1 1、正规矩阵定义：、正规矩阵定义：下列类型的矩阵都是正规矩阵：下列类型的矩阵都是正规矩阵：实对称矩阵实对称矩阵 AT=A;反实对称矩阵反实对称矩阵 AT=-A;正交矩阵正交矩阵 AT=A-1;酉矩阵酉矩阵 AH=A-1;Hermite矩阵矩阵 AH=A;反反Hermite矩阵矩阵 AH=-A;对角矩阵对角矩阵设设满足满足第三节第三节 正规矩阵与酉对角化正规矩阵与酉对角化2021/3/2912、酉相似、酉相似2021/3/2923 3、Schur Schur 定理定理（1 1）任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵。即）任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵。即2021/3/293Schur Schur 定理定理（2 2）任意实方阵正交相似于一个上三角矩阵。即）任意实方阵正交相似于一个上三角矩阵。即2021/3/294引理引理 正规上三角矩阵是对角矩阵正规上三角矩阵是对角矩阵证明证明 设设n n阶矩阵阶矩阵A A是正规上三角矩阵，则是正规上三角矩阵，则2021/3/295比较等式两边，可得比较等式两边，可得2021/3/296定理定理 ，则，则A A酉相似于一个对角矩阵的充分必要酉相似于一个对角矩阵的充分必要条件是条件是A A为正规矩阵，即为正规矩阵，即证明证明 必要性必要性2021/3/297充分性充分性由由schurschur定理知，定理知，A A酉相似于一个上三角矩阵酉相似于一个上三角矩阵T T，2021/3/298正规矩阵的性质：正规矩阵的性质：1 1、正规矩阵有、正规矩阵有n n个线性无关的特征向量；个线性无关的特征向量；2 2、正规矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的；、正规矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的；3 3、与正规矩阵酉相似的矩阵都是正规矩阵。、与正规矩阵酉相似的矩阵都是正规矩阵。2021/3/299解解 显然显然A A满足满足求得对应的线性无关特征向量求得对应的线性无关特征向量例例1 1 判断判断A A是否为正规矩阵，如果是，将其酉对角化是否为正规矩阵，如果是，将其酉对角化即即A A是是HermiteHermite矩阵，从而是正规阵矩阵，从而是正规阵由由得得A A的特征值的特征值2021/3/2910即酉变换矩阵为即酉变换矩阵为 则则 经过验证它们两两正交。经过验证它们两两正交。因此，只需将它们单位化得：因此，只需将它们单位化得：实际上，对于正规矩阵来说，属于不同特征值的特征向实际上，对于正规矩阵来说，属于不同特征值的特征向量相互正交。量相互正交。2021/3/2911正定矩阵正定矩阵如果对于任意非如果对于任意非0 0的向量的向量X，成立，成立 f (X)=XHAX 00则称二次型则称二次型f (X)是正定二次型，称是正定二次型，称A A为正定矩阵为正定矩阵. .定理定理 设设A A是是n n阶阶HermiteHermite矩阵，则下列命题等价矩阵，则下列命题等价（1 1） A A是正定矩阵。是正定矩阵。（2 2） A A与单位矩阵合同。与单位矩阵合同。（3 3） A A的的n n个特征值全是正数。个特征值全是正数。（4 4） A=Q A=QH HQ Q，Q Q是可逆矩阵。是可逆矩阵。（5 5） A A的顺序主子式都大于的顺序主子式都大于0 0。2021/3/2912例例 判断矩阵的正定性判断矩阵的正定性提示：矩阵提示：矩阵A A为为HermiteHermite矩阵，只需求出其特征值，若特征矩阵，只需求出其特征值，若特征值有三个，且全为正数，值有三个，且全为正数，A A是正定矩阵。是正定矩阵。2021/3/2913推论：推论： 设设A A是是n n阶正定的阶正定的HermiteHermite矩阵，则矩阵，则（1 1） A A-1-1也是正定矩阵。也是正定矩阵。（2 2） detA0 detA0（3 3） trA trA大于每个特征值大于每个特征值2021/3/2914 定理定理证明证明 设设 是是AHA的特征值，的特征值，x是相应的特征向量，是相应的特征向量，则则 AHAx= x由于由于AHA为为Hermite 矩阵，故矩阵，故 是实数。又是实数。又同理可证同理可证AAH的特征值也是非负实数。的特征值也是非负实数。2021/3/2915证明证明 设设x是方程组是方程组AHAx=0的非的非0 0解解，定理定理 则由则由得得2021/3/2916