第七节第七节 全概率公式全概率公式综合应用综合应用第七节第七节 全概率公式全概率公式用于计算比较复用于计算比较复杂事件的概率杂事件的概率加法公式加法公式乘法公式乘法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互不相容互不相容P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0( (一一) )全概率公式全概率公式例如例如 一场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到个球迷好不容易才搞到2张入场券张入场券.大家都想去，怎么办？大家都想去，怎么办？入入场场券券入入场场券券空空空空空空抽签！抽签！“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”“大家不必争先恐后，你们一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到一个按次序来，谁抽到入场券入场券的机会都一样大。的机会都一样大。”解：显然，第一个人抽到入场券的概率为解：显然，第一个人抽到入场券的概率为 入入场场券券入入场场券券空空空空空空下面，考虑下面，考虑第二个人抽到入场券第二个人抽到入场券的概率？的概率？设设A=第二个人抽到入场券第二个人抽到入场券分析：分析：A怎样发生的？怎样发生的？AB1AB2第一人抽到，第二人也抽到第一人抽到，第二人也抽到第一人未抽到，第二人抽到第一人未抽到，第二人抽到则则 AAB1+AB2且且 AB1和和AB2互不相容互不相容设设B1=第一人抽到入场券第一人抽到入场券, B2=第一人未抽到入场券第一人未抽到入场券则则 AAB1+AB2且且 AB1和和AB2互不相容互不相容所以所以 P(A)P(AB1)+P(AB2)运用加法公式得运用加法公式得P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)运用乘法运用乘法公式得公式得将公式一般化，就得到全概率公式将公式一般化，就得到全概率公式抽签不必争抽签不必争先恐后！先恐后！入入场场券券入入场场券券空空空空空空设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为。1. 1. 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式AAB1+AB2+ABnB1,B2,Bn为为互互不不相相容容的的完完备备事事件件组组(划划分分),且且P(Bi)0， i =1,2,n, 另有一事件另有一事件A, 则则 全概率公式的由来，不难由上式看出：全概率公式的由来，不难由上式看出：“全全”部概率部概率P(A)被分解成了许多部分之和。被分解成了许多部分之和。它的理论和实用意义在于：它的理论和实用意义在于：直接计算直接计算P(A)不容易时，考虑将事件不容易时，考虑将事件A进行分割，借助进行分割，借助样本空间样本空间的一个划分的一个划分B1, B1, , Bn将事件将事件A 分成分成AB1, AB1, , ABn ， 用所有的用所有的P(ABi)之和计算之和计算 P(A)，往，往 往可以简化计算。往可以简化计算。例例1 某工厂有某工厂有3个车间生成同一种产品，据以往记录个车间生成同一种产品，据以往记录有以下数据：有以下数据：车间车间 次品率次品率 提供份额提供份额 1 0.02 30 2 0.01 55 3 0.03 15现从出厂产品中任取一现从出厂产品中任取一件，问件，问恰好取到次品恰好取到次品的的概率是多少？概率是多少？目标事目标事件件解：设解：设A=取到的产品是次品取到的产品是次品分析：分析：A怎么发生的？怎么发生的？划分样本空间：划分样本空间：1，2，3个车间将样本空间分为三部分个车间将样本空间分为三部分合格品和次品将样本空间分为两部分合格品和次品将样本空间分为两部分(复杂！复杂！)2. 2. 全概率公式举例全概率公式举例全概率公式举例全概率公式举例车间车间 次品率次品率 提供份额提供份额 1 0.02 30 2 0.01 55 3 0.03 15Bi取到取到i车间的产品车间的产品 i1,2,3解：设解：设A=取到的产品是次品取到的产品是次品则则 AAB1+AB2+AB3A怎么发生的？怎么发生的？AB11车间的次品车间的次品2车间的次品车间的次品AB23车间的次品车间的次品AB3车间车间1应承担多少责任应承担多少责任?在实际生活中，还会遇到下面一类问题，是在实际生活中，还会遇到下面一类问题，是 这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。可能性大小。现从出厂产品中任取一件，现从出厂产品中任取一件，发觉该产品是次品而且其发觉该产品是次品而且其标志已脱落标志已脱落，厂方应如何，厂方应如何处理此事较为合理？处理此事较为合理？