导数的应用导数的应用(理理)一、复习目标一、复习目标 了解可导函数的单调性与其导数的关系了解可导函数的单调性与其导数的关系. 了解可导函数在某了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件点取得极值的必要条件和充分条件( (导数在极值点两侧异号导数在极值点两侧异号) ), 会求一些实际问题会求一些实际问题( (一般指单峰函数一般指单峰函数) )的最大值和最小值的最大值和最小值.二、重点解析二、重点解析 对于可导函数对于可导函数 f(x), 先求出先求出 f (x), 利用利用 f (x)0(或或0, 则则 y=f(x) 为为增增函数函数, 如果如果 f (x)0(x 0). 显然显然 f(x)=x3 在在 (- -1, 1) 上仍旧是增函数上仍旧是增函数. 极大值与极小值极大值与极小值统称为统称为极值极值. 是函数是函数 f(x) 的一个的一个极小值极小值, 记作记作: y极小值极小值=f(x0), 如果对如果对 x0附近的所有点附近的所有点, 都有都有 f(x)f(x0), 就说就说 f(x0) 2.函数极值的定义函数极值的定义 设函数设函数 f(x) 在点在点 x0 及其附近有定义及其附近有定义, 如果对如果对 x0 附近的所有点附近的所有点, 都有都有 f(x)0, 右侧右侧 f (x)0, 那么那么 f(x0) 是是极大值极大值 ; (2)如果在如果在 x0 附近的左侧附近的左侧 f (x)0, 那么那么 f(x0) 是是极小值极小值 . 一般地一般地, 当函数当函数 f(x) 在点在点 x0 处连续时处连续时4.求可求可导函数函数 f(x) 的极的极值的步的步骤:(1)确定函数的定确定函数的定义域域;(3)求方程求方程 f (x)=0 的根的根;5.函数的函数的最大值与最小值最大值与最小值 在闭区间在闭区间 a, b 上连续的函数上连续的函数 f(x) 在在 a, b 上必有最大值与最上必有最大值与最小值小值. 但在开区间但在开区间 (a, b) 内连续的函数内连续的函数 f(x) 不一定有最大值与最不一定有最大值与最小值小值, 例如例如 f(x)=x, x (- -1, 1).6.设函数设函数 f(x) 在在 a, b 上连续上连续, 在在 (a, b) 内可导内可导, 求求 f(x) 在在 a, b上的上的最大值与最小值的最大值与最小值的步骤如下步骤如下: (1)求求 f(x) 在在 (a, b) 内的极值内的极值; (2)将将 f(x) 的各极值与的各极值与 f(a), f(b) 比较比较, 其中最大的一个是其中最大的一个是最大最大值值, 最小的一个是最小值最小的一个是最小值.(2)求求导数数 f (x); (4)检查 f (x) 在方程在方程 f (x)=0 的根左右的的根左右的值的符号的符号, 如果左正如果左正右右负, 那么那么 f(x) 在在这个根个根处取得极大取得极大值; 如果左如果左负右正右正, 那么那么 f(x) 在在这个根个根处取得极小取得极小值.典型例题典型例题 1 已知已知 a R, 求函数求函数 f(x)=x2eax 的单调区间的单调区间. 解解: 函数函数 f(x) 的的导数导数 f (x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax. (1)当当 a=0 时时, 由由 f (x)0 得得 x0 得得 x0. f(x) 的单调递减区间为的单调递减区间为 (-, 0), 单调递增区间为单调递增区间为 (0, +),(2)当当 a0 时时, 由由 f (x)0 得得 - - x0 得得 x0. f(x) 的单调递减区间为的单调递减区间为 (- - , 0); 2af(x) 的单调递增区间为的单调递增区间为 (-, - - ) 和和 (0, +). 2a(3)当当 a0 时时, 由由 f (x)0 得得 x- - ; 2a由由 f (x)0 得得 0x- - . 2af(x) 的单调递减区间为的单调递减区间为 (-, 0) 和和 (- - , +); 2af(x) 的单调递增区间为的单调递增区间为 (0, - - ). 2a典型例题典型例题 2 已知已知 a 为实数为实数, f(x)=(x2- -4)(x- -a). (1)求导函数求导函数 f (x); (2)若若 f (- -1) =0, 求求 f(x) 在在 - -2, 2 上的最大值和最小值上的最大值和最小值; (3)若若 f(x) 在在 (-, - -2和和 2, +) 上都是递增的上都是递增的, 求求 a 的取值范围的取值范围.解解: (1)由已知由已知 f(x)=x3- -ax2- -4x+4a, f (x)=3x2- -2ax- -4.