第28讲圆的有关性质 第29讲直线和圆的位置关系第30讲 圆与圆的位置关系第31讲 与圆有关的计算 第第28讲圆的有关性圆的有关性第28课时圆的有关性质第第28讲考点聚焦考点聚焦弦弦连接接圆上任意两点的上任意两点的_叫做弦叫做弦直径直径经过圆心的弦叫做直径心的弦叫做直径弧弧圆上任意两点上任意两点间的部分叫做弧的部分叫做弧优弧弧大于半大于半圆的弧叫做的弧叫做优弧弧劣弧劣弧小于半小于半圆的弧叫做劣弧的弧叫做劣弧线段线段 考点考点2 2 确定圆的条件及相关概念确定圆的条件及相关概念 第第28讲考点聚焦考点聚焦确定确定圆的条件的条件不在同一直不在同一直线的三个点确定一个的三个点确定一个圆三角形的三角形的外心外心三角形三三角形三边_的交点，即三的交点，即三角形外接角形外接圆的的圆心心防防错提醒提醒锐角三角形的外心在三角形的内部，角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的直角三角形的外心在直角三角形的斜斜边上，上，钝角三角形的外心在三角角三角形的外心在三角形的外部形的外部垂直平分线垂直平分线考点考点3 3 圆的对称性圆的对称性第第28讲考点聚焦考点聚焦 圆既是一个既是一个轴对称称图形又是一个形又是一个_对称称图形，形，圆还具有旋具有旋转不不变性性 中心中心考点考点4 4 垂径定理及其推论垂径定理及其推论 第第28讲考点聚焦考点聚焦垂径定垂径定理理垂直于弦的直径垂直于弦的直径_，并且平分弦所，并且平分弦所对的两条弧的两条弧推推论(1)(1)平分弦平分弦( (不是直径不是直径) )的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所弦所对的两条弧；的两条弧；(2)(2)弦的垂直平分弦的垂直平分线经过圆心，心，并且平分弦所并且平分弦所对的两条弧；的两条弧；(3)(3)平分弦所平分弦所对的一条的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条的另一条弧弧总结简言之，言之，对于于过圆心；心；垂直弦；垂直弦；平分弦；平分弦；平分弦所平分弦所对的的优弧；弧；平分弦所平分弦所对的劣弧中的任意的劣弧中的任意两条两条结论成立，那么其他的成立，那么其他的结论也成立也成立平分弦平分弦考点考点5 5 圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系第第28讲考点聚焦考点聚焦定理定理在同在同圆或等或等圆中，相等的中，相等的圆心角所心角所对的的_相等，所相等，所对的的_相等相等推推论在同在同圆或等或等圆中，如果两个中，如果两个圆心角心角两两条弧或两条弦中有一条弧或两条弦中有一组量相等，那么它量相等，那么它们所所对应的其余各的其余各组量也分量也分别相等相等弧弧弦弦考点考点6 6 圆周角圆周角 第第28讲考点聚焦考点聚焦圆周角周角定定义顶点在点在圆上，并且两上，并且两边都和都和圆相交的角叫做相交的角叫做圆周角周角圆周角周角定理定理在同在同圆或等或等圆中，同弧或等弧所中，同弧或等弧所对的的圆周角周角_，都等于，都等于该弧所弧所对的的圆心角的心角的_推推论1 1在同在同圆或等或等圆中，相等的中，相等的圆周角所周角所对的弧的弧_推推论2 2半半圆( (或直径或直径) )所所对的的圆周角是周角是_；9090的的圆周角所周角所对的弦是的弦是_推推论3 3如果三角形一如果三角形一边上的中上的中线等于等于这边的一半，的一半，那么那么这个三角形是个三角形是_三角形三角形相等相等一半一半相等相等直角直角直径直径直角直角考点考点7 7 圆内接多边形圆内接多边形 第第28讲考点聚焦考点聚焦圆内接四内接四边形形如果一个多如果一个多边形的所有形的所有顶点点都在同一个都在同一个圆上，上，这个多个多边形叫做形叫做圆内接多内接多边形形这个个圆叫做叫做这个多个多边形的外接形的外接圆圆内接四内接四边形形的性的性质圆内接四内接四边形的形的_对角互补对角互补考点考点9 9 反证法反证法 第第28讲考点聚焦考点聚焦定定义不直接从命不直接从命题的已知得出的已知得出结论，而是假，而是假设命命题的的结论不成立，由此不成立，由此经过推理得推理得出矛盾，由矛盾断定所作假出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，不正确，从而得到原命从而得到原命题成立，成立，这种方法叫做反种方法叫做反证法法步步骤(1)(1)假假设命命题的的结论不正确，即提出与不正确，即提出与命命题结论相反的假相反的假设(2)(2)从假从假设的的结论出出发，推出矛盾，推出矛盾(3)(3)由矛盾的由矛盾的结果果说明假明假设不成立，从不成立，从而肯定原命而肯定原命题的的结论正确正确第第28讲归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一确定圆的条件类型之一确定圆的条件命题角度：命题角度：1.