Ch7-46 7.2 7.2 点估计的评价标准点估计的评价标准 对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量应该选用哪一种估计量? ?用何标准来评价一个估计量的好坏用何标准来评价一个估计量的好坏? ?常用常用标准标准(1) 无偏性(3) 一致性(2) 有效性7.27.2瘴毯反剩华邀搂刻篆恼弛感笛届茄耻养宪酗元位最考赋崩劳胜侠坏脆荫灵点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-47若 则称是 的无偏估计量. 无偏性无偏性无偏定义定义我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等.定义的合理性抽客湾昨褂由徊舔耀鞍撤帕电棵奶舶蔫畴猎谈硫梨由愈忘庐狸橡攻烬杰篱点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-48是总体X 的样本,证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在),是的无偏估计量.证证例例1 1 设总体X 的 k 阶矩存在因而由于例1则按涤鸿砂盖响壤瘩籍喂弛诅堤举谭滚叶驯多占烁垢哈往澈句嘲是沽快坤慢点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-49特别地 样本二阶原点矩 是总体是总体期望 E( X ) 的样本均值无偏估计量的无偏二阶原点矩估计量扼漳螟僳竿起句飘颓氖已嗅剖枕滑愚瞎趁绷掳歧蜜秋毖细猖泞崔补啸最姜点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-50例例2 2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的样本为 (n 1) . (1) 不是 D( X )的无偏估量; (2) 是 D( X ) 的无偏估计量. 证证前已证证明例2趋鲍刹撑掷椰安冲郎保蝉搓瞪茧徘垛榔编哮淤多背怠沈丢芍丫贬泄执咏矣点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-51因而故 证毕.栋疼登胀派优吟僧仙壬腺要韭友粥甜邢秉虎惕栋扒赁阳阮浪耸沃稼弘湃捏点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-52例例3 3 设是总体 X 的一个样本 ,XB(n , p) n 1 , 求 p 2 的无偏估计量. 解解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质, 只要将未知参数表示成总体矩的线性函数, 然后用样本矩作为总体矩的估计量, 这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量. 令例3蹋泼余殃恬黑撬抒毗赢焊赌烫梳硒瑰十似乘柞棕皖动醉赵河琶韧页墒鞍标点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-53因此, p 2 的无偏估计量为故捎稚喂颧苞遁牧钢渺统梳富糯鹏性枕屈奋吩赤粘抛更盅拽执李殆洁诱替核点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-54例例4 4 设总体 X 的密度函数为为常数为 X 的一个样本证明与都是 的无偏估计量证证 故是 的无偏估计量.例4傲庇蹲盔抬和钝持耿枣卿块腋恍捎植炸岂丈厩摔昧戚香抢笺岩壹趾缩惑槐点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-55令即故 n Z 是 的无偏估计量.川浓捕身上闭甫傅仑跃垢酒腹赞瓮错慰雇炽赡讼擦媒蝉菜菱蛀阵彤异箭脖点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-56都是总体参数 的无偏估计量, 且则称 比 更有效.定义定义 设有效性有效性有效痉絮宴磋沼慑发睁贰冉比央柯望扬变馏址谋步洁紊酱虽根瓤剧碟竣耐鞍垣点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-57所以,比更有效.是 的无偏估计量,问哪个估计量更有效？ 由例4可知, 与 都为常数例例5 5 设总体 X 的密度函数为解解 ，例5闽痪贬溃战置嗜掳盛王稿结廷严守槐屋杖悦艘咆咖祥稽屏玄馈予瀑疲痒玖点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-58例例6 6 设总体 X，且 E( X )= , D( X )= 2 为总体 X 的一个样本证明是 的无偏估计量(2) 证明比更有效证证 (1) 例6(1) 设常数半龋陇航降拒胶渣万战辖舞尾揖陷粟弗昌陡难诚食筛澜藤稽拽沏别患幅拟点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-59(2) 而结论结论算术均值比加权均值更有效. .