(2)由由 f (- -1)=0 得得, a= . 12f (x)=3x2- -x- -4.由由 f (x)=0 得得, x=- -1 或或 . 43f(- -2)=0, f(- -1)= , f( )=- - , f(2)=0, 92432750 f(x) 在在 - -2, 2 上的最大值为上的最大值为 , 最小值为最小值为 - - .922750(3) f (x) 的图象为开口向上的抛物线且过点的图象为开口向上的抛物线且过点 (0, - -4), 由题设得由题设得 f (- -2)0 且且 f (2)0 . 8+4a0 且且 8- -4a0. -2a2. 故故 a 的取值范围是的取值范围是 - -2, 2. 典型例题典型例题 3 解解: (1)函数函数 f(x) 的定义域为的定义域为 (- -1, +). f (x)= - -1, 1+x 1 令令 f (x)=0 得得 x=0. 当当 - -1x0; 当当 x0 时时, f (x)0. 又又 f(0)=0, 故当且仅当故当且仅当 x=0 时时, f(x) 取得最大值取得最大值, 最大值为最大值为 0. (2)由题设由题设 g (x)=lnx+1. 设设 F(x)=g(a)+g(x)- -2g( ), a+x 2 已知函数已知函数 f(x)=ln(1+x)- -x, g(x)=xlnx. (1)求求函数函数 f(x) 的最大值的最大值; (2)设设 0ab, 证明证明: 0g(a)+g(b)- -2g( )(b- -a)ln2.a+b 2则则 F (x)=lnx- -ln , a+x 2当当 0xa 时时, F (x)a 时时, F (x)0, F(x) 在在(a, +) 上为增函数上为增函数. 从而当从而当 x=a 时时, F(x) 取极小值取极小值 F(a)=0. ba, F(b)0. 00 时时, G (x)a, G(a)=0, G(b)0. F(b)(b- -a)ln2. 即即 g(a)+g(b)- -2g( )(b- -a)ln2.a+b 2a+b 20g(a)+g(b)- -2g( )(b- -a)ln2.典型例题典型例题 4 设设 t 0, 点点 P(t, 0) 是函数是函数 f(x)=x3+ax与与 g(x)=bx2+c 的图象的一的图象的一个公共点个公共点, 两函数的图象在点两函数的图象在点 P 处有相同的切线处有相同的切线. (1)用用 t 表示表示 a, b, c; (2)若函数若函数 y=f(x)- -g(x) 在在 (- -1, 3) 上单调递减上单调递减, 求求 t 的取值范的取值范围围.解解: (1)函数函数 f(x) 的图象过点的图象过点 P(t, 0), f(t)=0t3+at=0.t 0, a=- -t2.又又函数函数 g(x) 的图象也过点的图象也过点 P(t, 0), g(t)=0bt2+c=0. c=ab.两函数的图象在点两函数的图象在点 P 处有相同的切线处有相同的切线, f (t)=g (t).而而 f (x)=3x2+a, g (x)=2bx,3t2+a=2bt.将将 a=- -t2 代入上式得代入上式得 b=t. c=ab=- -t3.综上所述综上所述, a=- -t2, b=t, c=- -t3.(2)方法一方法一 y=f(x)- -g(x)=x3- -tx2- -t2x+t3. y =3x2- -2tx- -t2=(3x+t)(x- -t). 当当 y =(3x+t)(x- -t)0 时时, y=f(x)- -g(x)为减函数为减函数.由由 y 0, 则则 - - xt; 若若 t0, 则则 tx- - . 3t 3t 函数函数 y=f(x)- -g(x) 在在(- -1, 3) 上单调递减上单调递减, (- -1, 3) (- - , t) 或或 (- -1, 3) (t, - - ).3t 3t t3 或或 - - 3.3t t3 或或 t- -9.t 的取值范围是的取值范围是 (-, - -93, +). (2)方法二方法二 y=f(x)- -g(x)=x3- -tx2- -t2x+t3. y =(3x+t)(x- -t). 函数函数 y=f(x)- -g(x) 在在 (- -1, 3) 上单调递减上单调递减, y =(3x+t)(x- -t)的图象是开口向上的抛物线的图象是开口向上的抛物线, y =(3x+t)(x- -t)0 对于对于 x (- -1, 3) 恒成恒成立立. 则则 y |x=- -10 且且 y |x=30. 即即 (- -3+t)(- -1- -t)0 且且 (9+t)(3- -t)0. 解得解得 t3 或或 t- -9.t 的取值范围是的取值范围是 (-, - -93, +). 