确定圆的圆心、半径；确定圆的圆心、半径；2.三角形的外接圆圆心的性质三角形的外接圆圆心的性质10或或8例例1 2012资阳阳 直角三角形的两直角三角形的两边长分分别为16和和12，则此三此三角形的外接角形的外接圆半径是半径是_第第28讲归类示例归类示例第第28讲归类示例归类示例(1)(1)过不不在在同同一一条条直直线上上的的三三个个点点作作圆时，只只需需由由两两条条线段段的的垂垂直直平平分分线确确定定圆心心即即可可，没没有有必必要要作作出出第第三三条条线段段的的垂垂直直平平分分线事事实上上，三三条条垂垂直平分直平分线交于同一点交于同一点(2)(2)直角三角形的外接直角三角形的外接圆是以斜是以斜边为直径的直径的圆 类型之二类型之二垂径定理及其推论垂径定理及其推论 命题角度：命题角度：1. 1. 垂径定理的应用；垂径定理的应用；2. 2. 垂径定理的推论的应用垂径定理的推论的应用第第28讲归类示例归类示例例例2 2 20122012南通南通 如如图28281 1，O O的半径的半径为17 cm17 cm，弦弦ABCDABCD，ABAB30 cm30 cm，CDCD16 cm16 cm，圆心心O O位于位于ABAB，CDCD的上方，求的上方，求ABAB和和CDCD的距离的距离图28281 1第第28讲归类示例归类示例 解析解析 过圆心心O O作弦作弦ABAB的垂的垂线，垂足，垂足为E E，易，易证它也与弦它也与弦CDCD垂直，垂直，设垂足垂足为F F，由垂径定理知，由垂径定理知AEAEBEBE，CFCFDFDF，根，根据勾股定理可求据勾股定理可求OEOE，OFOF的的长，进而可求出而可求出ABAB和和CDCD的距离的距离第第28讲归类示例归类示例 垂垂径径定定理理及及其其推推论论是是证证明明两两线线段段相相等等，两两条条弧弧相相等等及及两两直直线线垂垂直直的的重重要要依依据据之之一一，在在有有关关弦弦长长、弦弦心心距距的的计计算算中中常常常常需需要要作作垂垂直直于于弦弦的的线线段段，构构造造直直角角三三角形角形第第28讲归类示例归类示例 类型之三类型之三 圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系 例例3 3 20112011济宁宁 如如图28282 2，ADAD为ABCABC外接外接圆的直的直径，径，ADBCADBC，垂足，垂足为点点F F，ABCABC的平分的平分线交交ADAD于点于点E E，连接接BDBD、CD.CD.(1)(1)求求证：BDBDCDCD；(2)(2)请判判断断B B、E E、C C三三点点是是否否在在以以D D为圆心心，以以DBDB为半半径径的的圆上？并上？并说明理由明理由第第28讲归类示例归类示例命题角度：命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系图28282 2第第28讲归类示例归类示例 解析解析 (1) (1)根据垂径定理和同根据垂径定理和同圆或等或等圆中等弧中等弧对等弦等弦证明；明；(2)(2)利用同弧所利用同弧所对的的圆周角相等和等腰三角形的判定周角相等和等腰三角形的判定证明明DBDBDEDEDC.DC.解：解：(1)(1)证明：明：ADAD为直径，直径，ADBCADBC，BDBDCD.BDCD.BDCD. CD. (2)B(2)B，E E，C C三点在以三点在以D D为圆心，以心，以DBDB为半径的半径的圆上上. . 理由：由理由：由(1)(1)知：知：BDBDCDCD，BADBADCBD.CBD.DBEDBECBDCBDCBECBE，DEBDEBBADBADABEABE，CBECBEABEABE，DBEDBEDEB.DBDEB.DBDE.DE.由由(1)(1)知：知：BDBDCDCD，DBDBDEDEDC.DC.BB，E E，C C三点在以三点在以D D为圆心，以心，以DBDB为半径的半径的圆上上. . 圆圆心心角角、弧弧、弦弦之之间间关关系系巧巧记记同同圆圆或或等等圆圆中中，有有些些关关系系要要搞搞清清：等等弧弧对对的的弦弦相相等等，圆圆心心角角相相等等对对弧弧等等，等弦所对圆心角相等，反之亦成立等弦所对圆心角相等，反之亦成立第第28讲归类示例归类示例 类型之四类型之四圆周角定理及推论圆周角定理及推论D命题角度：命题角度：1.利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数；利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数；2.