以W检验结果为检验结果为准；当样本含量准；当样本含量n 2000时，以时，以D检验结果为准。检验结果为准。2024/7/2123 如例4.2 120名9岁男孩的肺活量资料，通过SAS进行正态性检验，其结果如下：2024/7/2124 2.2.矩法检验矩法检验 分别对总体分布的偏度和峰度进行检验。分别对总体分布的偏度和峰度进行检验。 (1)偏度检验：偏度检验：主要计算主要计算偏度系数（偏度系数（coefficient of skewness ,SKEW），一般用），一般用g1来表示。检验假设为：来表示。检验假设为： H0：G1=0，总体分布对称，总体分布对称 H1：G10，总体分布不对称。，总体分布不对称。2024/7/2125 (2) 峰度检验峰度检验 主要计算峰度系数（主要计算峰度系数（coefficient of kurtosis ,KURT），一般用），一般用g2来表示。检验假设为：来表示。检验假设为： H0：G2=0，总体分布为正态峰，总体分布为正态峰 H1：G20，总体分布不是正态峰，总体分布不是正态峰 G2=0，为标准正态峰；，为标准正态峰；G20，为尖峭峰；，为尖峭峰；G20.05时，不拒绝时，不拒绝H0； P0.05时，拒绝时，拒绝H0。一般认为两种检验方法均为。一般认为两种检验方法均为P0.05时，才时，才能认为总体分布为正态分布。能认为总体分布为正态分布。2024/7/2127 二、两样本方差的齐性检验二、两样本方差的齐性检验 两样本均数比较的两样本均数比较的t检验，要求相应的两总体方差相等，即检验，要求相应的两总体方差相等，即方差齐性方差齐性(homogeneity of variance)。两样本方差两样本方差 和和 分别分别是两总体方差是两总体方差 和和 的无偏估计。即使的无偏估计。即使 ，但由于，但由于抽样误差的关系，两样本方差也很少相等，但相差不会很大，抽样误差的关系，两样本方差也很少相等，但相差不会很大，当两样本方差相差较大时，需作方差齐性检验，以推断两总体当两样本方差相差较大时，需作方差齐性检验，以推断两总体方差是否相等。常用方差是否相等。常用F 检验，其计算公式为：检验，其计算公式为：2024/7/2128, 式式中中 为为较较大大的的样样本本方方差差， 为为较较小小的的样样本本方方差差，分分子子的的自自由由度度为为 ，分分母母的的自自由由度度为为 ，相相应应的的样样本本例例数数分分别别为为n1和和n2 。F值值是是两两个个样样本本方方差差之之比比，如如仅仅是是抽抽样样误误差差的的影影响响，它它一一般般不不会会离离1太太远远，反反之之，F 值值较较大大，两两总总体体方方差差相相同同的的可可能能性性较较小小。F分分布布就就是是反反映映此此概概率率的的分分布布。求求得得F值值后后，查查附附表表4，F界界值值表表得得P值值，F，不不拒拒绝绝H0，可可认认为为两两总总体体方方差差相相等等； FF/2(1，2），则则P，拒拒绝绝H0，可可认认为为两两总总体方差不等。体方差不等。2024/7/2129 方方差差齐齐性性检检验验应应为为双双侧侧检检验验，但但规规定定的的是是较较大大的的方方差差除除以以较较小小的的方方差差，其其F值值必必然然大大于于1，另另外外F界界值值表表只只规规定定单单侧侧为为0.05和和0.01的的界界值值，F0.05(1，2）= F0.10/2(1，2） ，所所以以方方差差齐齐性性检验一般定检验水准检验一般定检验水准=0.10。 注注意意：当当样样本本含含量量较较大大时时（如如n1和和n2均均大大于于50），可可不不必必作方差齐性检验。作方差齐性检验。 例例8.68.6 由由X X线线胸胸片片上上测测得得两两组组患患者者的的肺肺门门横横径径右右侧侧距距R R1 1值值 (cm)(cm)，计算的结果如下，比较其方差是否齐性？，计算的结果如下，比较其方差是否齐性？ 肺癌患者肺癌患者：n1=10, =6.21(cm), S1=1.79 (cm) 矽肺患者：矽肺患者：n2=50, =4.34(cm), S2=0.56 (cm)2024/7/2130（1）建立检验假设建立检验假设 ,确定检验水准确定检验水准 H0： ，即两总体方差相等。即两总体方差相等。 H1： ，即两总体方差不等。即两总体方差不等。 =0.10（2）计算）计算F值值（3）确定）确定P值值 作出推断结论作出推断结论 本例本例1=10-1=9，2=50-1=49，查附表查附表4，F界值表，界值表， F0.10/2(9,49=2.80，得，得P0.05, 按按=0.10，拒绝拒绝H0, 接受接受H1，故可认为两总体方差不齐。