在某个变化过程中，有两个变量在某个变化过程中，有两个变量x x和和y y，对于对于x x在某一范围内的每一个确定的值，在某一范围内的每一个确定的值，变量变量y y都有一个唯一确定的都有一个唯一确定的x x值与它对值与它对应，那么我们称应，那么我们称y y是是x x的函数，其中的函数，其中x x是是自变量，自变量，y y是函数是函数复习复习 回顾回顾1. 1. 函数的定义：函数的定义：2. 2. 大家还记得我们学过哪些函数吗大家还记得我们学过哪些函数吗? ? ( (正比例函数正比例函数, ,一次函数一次函数, ,反比例函数反比例函数) )函函数数一次函数一次函数反比例函数反比例函数y=kx+b (k0)y=kx+b (k0)( (正比例函数正比例函数) ) y=kx y=kx (k0)(k0)y= y= (k0)(k0)k kx x变变量量之之间间的的关关系系二次函数二次函数二次函数的基本概念 正方体六个面是全正方体六个面是全等的正方形等的正方形, ,设正方形设正方形棱长为棱长为 x, x,表面积为表面积为 y, y,则则 y y 关于关于x x 的关系式的关系式为为. .问题问题1:1:y=6xy=6x2 2 此式表示了正方体的表此式表示了正方体的表面积面积y y与棱长与棱长x x之间的关系之间的关系, ,对于对于x x的每一个值的每一个值,y,y都有一个对应值都有一个对应值, ,即即y y是是x x的函数的函数. . 此式表示了多边形的对角线数此式表示了多边形的对角线数d d与与 边数边数n n之间之间的关系的关系, ,对于对于n n的每一个值的每一个值,d,d都有一个对应值都有一个对应值, ,即即d d是是n n的的函数函数. .多边形的对角线数多边形的对角线数 d d 与边数与边数 n n 有什么关系有什么关系？n n边形有个顶点边形有个顶点, ,从一个顶从一个顶点出发点出发, ,连接与这点不相邻的连接与这点不相邻的各顶点各顶点, ,可作条对角线可作条对角线. .因此因此,n,n边形的对角线总数边形的对角线总数 d =d =. .n n(n(n3)3)问题问题2:2:n(nn(n3)3)1 12 2即即: :d= nd= n2 2 n n1 12 23 32 2问题问题3：某工厂一种产品的年产量是某工厂一种产品的年产量是2020件件, ,计划今后两年增加产量计划今后两年增加产量, ,如果每年比如果每年比上一年的增长率都为上一年的增长率都为x,x,那么两年后这种那么两年后这种产品的产量产品的产量y y将随计划所定的增长率将随计划所定的增长率x x的的值而确定值而确定,y,y与与x x之间的关系应怎样表示之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是这种产品的原产量是2020件，一年后的产件，一年后的产量是量是 件，再经过一年后的产件，再经过一年后的产量是量是 件件20(1+x)20(1+x)2即两年后的产量为即两年后的产量为 y=20(1+x)2 此式表示了两年后的产量此式表示了两年后的产量y y与计划增产与计划增产的倍数的倍数x x之间的关系之间的关系, ,对于对于x x的每一个值的每一个值,y,y都有一都有一个对应值个对应值, ,即即y y是是x x的函数的函数. .y=6xy=6x2 2y=20xy=20x2 2+40x+20+40x+20d= nd= n2 2 n n1 12 23 32 2观察下列函数有什么共同点观察下列函数有什么共同点: :一般地一般地, ,形如形如 的函数的函数, ,叫做二次函数叫做二次函数. .其中其中, x, x是自变量是自变量, ,a a, ,b b, ,c c分别是分别是二次项二次项系数系数、一次项系数一次项系数和和常数项常数项. .y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c (a,b,c都是常数都是常数,且且a0)一般地一般地, ,形如形如(1)(1)等号左边是函数等号左边是函数y y，右边是关于，右边是关于自变量自变量x x的的 (3) (3)等式右边的最高次数为等式右边的最高次数为 ，可以没有一次项和常数项可以没有一次项和常数项, ,但但 注意注意: :(2) a,b,c(2) a,b,c为常数，为常数，且且(4) (4) 自变量自变量x x的取值范围是的取值范围是 整式整式a0.a0.2 2任意实数任意实数y=axy=ax2 2+bx+c (a+bx+c (a、b b、c c为常数为常数,a0),a0)不能没有二次项不能没有二次项巩固巩固：判断下列解析式中判断下列解析式中, ,哪些是二次函哪些是二次函数数? ?