直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算第第28讲归类示例归类示例 例例4 4 20122012湘潭湘潭 如图如图28283 3，在，在O O中，弦中，弦ABABCDCD，若，若ABCABC4040，则，则BODBOD( () )A. 20 B. 40A. 20 B. 40C. 50 D. 80C. 50 D. 80图28283 3 解析解析 先根据弦先根据弦ABCD得出得出ABCABCBCDBCD4040，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出得出BODBOD2BCD2BCD24024080.80.第第28讲归类示例归类示例 圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角角(圆心角和圆周角圆心角和圆周角)的转化的转化第第28讲归类示例归类示例 类型之五类型之五与圆有关的开放性问题与圆有关的开放性问题命题角度：命题角度：1.给定一个圆，自由探索结论并说明理由；给定一个圆，自由探索结论并说明理由；2.给定一个圆，添加条件并说明理由给定一个圆，添加条件并说明理由第第28讲归类示例归类示例 例例5 5 20122012湘潭湘潭 如图如图28284 4，在，在O O上位于直径上位于直径ABAB的异侧有定点的异侧有定点C C和动点和动点P P，ACAC0.50.5ABAB，点，点P P在半圆弧在半圆弧ABAB上运动上运动( (不与不与A A、B B两点重合两点重合) )，过点，过点C C作直线作直线PBPB的垂的垂线线CDCD交交PBPB于于D D点点图28284 4(1)如如图，求，求证：PCDABC；(2)当当点点P运运动到到什什么么位位置置时，PCDABC？请在在图中画出中画出PCD，并，并说明理由；明理由；(3)如如图，当点，当点P运运动到到CPAB时，求，求BCD的度的度数数第第28讲归类示例归类示例第第28讲归类示例归类示例 解析解析 (1) (1)由由ABAB是是O O的直径，根据直径所的直径，根据直径所对的的圆周角是周角是直角，即可得直角，即可得ACBACB9090，又由在同，又由在同圆或等或等圆中，同弧或中，同弧或等弧所等弧所对的的圆周角相等，即可得周角相等，即可得A AP.(2)P.(2)由由PCDABCPCDABC，可知当，可知当PCPCABAB时，PCDABCPCDABC，利用相，利用相似比等于似比等于1 1的相似三角形全等；的相似三角形全等；(3)(3)由由ACBACB9090，ACAC0.5AB0.5AB，可求得，可求得ABCABC的度数，利用同弧所的度数，利用同弧所对的的圆周角相等周角相等得得P PA A6060，通，通过证PCBPCB为等等边三角形，由三角形，由CDPBCDPB，即可求出，即可求出BCDBCD的度数的度数 第第28讲归类示例归类示例解：解：(1)证明：证明：AB为直径，为直径，ACBD90.又又CABDPC，PCDABC.(2)如图，当点如图，当点P运动到运动到PC为直径时，为直径时，PCDABC.理由如下：理由如下：PC为直径，为直径，PBC90，则此时，则此时D与与B重合，重合，PCAB，CDBC，故故PCDABC.(3) AC0.5AB，ACB90，ABC30，CAB60.CPBCAB60.PCAB，PCB90ABC60，PBC为等边三角形为等边三角形又又CDPB，BCD30. 圆是一个特殊的封闭图形，它具有一些特圆是一个特殊的封闭图形，它具有一些特殊的性质，在给定一个圆之后，可以得到不同殊的性质，在给定一个圆之后，可以得到不同类型的结论与圆有关的探究性问题是近年中类型的结论与圆有关的探究性问题是近年中考中的常见类型，由于此类试题新颖、灵活又考中的常见类型，由于此类试题新颖、灵活又不难，广泛而又有科学尺度考查了数学创新意不难，广泛而又有科学尺度考查了数学创新意识和创新能力，所以此类问题成为中考的热点识和创新能力，所以此类问题成为中考的热点之一在解决这些问题的时候，要把握准圆的之一在解决这些问题的时候，要把握准圆的性质的应用性质的应用第第28讲归类示例归类示例 类型之六类型之六尺规作图尺规作图命题角度：命题角度：能正确地按要求进行尺规作图能正确地按要求进行尺规作图第第28讲归类示例归类示例 例例6 6 20122012鞍山鞍山 如图如图28285 5，某社区有一矩形广场，某社区有一矩形广场ABCDABCD，在边，在边ABAB上的上的M M点和边点和边BCBC上的上的N N点分别有一棵景观树，点分别有一棵景观树，为了进一步美化环境，社区欲在为了进一步美化环境，社区欲在BDBD上上( (点点B B除外除外) )选一点选一点P P再种一棵景观树，使得再种一棵景观树，使得MPNMPN9090，请在图中利用尺，请在图中利用尺规作图画出点规作图画出点P P的位置的位置( (要求：不写已知、求证、作法和要求：不写已知、求证、作法和结论，保留作图痕迹结论，保留作图痕迹) )图28285 5 解析解析 先作出先作出MNMN的中点，的中点，再以再以MNMN为直径作直径作圆与与BDBD相交于点相交于点P.P. 