典型例题典型例题 5 已知函数已知函数 f(x)=ax3+cx+d (a 0) 是是 R 上的奇函数上的奇函数, 当当 x=1 时时, f(x) 取得极值取得极值 - -2. (1)求求 f(x) 的单调区间和极大值的单调区间和极大值; (2)证明证明: 对任对任意意x1, x2 (- -1, 1), 不等式不等式 |f(x1)- -f(x2)|4 恒成立恒成立.(1)解解:函数函数 f(x) 是是 R 上的奇函数上的奇函数, f(- -x)=- -f(x), 即即 - -ax3- -cx+d=- -ax3- -cx- -d 对对 x R 恒成立恒成立. d=0. f(x)=ax3+cx, f (x)=3ax2+c.当当 x=1 时时, f(x) 取得极值取得极值 - -2, f(1)=- -2 且且 f (1)=0. a+c=- -2 且且 3a+c=0. a=1, c=- -3. f (x)=3x2- -3. 由由 f (x)0 得得 - -1x0 得得 x1. f(x) 在在 (-, - -1) 上是增函数上是增函数, 在在 (- -1, 1) 上是减函数上是减函数, 在在 (1, +) 上是增函数上是增函数. 当当 x=- -1 时时, f(x) 取得极取得极大大值值 f(- -1)=2.故故函数函数 f(x) 的单调递减区间是的单调递减区间是 (- -1, 1), 单调递增区间是单调递增区间是(-, - -1) 和和(1, +); f(x) 的极大值为的极大值为 2. 典型例题典型例题 5 已知函数已知函数 f(x)=ax3+cx+d (a 0) 是是 R 上的奇函数上的奇函数, 当当 x=1 时时, f(x) 取得极值取得极值 - -2. (1)求求 f(x) 的单调区间和极大值的单调区间和极大值; (2)证明证明: 对任对任意意x1, x2 (- -1, 1), 不等式不等式 |f(x1)- -f(x2)|4 恒成立恒成立.(2)证证: 由由 (1) 知知 f(x)=x3- -3x 在在 - -1, 1 上是减函数上是减函数, 且且 f(x) 在在 - -1, 1 上的最大值上的最大值 M=f(- -1)=2, f(x) 在在 - -1, 1 上的最小值上的最小值 m=f(1)=- -2, 对任意对任意x1, x2 (- -1, 1), 不等式不等式 |f(x1)- -f(x2)|0, u(x) 是是 0, 1 上的增函数上的增函数. 0ue. f(u)=(u- -1)2- -4, g(x) 在在 0, 1 上的值域是上的值域是 - -4, e2- -2e- -3. (3)设设 P(x1, y1), Q(x2, y2) 为为曲线曲线 y=f(ex) 上任两点上任两点, 不妨不妨 x1x2. 解得解得 a0. x1- -x2a+ . y1- -y2 x1- -x2 y1- -y2(x1- -x2)(a+ ), 即即 1af(ex1)- -f(ex2)(x1- -x2)(a+ ), 亦即亦即 1af(ex1)- -x1(a+ )f(ex2)- -x2(a+ ) 恒成立恒成立. 1a1a函数函数 h(x)=f(ex)- -x(a+ ) 是增函数是增函数. 1ah (x)=f (ex)- -(a+ )0 恒成立恒成立. 1a a+ (2ex- -2)ex=2(ex- - )2- - 恒成立恒成立. 1a1212而而 2(ex- - )2- - 当当 x=ln 时取最小值时取最小值 - - , 121212121a a+ - - . 122a2+a+2 a即即 0. 故故 a 的取值范围是的取值范围是 (-, 0). 解解: (1)由已知由已知 f (x)=3ax2+2bx- -3, 依题意得依题意得 f (- -1)=f (1)=0. 解得解得 a=1, b=0. 3a- -2b- -3=0 且且 3a+2b- -3=0. f (x)=3x2- -3. 由由 f (x)0 得得 - -1x0 得得 x1. f(x) 在在 (-, - -1) 上是增函数上是增函数, 在在 (- -1, 1) 上是减函数上是减函数, 在在 (1, +) 上是增函数上是增函数. f(- -1)=2 是极大值是极大值, f(1)=- -2 是极小值是极小值.点点 A(0, 16) 不在曲线上不在曲线上. 设切设切点为点为 M(x0, y0), 则则 y0=x03- -3x0. f (x0)=3x02- -3. 切线方程为切线方程为 y- -(x03- -3x0)=(3x02- -3)(x- -x0). 点点 A(0, 16) 在切线上在切线上, 16- -(x03- -3x0)=(3x02- -3)(- -x0). 化简得化简得 x03=- -8. x0=- -2. 