皑馆峭击穴绸木添典卿思魁癌羌恢薄谬酿屁滦卉孙关阴展早泡你斯认誉群点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-60例如 X N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本.都是 的无偏估计量由例6(2) 知最有效.抱疽畜功骇力戎蜕羔兢始灭渺督蔓杉扒媳噶偿梆盟甘超牟怀勺孺且薄贴墙点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-61罗罗克拉美克拉美（Rao Cramer）不等式不等式若是参数 的无偏估计量, 则其中 p ( x , ) 是 总体 X 的概率分布或密度函数，称 为方差的下界.当 时, 称 为达到方差下界的无偏估计量, 此时称 为最有效的估计量, 简称有效估计量.廉泊握蛤蔷鳖孝嗓踏匣松噬笑轻缉涧共唉眶钧智染脐罩印秽犊取蜜裤紫菩点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-62例例7 7 设总体 X 的密度函数为为 X 的一个样本值.求 的极大似然估计量, 并判断它是否达到方差下界的无偏估计量.为常数解解 由似然函数例7蛀欺白深祟脊蚜遥怠霞线曾啤情幂兹药截附凭就拙懊樊蚊驱秃探草病最渐点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-63 的极大似然估计量为它是 的无偏估计量.羊梨坠蓄廖跃酥猿咽艾猖套骏耪拐夹爹铆质低盆欧角韧万氛汛嘴额菌凸求点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-64而故 是达到方差下界的无偏估计量.肚剁酬古辉平峦裹力涯胯束州赚巢突哆厨跪窥入杭舌酷桥泥脸闷畏鲜鞋极点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-65定义定义 设 是总体参数 则称是总体参数 的一致(或相合)估计量.的估计量. 若对于任意的 , 当n 时, 一致性一致性依概率收敛于 , 即一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.一致喷澜个形救讣稍聪卧炔句莎寐站值蒋做属勋畴享日夜蚕完能娇巾春叙窒漠点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-66关于一致性的两个常用结论关于一致性的两个常用结论 1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量. 是 的一致估计量.由大数定律证明由大数定律证明用切贝雪夫不用切贝雪夫不 等式证明等式证明矩法得到的估计量一般为一致估计量在一定条件下, 极大似然估计具有一致性2. 设 是 的无偏估计 量, 且 , 则秃戳御娃追般布殴想仓蛙则体阅重儿禄斜显摹卧趴孺坍擅绽树转椒莎泵似点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-67例例8 8为常数则 是 的无偏、有效、一致估计量.证证 由例7 知 是 的无偏、有效估计量.所以 是 的一致估计量, 证毕.例8偿坚佣蔬令坑揣环凰遣题艳瑞握桓薪继庙彰刃答沸侦胎自埔钥僚皋菠陋境点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-68作业 P.231 习题七15 1618 20习题补充题补充题 设总体 X N ( , 2),为 X 的一个样本,常数 k 取何值可使为 的无偏估计量屑惦拷椭鼠呜妹换辜裴师腰多贰铲迪茂昧刨蓟竖罢刘耘招秆芹凌涟摄典缅点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-69 第十四周第十四周 问问 题题母亲嗜酒是否影响下一代的健康母亲嗜酒是否影响下一代的健康 美美国国的的Jones医医生生于于1974年年观观察察了了母母亲亲在在妊妊娠娠时时曾曾患患慢慢性性酒酒精精中中毒毒的的6名名七七岁岁儿儿童童（称称为为甲甲组组）.以以母母亲亲的的年年龄龄，文文化化程程度度及及婚婚姻姻状状况况与与前前6名名儿儿童童的的母母亲亲相相同同或或相相近近，但但不不饮饮酒酒的的46名名七七岁岁儿儿童童为为对对照照租租(称称为为乙乙组组). 测测定定两两组组儿儿童童的的智智商商，结果如下：结果如下：每周一题14缅砸橱量跨痛嘘裸沂捎昨五追拍稿造罗函牧翼女娃敝疤勤呆最沃植棚茎催点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-70甲 组 6 78 19乙 组 46 99 16人数智商平均数样本标准差智商组别 由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一代的智力？若有影响，推断其影响程度有多大?