为什么为什么? ?是的指出二次项和一次项的是的指出二次项和一次项的系数及常数项系数及常数项. .(9)y=mx+nx+p (m,n,p(9)y=mx+nx+p (m,n,p为常数）为常数）(10) y=3(x1)-3(11)y=(x+3)x想一想:当当a,b,c,a,b,c,满足什么条件时，满足什么条件时，(3)(3)它是正比例函数？它是正比例函数？(1)(1)它是二次函数？它是二次函数？(2)(2)它是一次函数？它是一次函数？二次函数的一般形式二次函数的一般形式: :二次函数的特殊形式：二次函数的特殊形式：当当b b0 0时，时， y yaxax2 2c c当当c c0 0时，时， y yaxax2 2bxbx当当b b0 0，c c0 0时，时， y yaxax2 2y=axy=ax2 2+bx+c (a,b,c+bx+c (a,b,c为常数为常数,a0),a0) 2 2、函数、函数 y=(m-n)x y=(m-n)x2 2+ mx+n + mx+n 是二次函是二次函 数的条件是数的条件是( )( ) A A、m,nm,n是常数是常数, ,且且m0 m0 B B、m,nm,n是常数是常数, ,且且n0n0 C C、m,nm,n是常数是常数, ,且且mn mn D D、m,nm,n为任何实数为任何实数C例例2. y=(m+3)x2. y=(m+3)xm m2 27 7m m取什么值时取什么值时, ,此函数是二次函数此函数是二次函数? ?(2)(2)当当k k取何值时取何值时, ,函数函数 是是一次函数一次函数;二次函数二次函数. .例题例题1 1: :(1)(1)已知二次函数已知二次函数 , , 求求m m的值的值. .看谁算得更快更准确看谁算得更快更准确!练习练习: :1.1.一个圆柱的高等于底面半径一个圆柱的高等于底面半径, ,写出写出它的表面积它的表面积 s s 与半径与半径 r r 之间的关之间的关系式系式, ,是函数关系吗？是哪种函数？是函数关系吗？是哪种函数？ 2. n2. n支球队参加比赛支球队参加比赛, ,每两队之间每两队之间进行一场比赛进行一场比赛, ,写出比赛的场次数写出比赛的场次数 m m与球队数与球队数 n n 之间的关系式之间的关系式. .例例2 2 用长为用长为2020米的篱笆米的篱笆, ,一面靠墙一面靠墙( (墙长超过墙长超过2020米米),),围成一个长方形围成一个长方形花圃花圃, ,如图所示如图所示. .设设ABAB的长为的长为x x米米, ,花花圃的面积为圃的面积为y y平方米平方米, ,求求y y关于关于x x的函的函数解析式及函数定义域数解析式及函数定义域. .例例3. 3. 三角形的两条边长的和为三角形的两条边长的和为9 cm9 cm，它，它们的夹角为们的夹角为3030 ，设其中一条边长为，设其中一条边长为x(cm)x(cm)，三角形的面积为，三角形的面积为y(cmy(cm2 2) )，试写出，试写出y y与与x x之间的函数解析式及定义域之间的函数解析式及定义域. .解：如图，三角形解：如图，三角形ABC中中AB和和BC边之边之和为和为9(cm),它们的夹角为它们的夹角为30度，设度，设AB为为x(cm)，则，则BC为为9-x(cm).再再过过A点做点做AD垂足垂足BC于于D点，则可得点，则可得三角形三角形ABC的面积为：的面积为： 小结小结 拓展拓展 1.1.定义：一般地定义：一般地, ,形如形如y=ax+bx+c(a,b,cy=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的函数叫做的函数叫做x x的的二次函数二次函数. .