切线方程为切线方程为 y- -(- -8+6)=9(x+2), 即即 9x- -y+16=0. 课后练习课后练习 2 已知向量已知向量 a=(x2, x+1), b=(1- -x, t). 若若函数函数 f(x)=a b 在区间在区间(- -1, 1)是增函数是增函数, 求求 t 的取值范围的取值范围.解解: 由题设由题设 f(x)=x2(1- -x)+t(x+1) =- -x3+x2+tx+t. f (x)=- -3x2+2x+t. 函数函数 f(x) 在区间在区间 (- -1, 1) 是增函数是增函数, f (x)0, 即即- -3x2+2x+t0, 亦即亦即 t3x2- -2x 对对 x (- -1, 1) 恒成立恒成立. 考虑函数考虑函数 g(x)=3x2- -2x, x (- -1, 1). g(x) 的图象是开口向上的抛物线的图象是开口向上的抛物线, 对称轴为直线对称轴为直线 x= , 13故故 t3x2- -2x 对对 x (- -1, 1) 恒成立等价于恒成立等价于 tg(- -1), 即即 t5. 而当而当 t5 时时, f (x) 在在 (- -1, 1) 上满足上满足 f (x)0, 故故 t 的取值范围是的取值范围是 5, +).即即 f(x) 在在 (- -1, 1) 是增函数是增函数, 课后练习课后练习 3 已知函数已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象过点的图象过点 P(0, 2), 且在点且在点 M(- -1, f(- -1) 处的切线方程为处的切线方程为 6x- -y+7=0, (1)求函数求函数 y=f(x) 的解析式的解析式; (2)求函数求函数 y=f(x) 的单调区间的单调区间.解解: (1)函数函数 f(x) 的图象过点的图象过点 P(0, 2), f(0)=2d=2.f(x)=x3+bx2+cx+2,f (x)=3x2+2bx+c.f(x) 图象在点图象在点 M(- -1, f(- -1) 处的切线方程为处的切线方程为 6x- -y+7=0,-6- -f(- -1)+7=0, 即即 f(- -1)=1, 且且 f (- -1)=6.3- -2b+c=6, 且且 - -1+b- -c+2=1. 即即 2b- -c=- -3, 且且 b- -c=0.b=c=- -3. f(x)=x3- -3x2- -3x+2.(2)由由 (1) 知知 f (x)=3x2- -6x- -3. 令令 f (x)0 得得 x1+ 2 .令令 f (x)0 得得 1- - 2 x1+ 2 ;f(x) 的单调递增区间为的单调递增区间为 (-, 1- - 2 ) 和和 (1+ 2 , +). f(x) 的单调递减区间为的单调递减区间为 (1- - 2 , 1+ 2 ); 课后练习课后练习 4 解解: (1)由已知由已知 f (x)=3ax2+2bx- -2, 函数函数 f(x) 在在 x=- -2, x=1 处取得极值处取得极值, 12a- -4b- -2=0 且且 3a+2b- -2=0. 由由 f (x)0 得得 - -2x0 得得 x1. y=f(x) 的单调递减区间是的单调递减区间是 (- -2, 1); 单调递增区间是单调递增区间是 (- -, - -2) 和和 (1, +). f (- -2)=f (1)=0. (2)由由(1)知知 f (x)=x2+x- -2. 解得解得 a= , b= . 1213f(x)= x3+ x2- -2x. 1213课后练习课后练习 5 设函数设函数 f(x)=xsinx(x R). (1)证明证明: f(x+2k )- -f(x)=2k sinx, 其中其中 k 为整数为整数; (2)设设 x0 为为 f(x) 的一个极值点的一个极值点, 证明证明: 1+x02 x04 f(x0)2= .证证: (1)f(x)=xsinx, k 为整数为整数, f(x+2k )- -f(x)=(x+2k )sin(x+2k )- -xsinx =(x+2k )sinx- -xsinx =2k sinx. f(x+2k )- -f(x)=2k sinx. (2)f(x)=xsinx(x R), f (x)=sinx+xcosx. 令令 f (x)=0 得得 sinx+xcosx=0. 显然显然 cosx 0. x=- -tanx. x0 为为 f(x) 的一个极值点的一个极值点, x0=- -tanx0. sin2x= = , sin2x sin2x+cos2x tan2x 1+tan2x tan2x0 1+tan2x0 sin2x0= . f(x0)2=x02sin2x0=x02 tan2x0 1+tan2x0 =x02 1+x02 x02 1+x02 x04 = . 