或者问或者问:“已知结果求原因已知结果求原因”？( (二二) )贝叶斯公式贝叶斯公式车间车间 次品率次品率 提供份额提供份额 1 0.02 30 2 0.01 55 3 0.03 15现从出厂产品中任取一件，现从出厂产品中任取一件，发发觉该产品是次品觉该产品是次品而且其标志已而且其标志已脱落，试求这件次品来自车间脱落，试求这件次品来自车间1的概率？的概率？车间车间 次品率次品率 提供份额提供份额 1 0.02 30 2 0.01 55 3 0.03 15结果已发生结果已发生Bi取到取到i车间的产品车间的产品 i1,2,3解：设解：设A=取到的产品是次品取到的产品是次品所求为所求为运用全概运用全概率公式率公式运用乘法公式运用乘法公式将公式一般化，就得到贝叶斯公式将公式一般化，就得到贝叶斯公式P(B1|A)设随机试验是样本空间为设随机试验是样本空间为。1. 1. 贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯公式B1,B2,Bn为为互互不不相相容容的的完完备备事事件件组组(划划分分), 且且P(Bi)0， i =1,2,n, 另有一事件另有一事件A, 则则 i =1,2,n, 说明：说明：2)贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们3)确定某结果确定某结果(事件事件A)发生的最可能的原因。发生的最可能的原因。1)该公式由贝叶斯该公式由贝叶斯(Bayes)给出。给出。2)他是在观察到事件他是在观察到事件A已发生的条件已发生的条件3)下，寻找导致下，寻找导致A发生的每个原因的发生的每个原因的4)概率。贝叶斯公式的思想就是概率。贝叶斯公式的思想就是“执果溯因执果溯因”。全概率。全概率5)公式的思想是公式的思想是“由因推果由因推果”。P(B2|A)2. 2. 贝叶斯公式举例贝叶斯公式举例贝叶斯公式举例贝叶斯公式举例0.70.90.10.1“”“”“”“”例例2 无线通信中，由于随无线通信中，由于随机干扰，当发送信号机干扰，当发送信号“”时，未必收到信时，未必收到信号号“” ，如果整个发报过程中，信号如果整个发报过程中，信号“”和和“” 分别占分别占60%和和40%， 当当收到收到“不清不清”时，时，求原发信号为求原发信号为“”与与“”的概率分别有多大？的概率分别有多大？“不清不清”0.20结果已发生结果已发生解：解：A收到信号收到信号“不清不清”AB1发出发出“”, 收到收到“不清不清”发出发出“”，收到，收到“不清不清”AB2B1发出信号发出信号“”，B2发出信号发出信号 “”所求为所求为 P(B1|A)， 例例 3 (疾病普查问题疾病普查问题)某一地区患有某一地区患有癌症的人占癌症的人占0.005，患者对一种试验，患者对一种试验反应是阳性的概率为反应是阳性的概率为0.95，正常人对，正常人对这种试验反应是阳性的概率为这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，现抽查了一个人，试验结果是阳性，试验结果是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大问此人是癌症患者的概率有多大?解解: 设设 A 试验结果是阳性试验结果是阳性，AB1有疾病，阳性有疾病，阳性无疾病，阳性无疾病，阳性AB2B1抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症B2抽查的人不患有癌症抽查的人不患有癌症所求为所求为 P(B1|A)依题意有依题意有P(B1)=0.005P(B2)=0.995P(A|B1)=0.95P(A|B2)=0.04现在来分析一下结果的意义：现在来分析一下结果的意义：2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？如果不做试验，抽查一人，他是患者的如果不做试验，抽查一人，他是患者的概率概率 P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为为 P(CA)= 0.1066 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义。有意义。从从0.005增加到增加到0.1066,将近增加约将近增加约21倍。倍。1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？提示提示2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，平均来说，1000个个人中大约只有人中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通，此时医生常要通过再试验来确认过再试验来确认. 