基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结第8讲函数与方程基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结最新考纲1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结知 识 梳 理1函数的零点(1)函数的零点的概念对于函数yf(x)，把使 的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)函数的零点与方程的根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与 有交点函数yf(x)有 f(x)0零点x轴基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线； ；则函数yf(x)在(a，b)上存在零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根f(a)f(b)0基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结2二分法(1)定义：对于在区间a，b上连续不断且 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法f(a)f(b)0一分为二零点基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结(2)给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a，b)的中点c；计算f(c)；()若f(c)0，则c就是函数的零点；()若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；()若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复.基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结3(2014湖北七市(州)联考)已知函数f(x)与g(x)的图象在R上连续不断，由下表知方程f(x)g(x)有实数解的区间是 ()A.(1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3)x10123f(x)0.6773.0115.4325.9807.651g(x)0.5303.4514.8905.2416.892基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结解析记h(x)f(x)g(x)，依题意，注意到h(0)0，h(1)0，因此函数h(x)的零点属于(0,1)，即方程f(x)g(x)有实数解的区间是(0,1)，故选B.答案B基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结4(人教A必修1P92A1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()答案A基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结解析(1)f(x)exx4，f(x)ex10，函数f(x)在R上单调递增，对于A项，f(1)e1(1)45e10，f(0)30，f(1)f(0)0，A不正确；同 理 可 验 证 B， D不 正 确 ， 对 于 C项 ，f(1)e14e30，f(2)e224e220，f(1)f(2)0.故f(x)的零点位于区间(1,2)基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结答案(1)C(2)D基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结规律方法(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结答案(1)B(2)B基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结答案B基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结解(1)法一g(x)x22e，图1等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则yg(x)m就有零点基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结图2基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结规律方法函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1，故选D.答案(1)C(2)D基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结考点三与二次函数有关的零点问题【例3】 (2014余姚中学模拟)是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结规律方法解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结【训练4】 已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围解法一设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结法二函数图象大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，2a1.故实数a的取值范围是(2,1).基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结思想方法1判定函数零点的常用方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.2研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点3转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题基础诊断基础诊断考点突破考点突破课堂总结课堂总结 易错防范1函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象