一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式及根与系数的关系及根与系数的关系 初三数学初三数学主讲教师主讲教师: :李绿江李绿江1A由解方程引入由解方程引入:解方程: x2x10 b24ac145 x24x40 b24ac16160 2x23x40 b24ac9320 此方程无实数根,可见,由b24ac的值,可以判断方程根的情况.2B新课新课:一、判别式一、判别式1.方程方程ax2 bx c 0(a 0)根的判别式是根的判别式是:b2 4ac.1b2 4ac 0 方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根 2b2 4ac 0 方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根 3b2 4ac 0 方程没有实数根方程没有实数根.32、判别式的应用 1直接判断一元二次方程根的情况;2由题目给出的一元二次方程根的情况,求出a、b、c 中待定系数的值或取值范围.例1 不解方程,判断以下方程根的情况.12x23x10235x27x504kx2(2k1)xk10(k0)412x23x10235x27x504kx2(2k1)xk10(k0)解1(3)2421980 方程1有两个不等的实根. 2 方程2有两个相等的实数根. 3(7)245549100 0 方程3无实数根. 4(2k1)24k(1k) 4k24k14k4k28 k210 无论k为何值均有8 k210 方程4有两个不等实根. 5今后遇到二次方程马上先由判断一下根的情况这是解题 的良好习惯.6例例2 关关于于x的的方方程程(m 2)x2 2(m 1)x m 1 0在在以以下下条条件件下下, 分别求分别求m的非负整数值的非负整数值.1方程只有一个实数根；方程只有一个实数根；2方程有两个相等的实数根；方程有两个相等的实数根；3方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根.解解 : 1 当当 m 2 0即即 m 2时时 方方 程程 为为 一一 元元 一一 次次 方方 程程 2x 3 0, 即即m 2时时,方程只有一个实数根方程只有一个实数根.72当方程有两个相等的实根时,必须且只需 解出 m3时,方程有两个相等的实数根.3当方程有两个不相等实数根时,必须且只需 解出 又m是非负整数 m0或m1 小结:使用时必须在a0的前题下. 8例例3. m取什么值时取什么值时,关于关于x的方程的方程2x2 (m 2)x 2m 2 0有两个相等的实数根？有两个相等的实数根？并求出这时方程的根并求出这时方程的根.解:方程有两个相等的实数根,(m2)28(2m2)m212m20(m2)(m10)0m12 m210当m12时 当m210时所求m2或m10 ,方程的根为1或3.9例例4 求证求证:无论无论a为任何实数为任何实数,关于关于x的方程的方程x2 (2a 1)x a 3 0总有两个不相等的实数根总有两个不相等的实数根.证:(2a1)24(a3)4a28a134(a1)29即0无论a为任何实数 (a1)20 4(a1)290无论a为任何实数,方程x2(2a1)xa30总有两个不等实根.由例4可知:要说明0常将它配成完全平方式正数.观察下表.10方程x1x2x1x2x1x2x22x00220x23x404134x25x602356观察两根之和,两根之积与a、b、c的关系;两根之和一次项系数的相反数;两根之积常数项.11推广 方程ax2bxc0(a0 b24ac0)变形为 由求根公式 与上述观察结果对比,可得到根系关系.12二、根系关系二、根系关系1 1、关关于于x x的的方方程程ax2ax2 bxbx c c 0(a0(a 0,b20,b2 4ac4ac 0)0)的的两两根根x1x1、x2x2与系数与系数a a、b b、c c的关系是的关系是: : 注注: :应用根系关系的前题是应用根系关系的前题是a a 0 0且且0 02 2、根系关系的应用、根系关系的应用: :1 1方程的一根方程的一根, ,求另一根及字母系数的值求另一根及字母系数的值. .2 2两根之间的关系两根之间的关系, ,确定方程中字母系数的值确定方程中字母系数的值. .13例例5 方程方程 的一个根是的一个根是 1,求求k及另一根及另一根解法一解法一:设方程的另一根为设方程的另一根为x1所求所求 ,14解法二 1是方程的根 方程为 x21所求 另一根为引申:假设 x21 那么对应的方程是什么？即以 ,1为根的方程为 015例例6 方方程程x2 (m 1)x 2m 1 0求求m满满足足什什么么条条件件时时,方方程程的的两两根根互互为为相相反反数数？方方程程的的两两根根互互为为倒倒数数？方程的一根为零？方程的一根为零？解:(m1)24(2m1)m26m5两根互为相反数 两根之和m10,m1,且0 m1时,方程的两根互为相反数.16两根互为倒数 m26m5, 两根之积2m11 m1且0, m1时,方程的两根互为倒数.方程一根为0, 两根之积2m10 且0, 时,方程有一根为零.17引申:1、假设ax2bxc0 (a0 0)1假设两根互为相反数,那么b0;2假设两根互为倒数,那么ac;3假设一根为0,那么c0 ;4假设一根为1,那么abc0 ;5假设一根为1,那么abc0;6假设a、c异号,方程一定有两个实数根.18引申2 假设a、b是方程x22x70的两个实数根,求:a2b2 a23b24b a35b2b76的值.解:由根系关系ab2,ab7,a272a b272b,a2b2=(ab)22ab41418.a23b24b(72a)3(72b)4b2(ab)282(2)2832.a35b2b76aa25b2b76a(72a)5(72b)b76 7a2a23511b76 7a2(72a)3511b76 11(ab)497611(2)49765.19