解：如下图所示，连结解：如下图所示，连结MN MN ，作出，作出MNMN的垂直的垂直平分线平分线 ，交，交MNMN于于E E，以，以E E为圆心，为圆心，EMEM的长为半径的长为半径画圆与画圆与BDBD交于点交于点P(P(标出点标出点P)P)如图所示，点如图所示，点P P就就是所求作的点是所求作的点第第28讲归类示例归类示例第第28讲归类示例归类示例 变式题变式题 20102010泰州泰州 如图如图28286 6，已知，已知ABCABC，利用直，利用直尺和圆规，根据下列要求作图尺和圆规，根据下列要求作图( (保留作图痕迹，不要求写保留作图痕迹，不要求写作法作法) )，并根据要求填空：，并根据要求填空：(1)(1)作作ABCABC的平分线的平分线BDBD交交ACAC于点于点D D；(2)(2)作线段作线段BDBD的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于点于点E E，交，交BCBC于点于点F.F.由以由以上作图可得：线段上作图可得：线段EFEF与线段与线段BDBD的关系为的关系为_图28286 6互相垂直平分互相垂直平分 解：解： (1)(1)作图如下图作图如下图(2)(2)作图如下图；互相垂作图如下图；互相垂直平分直平分第第28讲归类示例归类示例 中考需要掌握的尺规作图部分有如下的要求：中考需要掌握的尺规作图部分有如下的要求：完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线直平分线利用基本作图作三角形：已知三边作利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形角形探索如何过一点、两点和不在同一直线上探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆的三点作圆了解尺规作图的步骤，对于尺规作了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法图题，会写已知、求作和作法(不要求证明不要求证明)我们在掌握这些方法的基础上，还应该会解一些新我们在掌握这些方法的基础上，还应该会解一些新颖的作图题，进一步培养形象思维能力颖的作图题，进一步培养形象思维能力第第28讲归类示例归类示例 类型之七类型之七反证法反证法 命题角度：命题角度：1反例的作用，利用反例可以证明一个命题是错误的；反例的作用，利用反例可以证明一个命题是错误的；2反证法的含义反证法的含义第第28讲归类示例归类示例 例例7 7 20122012包头包头 已知下列命题：已知下列命题：若若a a00，则，则| |a a| |a a；若若ma2na2，则，则mn；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦其中原命题与逆命题均为真命题的个数是其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( () )A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个B 解析解析 四个命四个命题的原命的原命题均均为真命真命题，的逆的逆命命题为：若：若|a|a，则a0，是真命，是真命题；的逆命的逆命题为：若：若mn，则ma2na2，是假命，是假命题，当，当a0时，结论就不成立；就不成立；的逆命的逆命题是平行四是平行四边形的两形的两组对角分角分别相等，是真命相等，是真命题；的逆命的逆命题是：平分弦的是：平分弦的直径垂直于弦，是假命直径垂直于弦，是假命题，当，当这条弦条弦为直径直径时，结论不一定成立不一定成立综上可知原命上可知原命题和逆命和逆命题均均为真命真命题的是的是，故答案，故答案为B.第第28讲归类示例归类示例第第28讲归类示例归类示例 变式题变式题 20122012攀枝花攀枝花 下列四个命题：下列四个命题：等边三角形是中心对称图形；等边三角形是中心对称图形；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；三角形有且只有一个外接圆；三角形有且只有一个外接圆；垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧其中真命题的个数有其中真命题的个数有( () )A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个B 解析解析 等等边三角形是三角形是轴对称称图形，但不是中心形，但不是中心对称称图形，即形，即是假命是假命题；如；如图，C和和D不相不相等，即等，即是假命是假命题；三角形有且只有一个外接；三角形有且只有一个外接圆，外接外接圆的的圆心是三角形三心是三角形三边垂直平分垂直平分线的交点，即的交点，即是真命是真命题；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，即的两条弧，即是真命是真命题故故选B. 