1+x02 x04 f(x0)2= . 已知函数已知函数 f(x)=- -x3+ax2+b(a, b R). (1)若若 a=1, 函数函数 f(x) 的图象的图象能否总在直线能否总在直线 y=b 的下方的下方? 说明理由说明理由; (2)若函数若函数 f(x) 在在 0, 2 上上是增函数是增函数, x=2 是方程是方程 f(x)=0 的一个根的一个根, 求证求证: f(1)- -2; (3)若曲若曲线线 f(x) 上任意不同两点的连线的斜率小于上任意不同两点的连线的斜率小于 1, 求求 a 的取值范围的取值范围.课后练习课后练习 6 (1)解解: 当当 a=1 时时, 令令 x=- -1 得得 f(- -1 )=1+1+b=2+bb, 点点(- -1, 2+b)在函数图象上在函数图象上, 且在且在直线直线 y=b 的上方的上方. 函数函数 f(x) 的图象不能总在直线的图象不能总在直线 y=b 的下方的下方. 另另解解: 当当 a=1 时时, f(x)=- -x3+x2+b, f (x)=- -3x2+2x. 令令 f (x)=0 得得 x1=0, x2= . 23而而 f( )=- - + +b= +bb, 234927 427 8函数函数 f(x) 的图象不能总在直线的图象不能总在直线 y=b 的下方的下方. 点点 ( , +b) 在函数图象上在函数图象上, 且在且在直线直线 y=b 的上方的上方. 2327 4 已知函数已知函数 f(x)=- -x3+ax2+b(a, b R). (1)若若 a=1, 函数函数 f(x) 的图象的图象能否总在直线能否总在直线 y=b 的下方的下方? 说明理由说明理由; (2)若函数若函数 f(x) 在在 0, 2 上上是增函数是增函数, x=2 是方程是方程 f(x)=0 的一个根的一个根, 求证求证: f(1)- -2; (3)若曲若曲线线 f(x) 上任意不同两点的连线的斜率小于上任意不同两点的连线的斜率小于 1, 求求 a 的取值范围的取值范围.课后练习课后练习 6 (2)证证: x=2 是方程是方程 f(x)=0 的一个根的一个根, f(2)=0 即即 - -8+4a+b=0b=8- -4a. 又又 f (x)=- -3x2+2ax, 令令 f (x)=0 得得 x1=0, x2= a. 23函数函数 f(x) 在在 0, 2 上是增函数上是增函数, a2. 23a3. f(1)=- -1+a+b=7- -3a- -2, 即即 f(1)- -2. 已知函数已知函数 f(x)=- -x3+ax2+b(a, b R). (3)若曲线若曲线 f(x) 上任意不上任意不同两点的连线的斜率小于同两点的连线的斜率小于 1, 求求 a 的取值范围的取值范围.课后练习课后练习 6 (3)解解: 设设 P(x1, y1), Q(x2, y2) 为为曲线曲线 y=f(x) 上任两点上任两点, x1 x2. 曲线曲线 f(x) 上任意不同两点的连线的斜率小于上任意不同两点的连线的斜率小于 1, x1 x2, 亦即亦即 1 恒成立恒成立. - -(x1- -x2)(x12+x1x2+x22)+a(x1- -x2)(x1+x2) x1- -x2 1, y1- -y2 x1- -x2 - -x13+ax12+b- -(- -x23+ax22+b) x1- -x2即即 1, x1x21+(x1+x2)2- -a(x1+x2) 恒成立恒成立. 而而 x1x2 (x1+x2)2 恒成立恒成立, 141+(x1+x2)2- -a(x1+x2) (x1+x2)2 恒成立恒成立. 14 (x1+x2)2- -a(x1+x2)+10 恒成立恒成立. 34a2- -30. - - 3 a 3 . 已知函数已知函数 f(x)=- -x3+ax2+b(a, b R). (3)若曲线若曲线 f(x) 上任意不上任意不同两点的连线的斜率小于同两点的连线的斜率小于 1, 求求 a 的取值范围的取值范围.课后练习课后练习 6 另另解解: 设设 P(x1, y1), Q(x2, y2) 为为曲线曲线 y=f(x) 上任两点上任两点, 不妨不妨 x1x2. 曲线曲线 f(x) 上任意不同两点的连线的斜率小于上任意不同两点的连线的斜率小于 1, x1x2, 1, y1- -y2 x1- -x2 x1- -x2x1- -x2. 即即 f(x1)- -f(x2)x1- -x2. f(x1)- -x1f(x2)- -x2. 记记 g(x)=f(x)- -x, 则则 g(x1)g(x2). g(x) 为为 R 上的减函数上的减函数. g (x)0 即即 - -3x2+2ax- -10 对对 x R 恒成立恒成立. a2- -30. - - 3 a 3 .