函数的极值n复习引入复习引入1，函数的导数与函数的单调性的关系2，用导数求函数单调区间的步骤n创设情境创设情境观察上图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及P位置的特点n新课学习新课学习 一、函数的极值的概念n1、极大值：在包含x0的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称x0为函数y=f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值。n2、极小值：在包含x0的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称x0为函数y=f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值。n3、极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。n请注意以下几点：请注意以下几点：n极值是一个局部概念，由定义知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。n函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。n极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值。n二、函数极值和导数的关系二、函数极值和导数的关系【思考】：在x0处的导数值为0是x0为极值点的充要条件吗？ 在x0两侧函数单调性有何变化？f(x)的正负号如何变化？n在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有f(x)=0,但反过来不一定。如y=x3n若x0满足f(x0)=0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值。并且如果f(x0)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f(x0)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值；三、求可导函数的极值的步骤n【例题】求函数f(x)=2x3-3x2-36x+5的极值解：解：f(x)=6x2-6x-36 =6(x+2)(x-3) f(x)=0 x1=-2,x2=3 f(x)0 得 x3或x-2 f(x)0 得 -2x3x( -，-2 )-2(-2,3)3(3，+ )f(x)+0-0+f(x)极大值极小值【思考】你能否总结求函数极值的步骤？求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数f(x)(2)求方程f(x0)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f(x)在方程根左右的值得符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值。n典型例题典型例题 1、求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值解：f(x)=6x(x+1)2(x-1)2 f(x)=0 x1=0 x2=-1 x3=1当x=0，y有极小值为0x x( -( -，-1)-1)-1-1(-1,0)(-1,0)0 0(0,1)(0,1)1 1(1,+(1,+) )f f(x)(x)- -0 0- -0 0+ +0 0+ +f(x)f(x)无无极小极小无无 利用步骤求出极值，并在此基础上画出函数的图像，充分说明导数在研究函数性质中有非常重要的作用。2、已知函数y=ax3+bx2 ,当x=1时，函数取极大值3，则a=_，b=_ 解：f(1)=0 得a+b=3 f(1)=0 得3a+2b=0 联立解方程得 a=-6 b=9n当堂检测当堂检测 1、已知函数y=x3+3mx2+nx+m2,在x=-1时有极值0，求m和n的值？ 2、求下列函数的极值点和极值 (1)y=x3-3x2-9x+5 (2)y=n课堂小结课堂小结 1、函数极值的定义 2、求函数极值得的步骤