第第28讲归类示例归类示例第第29讲直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系第29课时直线和圆的位置关系第第29讲考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 点和圆的位置关系点和圆的位置关系 如果如果圆的半径是的半径是r r，点到，点到圆心的距离心的距离是是d d，那么，那么 点在点在圆外外 _点在圆上点在圆上 _点在圆内点在圆内 _dr第第29讲考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 设O O的半径的半径为r r，圆心心O O到直到直线l l的距的距离离为d d，那么，那么(1)(1)直直线l l和和O O相交相交_(2)(2)直直线l l和和O O相切相切_(3)(3)直直线l l和和O O相离相离_dr第第29讲考点聚焦考点聚焦考点考点3 3 圆的切线圆的切线 切切线的的性性质圆的切的切线_过切点的半径切点的半径推推论(1)经过圆心且垂直于切心且垂直于切线的直的直线必必过_；(2)经过切点且垂直于切切点且垂直于切线的直的直线必必过_切切线的的判定判定(1)和和圆有有_公共点的直公共点的直线是是圆的切的切线(2)如果如果圆心到一条直心到一条直线的距离等于的距离等于圆的的_，那么，那么这条直条直线是是圆的切的切线(3)经过半径的外端并且半径的外端并且_这条半径的直条半径的直线是是圆的切的切线常添常添辅助助线连接接圆心和切点心和切点垂直于垂直于切点切点圆心圆心唯一唯一半径半径垂直于垂直于考点考点4 4 切线长及切线长定理切线长及切线长定理 第第29讲考点聚焦考点聚焦切切线长在在经过圆外一点的外一点的圆的切的切线上，上，这点和切点之点和切点之间的的线段的段的长，叫做，叫做这点到点到圆的切的切线长切切线长定理定理从从圆外一点引外一点引圆的两条切的两条切线，它，它们的切的切线长_，圆心和心和这一点的一点的连线_两条切两条切线的的夹角角基本基本图形形如如图所示，点所示，点P P是是O O外一点，外一点，PAPA、PBPB切切O O于点于点A A、B B，ABAB交交POPO于点于点C C，则有如下有如下结论：(1)(1)PAPAPBPB；(2)(2)APOAPOBPOBPOOACOACOBCOBC，AOPAOPBOPBOPCAPCAPCBPCBP相等相等平分平分考点考点5 5 三角形的内切圆三角形的内切圆 第第29讲考点聚焦考点聚焦三角形的三角形的内切内切圆与三角形各与三角形各边都相切的都相切的圆叫三角叫三角形的内切形的内切圆，这个三角形叫个三角形叫圆的的外切三角形外切三角形三角形三角形的内心的内心三角形内切三角形内切圆的的圆心叫做三角形心叫做三角形的内心它是三角形的内心它是三角形_的交点，三角形的交点，三角形的内心到三的内心到三边的的_相等相等三条角平分线三条角平分线距离距离第第29讲考点聚焦考点聚焦第第29讲归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一点和圆的位置关系类型之一点和圆的位置关系命题角度：命题角度：点和圆的位置关系点和圆的位置关系2例例1 2012广元广元在同一平面上，在同一平面上， O 外一点外一点P到到 O 上一上一点的距离最点的距离最长为6 cm，最短，最短为2 cm，则 O 的半径的半径为_ cm. 解析解析 画画图得：得：O O 外一点外一点P P到到O O 上一点的距离上一点的距离最最长为6 cm6 cm，最短，最短为2 cm2 cm，则直径直径为4 cm4 cm，半径半径为2 cm.2 cm.第第29讲归类示例归类示例准确理解准确理解题意解意解题，必要，必要时画出画出图形形进行行观察察第第29讲归类示例归类示例 类型之二直线和圆的位置关系的判定类型之二直线和圆的位置关系的判定命题角度：命题角度：1.