其中其中, ,是是x x自变自变量量,a,b,c,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项次项系数和常数项. .y=ax+bx+c(a,b,cy=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几种不同表示形的几种不同表示形式式: :(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0). 2.2.定义的实质是：定义的实质是：ax+bx+cax+bx+c是整式是整式, ,自变量自变量x x的最的最高次数是二次高次数是二次, ,自变量自变量x x的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数. . 1 1、将进货单价为、将进货单价为4040元的商品按元的商品按5050元卖出元卖出时时, ,就能卖出就能卖出500500个个, ,已知这种商品每涨已知这种商品每涨1 1元元, ,其销售量就会减少其销售量就会减少1010个个, ,设售价定为设售价定为X X元元(x(x50)50)时的利润为时的利润为Y Y元。试求出元。试求出Y Y与与X X的函数的函数关系式，并按所求的函数关系式计算出售关系式，并按所求的函数关系式计算出售定价为定价为8080元时所得利润元时所得利润、二次函数、二次函数 当当x=0x=0时，时，y=-2y=-2；当；当y=-2y=-2时，时，x=0x=0，求求y=2y=2时，时，x x的值。的值。 课后巩固课后巩固如果函数如果函数y= +kx+1是二次函数是二次函数,则则k的值一定是的值一定是_如果函数如果函数y=(k-3) +kx+1是二次是二次函数函数,则则k的值一定是的值一定是_ 00或或3如果函数如果函数y=(k-3) +kx+1 (x0)是一次函数是一次函数,则则k的值一定是的值一定是_3或或1或或2拓展与提高拓展与提高例例4.4.已知关于已知关于x x的二次函数的二次函数, ,当当x=x=1 1时时, ,函数值为函数值为10,10,当当x=1x=1时时, ,函数值为函数值为4,4,当当x=2x=2时时, ,函数值为函数值为7,7,求这个二次求这个二次函数的解析式函数的解析式 例例4.4.某果园有某果园有100100棵橙子树，每一棵树棵橙子树，每一棵树平均结平均结600600个橙子个橙子. .现准备多种一些橙子现准备多种一些橙子树以提高产量树以提高产量, ,但是如果多种树但是如果多种树, ,那么树那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少会减少. .根据经验估计根据经验估计, ,每多种一棵树每多种一棵树, ,平均每棵树就会少结平均每棵树就会少结5 5个橙子个橙子. .(1)(1)问题中有那些变量问题中有那些变量? ?(2)(2)假设果园增种假设果园增种x x棵橙子树棵橙子树, ,那么果那么果园共有多少棵橙子树园共有多少棵橙子树? ?这时平均每棵这时平均每棵树结多少个橙子树结多少个橙子? ?例例4.4.某果园有某果园有100100棵橙子树，每一棵树平均结棵橙子树，每一棵树平均结600600个橙子个橙子. .现准备多种一些橙子树以提高产量现准备多种一些橙子树以提高产量, ,但是如果多种树但是如果多种树, ,那那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. .根根据经验估计据经验估计, ,每多种一棵树每多种一棵树, ,平均每棵树就会少结平均每棵树就会少结5 5个橙个橙子子. .(1)(1)问题中有那些变量问题中有那些变量? ?(2)(2)假设果园增种假设果园增种x x棵橙子树棵橙子树, ,那么果园共有多少棵橙那么果园共有多少棵橙子树子树? ?这时平均每棵树结多少个橙子这时平均每棵树结多少个橙子? ?(3)(3)如果果园橙子的总产量为如果果园橙子的总产量为y y个个, ,那么请你写出那么请你写出y y与与x x之之 间的关系式间的关系式. .果园共有果园共有(100+x)(100+x)棵树棵树, ,平均每棵树结平均每棵树结(600(6005x)5x)个橙子个橙子y=(100+x)(600y=(100+x)(6005x)=5x)=5x+100x+600005x+100x+60000