4.3 4.3 空间直角坐标系空间直角坐标系1问题引入问题引入 1 1数轴数轴Ox上的点上的点M，用代数的方法怎样表示呢，用代数的方法怎样表示呢？ 2 2直角坐标平面上的点直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？，怎样表示呢？ 数轴数轴Ox上的点上的点M，可用与它对应的实数，可用与它对应的实数x表示；表示； 直角坐标平面上的点直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数，可用一对有序实数(x，y)表示表示xOyAOxxM(x,y)xy2问题引入问题引入 3 3怎样确切的表示室内灯泡的位置？怎样确切的表示室内灯泡的位置？3yxz 1. 如图，如图， 是单位正方体以是单位正方体以O为原点，为原点，分别以射线分别以射线OA,OC, 的方向为正方向，以线段的方向为正方向，以线段OA,OC, 的长为单位长，建立三条数轴：的长为单位长，建立三条数轴：x轴、轴、y 轴、轴、z 轴这时我们轴这时我们说建立了一个说建立了一个空间直角坐标系空间直角坐标系 ，其中点，其中点O 叫做坐标叫做坐标原点，原点， x轴、轴、y 轴、轴、z 轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、平面、yOz平面、平面、zOx平面平面一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系ABCO4面面面面 面面O空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限2.2.空间直角坐标系的划分空间直角坐标系的划分5 右手直角坐标系右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向拇指指向 x 轴的正方向，食指指向轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如轴的正方向，如果中指指向果中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系角坐标系3.右手直角坐标系右手直角坐标系Oxyz1116 方法一方法一: : 设点设点M是空间的一个定点，过点是空间的一个定点，过点M分别分别作垂直于作垂直于x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴的平面，依次交轴的平面，依次交x 轴、轴、y 轴轴和和z 轴于点轴于点P、Q和和R4.空间直角坐标系下点空间直角坐标系下点M的坐标的坐标yxzMO 设点设点P、Q和和R在在x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴上的坐标分别轴上的坐标分别是是x，y和和z，那么点，那么点M就对应唯一确定的有序实数组就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）MRQP7yxzPMQOMR空间一点空间一点M的坐标可以用有序实数组（的坐标可以用有序实数组（x，y，z）来表）来表示，有序实数组（示，有序实数组（x，y，z）叫做点）叫做点M 在此在此空间直角坐空间直角坐标系中的坐标标系中的坐标，记作，记作M（x，y，z）其中）其中x叫做点叫做点M的的横坐标横坐标，y叫做点叫做点M的的纵坐标纵坐标，z叫做点叫做点M的的竖坐标竖坐标8111MM0xyz方法方法二二：过：过M M点作点作xyxy面的垂线，垂足为面的垂线，垂足为M M0 0点。点点。点M M0 0在坐标系在坐标系xOyxOy中的坐标中的坐标x x、y y依次是依次是M M点的点的x x坐标、坐标、y y坐标。再过坐标。再过M M点作点作z z轴轴的垂线，垂足的垂线，垂足M M1 1在在z z轴上的坐标轴上的坐标z z就是就是M M点的点的z z坐标。坐标。M M点坐标为点坐标为 (x,y,z)M19yxzABCO OABCABCD是单位正方体以是单位正方体以O为原点，分别以射为原点，分别以射线线OA,OC, OD的方向为正方向，以线段的方向为正方向，以线段OA,OC, OD的长为单的长为单位长，建立位长，建立空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz试说出正方体的各个顶点试说出正方体的各个顶点的坐标并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上的坐标并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上练一练练一练(0，0，0)(1，0，0)(1，1，0)(0，1，0)(1，0，1)(1，1，1)(0，1，1)(0，0，1)10小提示：小提示：坐标轴坐标轴上的点至少有两个坐上的点至少有两个坐标等于标等于0；坐标面上；坐标面上的点至少有一个坐标的点至少有一个坐标等于等于0。点的位置原点OX轴上AY轴上BZ轴上C点的位置XO Y面内DYO Z面内EX OZ面内FOxyz111ADCBEF(0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)5 5 特殊位置的点的坐标特殊位置的点的坐标11 例例1 如下图，在长方体如下图，在长方体 中，中， ， ，写出四点，写出四点D，C，A，B的坐标的坐标解解： 在在z 轴上，且轴上，且 ，它的竖坐标是，它的竖坐标是2；它的横坐；它的横坐标标x与纵坐标与纵坐标y都是零，所以点都是零，所以点 的坐标是（的坐标是（0，0，2） 点点C 在在y 轴上，且轴上，且 ，它的纵坐标是，它的纵坐标是4；它的横；它的横坐标坐标x与竖坐标与竖坐标z 都是零，所以点都是零，所以点C的坐标是（的坐标是（0，4，0） 同理，点同理，点 的坐标是（的坐标是（3，0，2）OyxzACB典型例题典型例题12 例例1 如下图，在长方体如下图，在长方体 中，中， ， ，写出四点，写出四点D，C，A，B的坐标的坐标OyxzACB典型例题典型例题 解：解：点点B在平面上的射影是在平面上的射影是B，因此它的横坐标，因此它的横坐标x与纵坐与纵坐标标y同点同点B的横坐标的横坐标x与纵坐标与纵坐标y 相同在相同在xOy平面上，点平面上，点B 横横坐标坐标x=3，纵坐标，纵坐标y=4；点；点B在在z轴上的射影是轴上的射影是D，它的竖坐标，它的竖坐标与点与点D的竖坐标相同，点的竖坐标相同，点D的竖坐标的竖坐标z=2 所以点所以点B的坐标是（的坐标是（3，4，2）13 已知平面上两点已知平面上两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )， P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )，如何，如何求求P P1 1 P P2 2的距离的距离| P| P1 1 P P2 2 | |呢呢? ?两点间的距离两点间的距离Q(x(x2 2,y,y1 1) )yxoP1P2(x(x1 1,y,y1 1) )(x(x2 2,y,y2 2) )14二、空间两点间的距离15空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离16解解设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为1718192021