定义法判定直线和圆的位置关系；定义法判定直线和圆的位置关系；2.d、r比较法判定直线和圆的位置关系比较法判定直线和圆的位置关系D例例2 2012无无锡已知已知 O的半径的半径为2，直，直线l上有一点上有一点P满足足PO2，则直直线l与与 O的位置关系是的位置关系是()A相切相切 B相离相离C相离或相切相离或相切 D相切或相交相切或相交第第29讲归类示例归类示例 解析解析 分分OPOP垂直于直垂直于直线l l，OPOP不垂于直不垂于直线l l两种情况两种情况讨论当当OPOP垂直于直垂直于直线l l时，即，即圆心心O O到直到直线l l的距离的距离d d2 2r r，O O与与l l相切；相切；当当OPOP不垂直于直不垂直于直线l l时，即，即圆心心O O到直到直线l l的距离的距离d2d r r) )，圆心之心之间的距离的距离为d d，那，那么么O O1 1和和O O2 2外离外离_外切外切_相交相交_内切内切_两两圆内含内含_dRr dRr RrdRr dRr dRr 第第30讲考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 相交两圆的性质相交两圆的性质 性性质(1)(1)相交两相交两圆的的连心心线垂直平分两垂直平分两圆的公共的公共弦弦(2)(2)两两圆相交相交时的的图形是形是轴对称称图形形点点拨解有关两解有关两圆相交相交问题时，常常要作出，常常要作出连心心线，公共弦，或者公共弦，或者连接交点与接交点与圆心，从而把两心，从而把两圆的半径，公共弦的半径，公共弦长的一半，的一半，圆心距等集中在心距等集中在同一个三角形中，利用三角形的知同一个三角形中，利用三角形的知识加以解加以解决决考点考点3 3 相切两圆的性质相切两圆的性质第第30讲考点聚焦考点聚焦相切两相切两圆的性的性质如果两如果两圆相切，那么两相切，那么两圆的的连心心线经过_两两圆相切相切时的的图形是形是轴对称称图形，形，通通过两两圆圆心的心的连线( (连心心线) )是它是它的的对称称轴切点切点第第30讲归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一圆和圆的位置关系的判别类型之一圆和圆的位置关系的判别命题角度：命题角度：1.根据两圆的公共点的个数确定；根据两圆的公共点的个数确定；2.根据两圆的圆心距与半径的数量关系确定根据两圆的圆心距与半径的数量关系确定D例例1 2012上海上海 如果两如果两圆的半径的半径长分分别为6和和2，圆心距心距为3，那么，那么这两两圆的关系是的关系是()A外离外离 B相切相切 C相交相交 D内含内含 解析解析 两个两个圆的半径分的半径分别为6 6和和2 2，圆心距心距为3 3，又又6 62 24 4，4 43 3，这两个两个圆的位置关系是内含的位置关系是内含 类型之二类型之二和相交两圆有关的计算和相交两圆有关的计算 命题角度：命题角度：1. 1. 相交两圆的连心线与两圆的公共弦的关系；相交两圆的连心线与两圆的公共弦的关系；2. 2. 和勾股定理有关的计算和勾股定理有关的计算第第30讲归类示例归类示例例例2 2 20122012宜宜宾 如如图301， O1、 O2相交于相交于P、Q两点，两点，其中其中 O1的半径的半径r12, O2的半径的半径r22，过点点Q作作CDPQ，分，分别交交 O1和和 O2于点于点C、D，连接接CP、DP，过点点Q任作任作一直一直线AB分分别交交 O1和和 O2于点于点A、B，连接接AP、BP、AC、DB，且，且AC与与DB的延的延长线交于点交于点E.图30301 1第第30讲归类示例归类示例第第30讲归类示例归类示例 类型之三类型之三 和相切两圆有关的计算和相切两圆有关的计算 例例3 3 (1)计算：如算：如图302，直径，直径为a的三等的三等圆 O1 、 O2 、 O3 两两外切，切点分两两外切，切点分别为A、B、C ，求，求O1 A的的长(用含用含a的代数式表示的代数式表示)； 第第30讲归类示例归类示例命题角度：命题角度：1.相切两圆的性质；相切两圆的性质；2.两圆相切的简单应用两圆相切的简单应用图30302 2 第第30讲归类示例归类示例图302 (2)(2)探索：若干个直径探索：若干个直径为a a的的圆圈分圈分别按如按如图303022所所示的方案一和如示的方案一和如图303022所示的方案二的方式排放，所示的方案二的方式排放，探索并求出探索并求出这两种方案中两种方案中n n层圆圈的高度圈的高度h hn n和和h hn n( (用含用含n n、a a的代数式表示的代数式表示) )；第第30讲归类示例归类示例 (3)(3)应用：用：现有有长方体集装箱，其内空方体集装箱，其内空长为5 5米，米，宽为3.13.1米，高米，高为3.13.1米用米用这样的集装箱装运的集装箱装运长为5 5米，米，底面直径底面直径( (横截面的外横截面的外圆直径直径) )为0.10.1米的米的圆柱形柱形钢管，管，你你认为采用采用(2)(2)中的哪种方案在中的哪种方案在该集装箱中装运集装箱中装运钢管管数最多？并求出一个数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少的集装箱最多能装运多少根根钢管？管？