22.1.4 用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式1青苗辅导1学习目标：学习目标：1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法。2、能灵活地根据条件恰当地选取解析式，体会二次函数解析式之间的转化。学习重点：学习重点：用待定系数法求二次函数解析式。学习难点：学习难点：灵活地根据条件恰当地选取解析式。2青苗辅导1回顾：用待定系数法求解析式回顾：用待定系数法求解析式已知一次函数经过点（已知一次函数经过点（1，3）和（）和（-2，-12），求），求这个一次函数的解析式。这个一次函数的解析式。 解：设这个一次函数的解析式为解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k0), 因为一次函数经过点因为一次函数经过点（1，3）和（）和（-2，-12），）， 所以所以k+b=3-2k+b=-12解得解得 k=3，b=-6一次函数的解析式为一次函数的解析式为y=3x-6.设设出函数的解析式根据所给条件，将已知点坐标代代入函数解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程（组）解解此方程或方程组，求待定系数将求出的待定系数还还原原到解析式中3青苗辅导1二次函数解析式有哪几种表达式？二次函数解析式有哪几种表达式？ 一般式：一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：交点式：y=a(x-x1)(x-x2)4青苗辅导1求二次函数求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待的解析式，关键是求出待定系数定系数a，b，c的值。的值。由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于列出关于a，b，c的方程组，并求出的方程组，并求出a，b，c，就就可以写出二次函数的解析式。可以写出二次函数的解析式。一般式一般式y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，为常数，a0)思考：二次函数二次函数y=ax2+bx+c的解析式中有几个待定系数的解析式中有几个待定系数？需要图象上的几个点才能求出来？需要图象上的几个点才能求出来？5青苗辅导1例例1 已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（1,10）、（）、（1,4）、）、（2,7）三点，求这个函数的解析式）三点，求这个函数的解析式解：设所求的二次函数为解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c（a0）由条件得：由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程组得：解方程组得：a=2, b=-3, c=5因此：所求二次函数是：因此：所求二次函数是： y=2x2-3x+5变式变式1:已知关于已知关于x的二次函数的二次函数,当当x=1时时,函数值为函数值为10,当当x=1时时,函数值为函数值为4,当当x=2时时,函数值为函数值为7,求这个二次函数的解析试求这个二次函数的解析试.设设代代解解还原还原6青苗辅导1顶点式顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数，为常数，a0).若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k. 特别地，当抛物线的顶点为原点时，特别地，当抛物线的顶点为原点时，h=0,k=0,可设可设函数的解析式为函数的解析式为 当抛物线的对称轴为当抛物线的对称轴为y轴时，轴时，h=0,可设函数的解析可设函数的解析式为式为 当抛物线的顶点在当抛物线的顶点在x轴上时，轴上时，k=0，可设函数的解析，可设函数的解析式为式为思考：二次函数y=a(x-h)2+k的解析式中有几个待定系数？需要知的解析式中有几个待定系数？需要知道图象上的几个点才能求出来？如果知道图象上的顶点坐道图象上的几个点才能求出来？如果知道图象上的顶点坐标为标为A(1,-1)和点和点B（2，1），两个点能求出它的解析式吗），两个点能求出它的解析式吗？y=ax2.y=ax2+k.y=a(x-h)2.7青苗辅导1例例2：已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)，求出对应的二次函数解析式变式变式2：已知二次函数的图象经过点（4，3），并且当x=3时有最大值4，求出对应的二次函数解析式；又过点（2，3）a(2-1)2+2=3，a=1解：设所求的二次函数为y=a(x-h)2+k（a0）顶点是（1，2）y=a(x-1)2+2， y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3已知抛物线的顶点与已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，抛物线上另一点时，通常设为顶点式通常设为顶点式已知条件中的当已知条件中的当x=3x=3时有最大值时有最大值4 4也就是抛物线的顶点坐标为（也就是抛物线的顶点坐标为（3,43,4），），所以设为顶点式较方便所以设为顶点式较方便y=-7(x-3)2+4即y=-7x2+42x-598青苗辅导1解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（0,-30,-3） （4,54,5） 对称轴为直线对称轴为直线x=1=1，求这个函数的解析式？，求这个函数的解析式？y=a(x-1)2+k 思考：怎样设二次函数关系式思考：怎样设二次函数关系式9青苗辅导1交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数为常数a0）当抛物线与当抛物线与x轴有两个交点为（轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，时，二次函数二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式可以转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与因此当抛物线与x轴有两个交点为（轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为时，可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，再把另一个点的坐标代入其中，即可解得，再把另一个点的坐标代入其中，即可解得a，求出抛物线的解析式。，求出抛物线的解析式。10青苗辅导1例例3 3：已知抛物线与已知抛物线与x x轴两交点横坐标为轴两交点横坐标为1 1，3 3且图像过（且图像过（0 0，-3-3），求出对应的二次函数解析式。），求出对应的二次函数解析式。解：设所求的二次函数为y=a(x-x1)(x-x2)已知已知抛物线与抛物线与x x轴的交点轴的交点或交点横坐标时，通常或交点横坐标时，通常设为交点式（两根式）设为交点式（两根式）由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，y=a(x-1)(x-3),又过（0，-3）， a(0-1)(0-3)=-3,a=-1a=-1 y=-(x-1)(x-3), y=-(x-1)(x-3),即即y=-xy=-x2 2+4x-3+4x-3练习：已知二次函数yax2bxc的图象过A(0，5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x2，那么这个二次函数的解析式是_ _。 