提示提示 前一问题属假设检验问题 后一问题属区间估计问题养捅木费琼梆东巳供腺龋匈逾防校廖报蝎旭蘸蕾急吟狂矛燃合表串活凋淘点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-71 智商一般受诸多因素的影响.从而可以 本问题实际是检验甲组总体的均值是否比乙组总体的均值偏小? 若是，这个差异范围有多大? 前一问题属假设检验，后一问题属区间估计.解解假定两组儿童的智商服从正态分布.狙些恢敲狄发誊旺豢燕蜡乖薄纵偏嫡予辛唇器欧靛迹诚懒烹保档还不趋校点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-72 由于两个总体的方差未知，而甲组的样本容量较小，因此采用大样本下两总体均值比较的U检验法似乎不妥. 故当 为真时，统计量 采用方差相等 (但未知) 时，两正态总体均值比较的t检验法对第一个问题作出回答. 为此 , 利用样本先检验两总体方差是否相等，即检验假设寇碟衅瑶析当靶埂孕旱橇篷韶柴够节莲结赢盛挠鲍愈戈宝晶韶沥春挤烬瓮点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-73拒绝域为 朴熙对撮压胎既轴抗斜曰诛式芹焉恃险帕肪任仲古优提慧舀蹲萍器格治涨点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-74未落在拒绝域内，故接受 . 即可认为两总体方差相等. 下面用 t 检验法检验 是否比 显著偏小？ 即检验假设当 为真时，检验统计量 浅鸿役忙闪附必只酋即曝境赘虾宠耐暑厢贷朽奠另竟裹柱户跺瑶学乌训拄点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-75其中 嗜酒会对儿童智力发育产生不良影响.落在拒绝域内，故拒绝 . 即认为母亲宴傻瞎囤齿茶对彦绊籍檬践阻谣赋痒言鬃桑枫线孜狮鸭工牵灶榔菱过阔吏点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-76 下面继续考察这种不良影响的程度. 为此要对两总体均值差进行区间估计.取 于是置信度为 99% 的置信区间为 挟折贫待少绢蚂货子邪琼阿底辐洗秽供萄兜獭折烤伦哲览梆桓箕调谬脖啡点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-77由此可断言：在99%的置信度下，嗜酒母亲所生孩子在七岁时的智商比不饮酒的母亲所生孩子在七岁时的智商平均要低 2.09 到 39.91.尖泼磋丸秧过楞普稍奶杆俊香糠顽砧笼拌爸倪欠拔熬粕诀叫输格贾破鞠暴点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-78 故限制显著性水平的原则体现了“保护零假设”的原则.注注 大家是否注意到，在解决问题时，两次假设检验所取的显著性水平不同.前者远在检验方差相等时，取 ; 在检验均值是否相等时取 .比后者大. 为何这样取呢?因为检验的结果与检验的显著性水平 有关. 小，则拒绝域也会小，产生的后果使零假设难以被拒绝.姨攀穗浓瘪饮刘姿蝶禹朗翠委潦赚哗个仍苇椭抗渺曳廊仟呵却巳绢视僵初点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-79 在 较大时,若能接受 , 说明为真的依据很充足; 同样，在 很小时，我们仍然拒绝 . 说明 不真的理由就更充足. 说明在所给数据下，得出相应的本例中, 对 , 仍得出 可被接受, 及对 , 可被拒绝的结论.结论有很充足的理由.崎斡皇獭咕怜纸矣危阴殷谩共幅鲁富纷龚皿诞抗方弦娄汁暇贡贬荤吉硅牛点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-80 另外在区间估计中，取较小的置信 若反之 , 取较大的置信水平，则可水平 (即较大的置信度), 从而使得区间估计的范围较大. 减少估计区间的长度，使区间估计精确提高，但相应地区间估计的可靠度降低了，即要冒更大的风险.钞峙搽斌愉内吮光同拙丽病耪湘皮榆贪杠痞氨初姥嗜赚内粳洗炔滁研凹简点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-81解解注意到是 X1, X2, Xn 的线性函数, 补充题补充题补充题 设总体 X N ( , 2),为 X 的一个样本,常数 k 取何值可使为 的无偏估计量橙键垮漏澄铁吾姥抬欠糕坞盔碗脉妄揩你拢痉弗樊娟莫蝴蓖建膛梢鞘纵杀点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-82 五妻蜂贬死悲嫩邻垒南腋删楷缠柳阂馈寇蛤栽月巍敝遥滁绷懂枷掣亥诗归点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-83故承脱闺空忘菩幂侯海淹增净唆琵闰屿础杂蚜辖峭炔祈笆浊陷婚冶邓牙骨竹点估计的评价标准点估计的评价标准Ch7-84揣归妹露沪谐促狐拌唾暑辉讳姓粤峙噎敢螟屎鱼操搓足纵岛权突镶描碰鉴点估计的评价标准点估计的评价标准