(31.73)(31.73) 第第30讲归类示例归类示例第第30讲归类示例归类示例第第31讲与圆有关的计算与圆有关的计算第第31讲考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 正多边形和圆正多边形和圆 正多正多边形形和和圆的关的关系系正多正多边形和形和圆的关系非常密切，只要把一个的关系非常密切，只要把一个圆分分成相等的一些弧，就可以作出成相等的一些弧，就可以作出这个个圆的内接正多的内接正多边形，形，这个个圆叫做叫做这个正多个正多边形的外接形的外接圆正多正多边形形和和圆的有的有关概念关概念一个正多一个正多边形外接形外接圆的的圆心叫做心叫做这个正多个正多边形的形的_正多正多边形外接形外接圆的半径叫做正多的半径叫做正多边形的形的_正多正多边形每一形每一边所所对的的圆心角叫做正多心角叫做正多边形的形的_正多正多边形的中心到正多形的中心到正多边形的一形的一边的距离叫做正的距离叫做正多多边形的形的_中心中心 半径半径 中心角中心角 边心距边心距 第第31讲考点聚焦考点聚焦第第31讲考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 圆的周长与弧长公式圆的周长与弧长公式 圆的周的周长若若圆的半径是的半径是R R，则圆的周的周长C C_弧弧长公式公式若一条弧所若一条弧所对的的圆心角是心角是n n，半径，半径是是R R，则弧弧长l l_._.在在应用公式用公式时，n n和和180180不再写不再写单位位2R考点考点3 3 扇形的面积公式扇形的面积公式 第第31讲考点聚焦考点聚焦扇形面扇形面积(1)S扇形扇形_(n是是圆心角度数，心角度数，R是是半径半径)；(2)S扇形扇形_(l是弧是弧长，R是半径是半径)弓形面弓形面积S弓形弓形S扇形扇形S考点考点4 4 圆锥的侧面积与全面积圆锥的侧面积与全面积第第31讲考点聚焦考点聚焦图形形第第31讲考点聚焦考点聚焦圆锥简介介(1)(1)h h是是圆锥的高；的高；(2)(2)a a是是圆锥的母的母线，其，其长为侧面展开后所面展开后所得扇形的得扇形的_；(3)(3)r r是底面半径；是底面半径；(4)(4)圆锥的的侧面展开面展开图是半径等于是半径等于_长，弧，弧长等于等于圆锥底面底面_的扇形的扇形圆锥的的侧面面积S S侧_圆锥的的全面全面积S S全全S S侧S S底底rarar r2 2半径半径母线母线周长周长ra第第31讲归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一正多边形和圆类型之一正多边形和圆命题角度：命题角度：1.正多边形和圆有关的概念；正多边形和圆有关的概念；2.正多边形的有关计算正多边形的有关计算A例例1 2012安徽安徽 为增加增加绿化面化面积，某小区将原来正方形，某小区将原来正方形地地砖更更换为如如图311所示的正八所示的正八边形植草形植草砖，更，更换后，后，图中阴影部分中阴影部分为植草区域，植草区域，设正八正八边形与其内部小正方形与其内部小正方形的形的边长都都为a，则阴影部分的面阴影部分的面积为()A2a2 B3a2 C4a2 D5a2第第31讲归类示例归类示例 圆圆的的内内接接正正n边边形形（n3）的的每每条条边边所所对对的的圆圆心心角角都相等，为都相等，为第第31讲归类示例归类示例 类型之二类型之二计算弧长计算弧长 命题角度：命题角度：1 1已知圆心角和半径求弧长；已知圆心角和半径求弧长；2 2利用转化思想求弧长利用转化思想求弧长第第31讲归类示例归类示例例例2 2 20122012广安广安 如如图312，RtABC的的边BC位于直位于直线l上，上，AC3，ACB90，A30，若，若RtABC由由现在的位置向右无滑在的位置向右无滑动翻翻转，当点，当点A第第3次落在直次落在直线l上上时，点点A所所经过的路的路线的的长为_(结果用含果用含的式子表示的式子表示) 图31312 2第第31讲归类示例归类示例 解析解析 根据含根据含3030角的直角三角形三角的直角三角形三边的关系得到的关系得到BCBC1 1，ABAB2BC2BC2 2，ABCABC60.60.点点A A先是以先是以B B点点为旋旋转中心，中心，顺时针旋旋转120120到到A A1 1，再以点，再以点C C1 1为旋旋转中心，中心，顺时针旋旋转9090到到A A2 2，然后根据弧，然后根据弧长公式公式计算两段弧算两段弧长，从而得到点，从而得到点A A第第3 3次落在次落在直直线l l上上时，点，点A A所所经过的路的路线的的长 第第31讲归类示例归类示例 类型之三类型之三 计算扇形面积计算扇形面积 例例3 3 2012泰州泰州 如如图313，在，在边长为1个个单位位长度的小度的小正方形正方形组成的网格中，成的网格中，ABC的的顶点点A、B、C在小正方形在小正方形的的顶点上将点上将ABC向下平移向下平移4个个单位、再向右平移位、再向右平移3个个单位得到位得到A1B1C1，然后将，然后将A1B1C1绕点点A1顺时针旋旋转90得得到到A1B2C2.