下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式 贝叶斯公式贝叶斯公式P(Bi)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道是在没有进一步信息（不知道事件事件A是否发生）的情况下，人们对诸事件发生是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识。可能性大小的认识。当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发发生），人们对诸事件发生可能性大小生可能性大小P(Bi | A)有了新的估计。有了新的估计。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。先验概率先验概率后验概率后验概率在不了解案情细节在不了解案情细节(事件事件A)之前，侦破人员根据过去之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某甲，比如原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯。现在变成了重点嫌疑犯。例如，某地发生了一个案件，怀例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人。疑对象有甲、乙、丙三人。甲甲乙乙丙丙P(B1) P(B2) P(B3)但在知道案情细但在知道案情细节后节后, 这个估计这个估计就有了变化。就有了变化。P(B1 | A)知道知道A发生后发生后P(B2 | A) P(B3 | A)最大最大偏小偏小这一讲我们介绍了这一讲我们介绍了全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式 它们是它们是加法公式加法公式和和乘法公式乘法公式的综合运用，的综合运用，同学们可通过进一步的练习去掌握它们。同学们可通过进一步的练习去掌握它们。( (三三) ) 小结小结1) 全概率公式全概率公式主要用在事件主要用在事件A的发生有各种可能的的发生有各种可能的原因原因Bi，这里，这里B1, B2, , Bn互斥。互斥。第一种原因第一种原因B1可能导致事件可能导致事件A发生，发生，即：即：AB1第二种原因第二种原因B2可能导致事件可能导致事件A发生，发生，即：即：AB2第第n种原因种原因Bn可能导致事件可能导致事件A发生，发生，即：即：ABn则事件则事件A发生的概率就可以由全概率公式计算。发生的概率就可以由全概率公式计算。2) 贝叶斯公式贝叶斯公式主要用在事件主要用在事件A已发生的情况下，考虑各种可已发生的情况下，考虑各种可能的原因能的原因Bi， 有三个箱子，装球情况如下：有三个箱子，装球情况如下：1）1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球；个白球；2）2号箱装有号箱装有2个红球个红球3个白球；个白球；3）3号箱装有号箱装有3个红球。个红球。从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球， 求：求：1) 求摸出红球的概率求摸出红球的概率; 2)若发现摸出的若发现摸出的是红球，求该球是来自是红球，求该球是来自1号箱的号箱的 概概 率。率。思考练习思考练习思考练习思考练习敏感性问题的调查敏感性问题的调查 调查方案核心是如下两个问题：调查方案核心是如下两个问题：A A：你的生日是否在：你的生日是否在7 7月月1 1日之前日之前( (不含不含7 7月月1 1日日) )？B B：你是否在比赛前服用过违禁药品？：你是否在比赛前服用过违禁药品？ 被调查者只需回答其中一个问题，至于回答哪一被调查者只需回答其中一个问题，至于回答哪一个问题，摸球确定个问题，摸球确定. 从一罐中随机取出一球，若白球，从一罐中随机取出一球，若白球，回答问题回答问题A；若红球，回答问题；若红球，回答问题B. 不管是回答不管是回答问题问题A还是还是B，只需在答卷上认可的方框内打勾，然，只需在答卷上认可的方框内打勾，然后将答卷放入投票箱后将答卷放入投票箱.答卷答卷是是否否(在无人屋中自己完成在无人屋中自己完成)例例 罐中有罐中有50个球，其中个球，其中30个红球，某省在五天内安个红球，某省在五天内安排了排了15个项目的运动员个项目的运动员246名参加调查，最后开箱统名参加调查，最后开箱统计，答卷全部有效，其中回答计，答卷全部有效，其中回答“是是”的有的有54张，问该张，问该省大约有多少名运动员赛前服用过违禁药品省大约有多少名运动员赛前服用过违禁药品.解：解： 设事件设事件A表示答表示答“是是”，分析：分析：A怎么发生的？怎么发生的？取到白球，取到白球，回答问题回答问题A取得红球，回答问题取得红球，回答问题B情况情况1情况情况2设事件设事件B1表示取到白球，表示取到白球，B2表示取到红球表示取到红球则则即即