分析：因为抛物线与分析：因为抛物线与x x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，又又B(5B(5，0)0)关于直线关于直线x x2 2的对称点坐标为（的对称点坐标为（-1,0-1,0），所以可以设为交），所以可以设为交点式，类似例点式，类似例3 3求解，当然也可以按一般式求解。求解，当然也可以按一般式求解。y=(x-5)(x+1),y=(x-5)(x+1),即即y=xy=x2 2-4x-5-4x-511青苗辅导1课堂小结课堂小结求二次函数解析式的一般方法：求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三组对应值，已知图象上三点或三组对应值， 通常选择通常选择已知图象的顶点坐标或对称轴或最值已知图象的顶点坐标或对称轴或最值 通常选择通常选择已知图象与已知图象与x轴的两个交点的横坐标轴的两个交点的横坐标x1、x2，或，或与与X轴的一交点坐标与对称轴轴的一交点坐标与对称轴 通常选择通常选择yxo确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，恰当地选用一种函数表达式， 一般式一般式y=ax2+bx+c;顶点式顶点式y=a(x-h)2+k，交点式（两根式）交点式（两根式）y=a(x-x1)(x-x2) 。12青苗辅导11 1、求经过有三点、求经过有三点A A（-2-2，-3-3），），B B（1 1，0 0），），C C（2 2，5 5）的二次）的二次函数的解析式函数的解析式. .2 2、已知抛物线的顶点为、已知抛物线的顶点为D(-1D(-1，-4)-4)，又经过点，又经过点C(2C(2，5)5)，求其解，求其解析式。析式。顶点式：顶点式：交点式：交点式：3 3、已知抛物线与、已知抛物线与x x轴的两个交点为轴的两个交点为A(-3A(-3，0)0)、B(1B(1，0)0)，又经，又经过点过点C(2C(2，5)5)，求其解析式。，求其解析式。一般式：一般式： 反馈练习反馈练习13青苗辅导1二次函数图象如图所示，二次函数图象如图所示，(1)(1)直接写出点的坐标；（直接写出点的坐标；（2 2）求这个二次函数的）求这个二次函数的解析式解析式2224644824CAB14青苗辅导1 反馈练习反馈练习4 4、已知抛物线对称轴为、已知抛物线对称轴为x=2x=2，且经过点（，且经过点（1,41,4） 和（和（5,05,0），求该二次函数解析式。），求该二次函数解析式。15青苗辅导15 5、已知抛物线的顶点为、已知抛物线的顶点为A(-1A(-1，-4)-4)，又知它与，又知它与x x 轴的两个交点轴的两个交点B B、C C间的距离为间的距离为4 4，求其解析式。，求其解析式。充分利用条件充分利用条件 合理选用以上三式合理选用以上三式16青苗辅导16、抛物线与、抛物线与x轴的一个交点坐标是轴的一个交点坐标是 （-1，0），且当），且当x= 1时，函数有最大值为时，函数有最大值为 4，求，求此函数解析式。此函数解析式。7、抛物线与、抛物线与x轴的一个交点坐标是轴的一个交点坐标是 （-1，0），对称轴为直线），对称轴为直线x=1，抛物线顶点到，抛物线顶点到x轴轴的距离为的距离为4，求此函数解析式。，求此函数解析式。*17青苗辅导1一、一、 一般式一般式 1.已知一个二次函数图象经过（已知一个二次函数图象经过（-1，10）、）、（2，7）和（）和（1，4）三点，那么这个函数）三点，那么这个函数的解析式是的解析式是_。18青苗辅导12.已知一个二次函数的图象经过已知一个二次函数的图象经过（1，8），（），（1，2），（），（2，5）三点。求这个函数的解析式三点。求这个函数的解析式19青苗辅导1二、顶点式二、顶点式 1. 已知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点的顶点是是A(-1,4)且经过点且经过点(1,2)求其解析式。求其解析式。20青苗辅导12、已知抛物线的顶点为（、已知抛物线的顶点为（ 2，3），）， 且过点（且过点（1，4），求），求这个函数的解析式。这个函数的解析式。21青苗辅导1应应 用用例例4 4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系现把它的图形放在坐标系里里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 解：设抛物线的解析式为解：设抛物线的解析式为y=ax2bxc，根据题意可知根据题意可知抛物线经过抛物线经过(0，0)，(20，16)和和(40，0)三点三点 可得方程组可得方程组 通过利用给定的条件通过利用给定的条件列出列出a、b、c的三元的三元一次方程组，求出一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定的值，从而确定函数的解析式函数的解析式过程较繁杂，过程较繁杂， 评价评价22青苗辅导1设抛物线为设抛物线为y=a(x-20)216 解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(0，0)在抛物线上，在抛物线上， 通过利用条件中的顶通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点点和过原点选用顶点式求解，式求解，方法比较灵活方法比较灵活 评价评价 所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为 例例4 4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系现把它的图形放在坐标系里里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 应应 用用23青苗辅导1设抛物线为设抛物线为y=ax(x-40 ）解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(20，16)在抛物线上，在抛物线上， 选用两根式求解，选用两根式求解，方法灵活巧妙，过方法灵活巧妙，过程也较简捷程也较简捷 评价评价例例4 4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系现把它的图形放在坐标系里里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 应应 用用24青苗辅导1课堂练习课堂练习25青苗辅导1课堂小结课堂小结求二次函数解析式的一般方法：求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三组对应值，已知图象上三点或三组对应值， 通常选择一般式通常选择一般式已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标 通常选择顶点式通常选择顶点式 已知图象与已知图象与x轴的两个交点的横轴的两个交点的横x1、x2和另一个点的坐标和另一个点的坐标 通常选择交点式通常选择交点式 确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，选用一种函数表达式， 26青苗辅导1作业：作业：课本课本P15 习题习题26.1 第第9题（题（1）、第）、第10题。题。27青苗辅导1