故可认为两总体方差不齐。 2024/7/2131第五节第五节 t 检验和变量变换检验和变量变换 方方差差不不齐齐时时，两两小小样样本本均均数数的的比比较较，可可选选用用以以下下方方法法： 采采用用近近似似法法t 检检验验; 采采用用适适当当的的变变量量变变换换，使使达达到到方方差差齐的要求齐的要求; 采用秩和检验。采用秩和检验。 一、一、t检验检验 t检检验验又又称称为为近近似似t检检验验，常常用用的的方方法法是是Cochran & Cox法法和和Satterthwaite法。法。 Cochran & Cox法法近近似似t检检验验 该该法法是是对对临临界界值值的的校正。校正。2024/7/2132例例8.5 由由X线胸片上测得两组患者的肺门横径右侧距线胸片上测得两组患者的肺门横径右侧距R1值值 (cm)，计算的结果如下，已知总体方差不齐，用，计算的结果如下，已知总体方差不齐，用t检验进行两检验进行两样本均数的比较样本均数的比较 肺癌患者：肺癌患者：n1=10, =6.21(cm), S1=1.79 (cm) 矽肺患者：矽肺患者：n2=50, =4.34(cm), S2=0.56 (cm)2024/7/2133 (1)建立检验假设，确定检验水准建立检验假设，确定检验水准 H0:1=2，两组病人，两组病人R1值的总体均数相等值的总体均数相等 H1:12，两组病人，两组病人R1值的总体均数不等值的总体均数不等 =0.05 (2) 计算计算t值和值和 界值界值 1=10-1=9 , 2=50-1=49 ,查附表查附表3，t界值表，得界值表，得t0.05/2,9=2.262, 双侧双侧t0.05/2,49=2.009，代入公式计算，代入公式计算 值。值。 2024/7/2134（3）确定确定P值值 作出推断结论作出推断结论 本例本例 t , 则则P0.05, 按按=0.05水准，拒绝水准，拒绝H0,差异有统计学意义，可以认为两种病人的差异有统计学意义，可以认为两种病人的R1值不同。值不同。 当当1=2=时，时， 可直接根据由附表可直接根据由附表3，t界值表查界值表查出，而不需要计算。出，而不需要计算。2024/7/2135 Satterthwaite法近似法近似t检验检验 该法是对自由度该法是对自由度校正。校正。 上例资料的计算为2024/7/2136以以=9查查 t界值表，界值表，t0.01/2,9 t t0.005/2,9，故，故0.005P0.01，按按=0.05水准，拒绝水准，拒绝H0, 差异有统计学意义，可以认为两种病人差异有统计学意义，可以认为两种病人的的R1值不同。两种方法统计学结论相同。值不同。两种方法统计学结论相同。 的计算公式亦可看出：的计算公式亦可看出：当当n1=n2时，时，=1=2，而不需要计，而不需要计算。算。2024/7/2137 二、变量变换二、变量变换 但资料不服从正态分布或总体方差不齐时，不能直接进行但资料不服从正态分布或总体方差不齐时，不能直接进行t检验、检验、F检验等，解决的方法之一就是将原始数据进行数学检验等，解决的方法之一就是将原始数据进行数学函数的变换，使变换后的数据符合正态分布和方差齐性的要函数的变换，使变换后的数据符合正态分布和方差齐性的要求，在进行求，在进行t检验、检验、F检验。常用的变量变换的方法有以下几检验。常用的变量变换的方法有以下几种：种： 1.对数变换对数变换(logarithmic transformation) 将原始数据将原始数据X取取自然对数或常用对数，将对数值作为新的分析数据。自然对数或常用对数，将对数值作为新的分析数据。2024/7/2138 Y=lnX 或或 Y=lgX 如果数据包含如果数据包含0或太小的数值，可取或太小的数值，可取 Y=ln(X+k) 或或 Y=lg(X+k) 对数变换适用于：对数变换适用于：对数正态分布资料，如抗体滴度资料，对数正态分布资料，如抗体滴度资料，疾病潜伏期等；疾病潜伏期等；几组资料的标准差与均数的比值都比较接几组资料的标准差与均数的比值都比较接近，用来消除方差不齐。近，用来消除方差不齐。 