(1)在网格中画出在网格中画出A1B1C1和和A1B2C2； (2)计算算线段段AC在在变换到到A1C2的的过程程中中扫过区区域域的的面面积(重重叠部分不重复叠部分不重复计算算) .第第31讲归类示例归类示例命题角度：命题角度：1.已知扇形的半径和圆心角，求扇形的面积；已知扇形的半径和圆心角，求扇形的面积；2.已知扇形的弧长和半径，求扇形的面积已知扇形的弧长和半径，求扇形的面积第第31讲归类示例归类示例图313 解析解析 (1) (1)根据根据图形平移及旋形平移及旋转的性的性质画出画出A A1 1B B1 1C C1 1及及A A1 1B B2 2C C2 2即可；即可；(2)(2)将将ABCABC向下平移向下平移4 4个个单位，位，ACAC所所扫过的面的面积是以是以4 4为底，底，以以2 2为高的平行四高的平行四边形的面形的面积；再向右平移；再向右平移3 3个个单位，位，ACAC所所扫过的面的面积是从是从3 3为底，以底，以2 2为高的平行四高的平行四边形的面形的面积；当；当A A1 1B B1 1C C1 1绕点点A A1 1顺时针旋旋转9090到到A A1 1B B2 2C C2 2时，A A1 1C C1 1所所扫过的的面面积是以是以A A1 1为圆心，以心，以2 2为半径，半径，圆心角心角为9090的扇形的面的扇形的面积，再减去重叠部分的面，再减去重叠部分的面积 第第31讲归类示例归类示例第第31讲归类示例归类示例变式题变式题 20122012徐州徐州 如如图31314 4，菱形，菱形ABCDABCD的的边长为2 cm2 cm，A A6060，BDBD是以点是以点A A为圆心、心、ABAB长为半径的弧，半径的弧，CDCD是以点是以点B B为圆心、心、BCBC长为半径的弧，半径的弧，则阴影部分的面阴影部分的面积为_ _ cmcm2 2 . .图31314 4第第31讲归类示例归类示例 求求不不规规则则图图形形的的面面积积，常常转转化化为为易易解解决决问问题题的的基基本本图图形形，然然后后求求出出各各图图形形的的面面积积，通通过过面面积积的的和和差差求求出结果出结果第第31讲归类示例归类示例 类型之四类型之四和圆锥的侧面展开图有关的问题和圆锥的侧面展开图有关的问题命题角度：命题角度：1.圆锥的母线长、底面半径等计算；圆锥的母线长、底面半径等计算；2.圆锥的侧面展开图的相关计算圆锥的侧面展开图的相关计算第第31讲归类示例归类示例 例例4 4 20122012无锡无锡 已知圆锥的底面半径为已知圆锥的底面半径为3 cm，母，母线长为线长为5 cm，则圆锥的侧面积是，则圆锥的侧面积是()A20 cm2 B20 cm2C15 cm2 D15 cm2 D 解析解析 圆锥的侧面积圆锥的侧面积S Sra, rra, r3 cm3 cm，a a5cm，S15 (cm2)，故故选D.D. 类型之五类型之五用化归思想解决生活中的实际问题用化归思想解决生活中的实际问题命题角度：命题角度：1.用化归思想解决生活中的实际问题；用化归思想解决生活中的实际问题；2.综合利用所学知识解决实际问题综合利用所学知识解决实际问题第第31讲归类示例归类示例 例例5 5 20122012山西山西 如图如图31316 6是某公园的一角，是某公园的一角，AOBAOB9090，弧，弧ABAB的半径的半径OAOA长是长是6 6米，米，C C是是OAOA的中点，点的中点，点D D在弧在弧ABAB上，上，CDCDOBOB，则图中休闲区，则图中休闲区( (阴影部分阴影部分) )的面积是的面积是( () )图31316 6C 第第31讲归类示例归类示例第第31讲归类示例归类示例第第31讲回归教材回归教材用用“转化思想转化思想”求图形的面积求图形的面积回归教材回归教材教材母题教材母题江江苏科技版九上科技版九上P146例例2 如如图316，正三角形，正三角形ABC边长为a，分，分别以以A、B、C为圆心，心，0.5 a的半径的的半径的圆两两相切于点两两相切于点O1、O2、O3 ，求，求O1O2、O2O3、O3O1围成的成的图形面形面积S(图中阴影部分中阴影部分) 图316第第31讲回归教材回归教材第第31讲回归教材回归教材 点析点析 不规则图形的面积通常是转化成规则图不规则图形的面积通常是转化成规则图形的面积的和差关系求解形的面积的和差关系求解 20122012绵阳阳 如如图317，正方形的，正方形的边长为2，以各，以各边为直直径在正方形内画半径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面中阴影部分的面积为_(结果保留两位有效数字，参考数据：果保留两位有效数字，参考数据：3.14)第第31讲回归教材回归教材图31317 7中考变式7