例如一组抗体滴度资料：例如一组抗体滴度资料： 100 200 400 400 400 400 800 1600 1600 1600 3200 用用SAS统计分析作正态性检验统计分析作正态性检验2024/7/2139经对数转换后：经对数转换后：2024/7/2140 又如两组数据：又如两组数据： 一组：一组：0.24 0.54 0.50 0.34 0.40 0.76 0.30 0.20 =0.410 , S1=0.1841 , 二组：二组：1.99 0.99 1.22 1.17 1.96 0.71 1.25 1.23 =1.315，S2=0.4447 SAS统计软件分析两组是否方差齐性统计软件分析两组是否方差齐性2024/7/2141对原始数据作对原始数据作lg(X+1)变换后：变换后：S1=0.055,S2=0.081, 2.平方根变换（平方根变换（square root transformation） 将原始数据将原始数据X的平方根作为新的分析数据。的平方根作为新的分析数据。 2024/7/2142 当原始数据中有太小值或零值时，可用下式：当原始数据中有太小值或零值时，可用下式： 或或 平方根变换适用于：平方根变换适用于：使服从使服从Poisson分布的分类资料或分布的分类资料或轻度偏态的的资料正态化；轻度偏态的的资料正态化；当各样本的方差与均数呈正相当各样本的方差与均数呈正相关时，可是资料达到方差齐性的要求。关时，可是资料达到方差齐性的要求。 例例 小白鼠按不同处理分为三组，在注射某同位素小白鼠按不同处理分为三组，在注射某同位素24小小时后，测定脾脏蛋白质中的放射性次数见下表。问：该资料时后，测定脾脏蛋白质中的放射性次数见下表。问：该资料是否方差齐性？若不能试作适当变换。是否方差齐性？若不能试作适当变换。2024/7/2143表表 三组小白鼠脾脏蛋白质中放射性（次三组小白鼠脾脏蛋白质中放射性（次/ /分分. .克）克）X对照组对照组芥子气芥子气中毒组中毒组电离辐电离辐射组射组对照组对照组芥子气芥子气中毒组中毒组电离辐电离辐射组射组 3.8 9.0 2.5 8.2 7.111.011.5 9.011.0 7.95.64.03.08.03.84.06.44.24.07.01.53.85.52.03.05.13.34.02.12.71.94943.00001.58112.86362.66463.31663.39123.00003.31662.81072.36642.00001.73202.86361.94942.00002.52982.04942.00002.64581.22471.94942.34521.41421.73202.25831.81662.00001.44911.64328.18.98891.10975.02.71110.52663.31.73780.52662.78940.35490.12722.21010.12820.05801.78330.13320.07472024/7/2144 数据变换前，存在均数大方差也大，均数小方差宜小；数数据变换前，存在均数大方差也大，均数小方差宜小；数据转换后，此现象基本消除。据转换后，此现象基本消除。 数据变换前，数据变换前，SAS统计分析方差齐性检验结果：统计分析方差齐性检验结果： 数据变换后，数据变换后，SAS统计分析方差齐性检验结果：统计分析方差齐性检验结果：2024/7/2145 3. 倒数变换（倒数变换（reciprocal transformation) Y=1/X 常用于数据两端波动较大的资料，减少极端值的影响。常用于数据两端波动较大的资料，减少极端值的影响。 4.平方根反正旋变换（平方根反正旋变换（arcsine square root transformation) 将百分率将百分率p取平方根后，再计算反正旋的值。取平方根后，再计算反正旋的值。 2024/7/2146 平方根反正旋变换主要适用于率和百分比的资料。百分率平方根反正旋变换主要适用于率和百分比的资料。百分率服从二项分布，特别是当百分率偏离服从二项分布，特别是当百分率偏离50%较远，如大于较远，如大于70%或或小于小于30%时，二项分布偏离正态分布较远。时，二项分布偏离正态分布较远。 当当p=0时可用下式：时可用下式：当当p=100%时可用下式：时可用下式：2024/7/2147思考题思考题1. t检验的应用条件是什么？检验的应用条件是什么？2. t检验是减少了检验是减少了型错误还是型错误还是错误？错误？3. 变量变换的目的是什么？变量变换的目的是什么？4.四种变量变换方法各适合于什么类型资料？四种变量变换方法各适合于什么类型资料？2024/7/21482024/7/2149