2.3 直线的投影直线的投影1技术知识aa a b b b 两点确定一条直线，将两两点确定一条直线，将两点的点的同面投影同面投影用直线连接，就用直线连接，就得到直线的同名投影。得到直线的同名投影。二、各种位置直线二、各种位置直线投影面平行线投影面平行线投影面垂直线投影面垂直线正平线（正平线（/面）面）侧平线（侧平线（/面）面）水平线（水平线（/面）面）正垂线（正垂线（ 面）面）侧垂线（侧垂线（ 面）面）铅垂线（铅垂线（ 面）面）一般一般位置位置直线直线特殊特殊位置位置直线直线一、直线的投影一、直线的投影2技术知识ABbbabaa1.一般位置直线一般位置直线abb a b a 投影特性：投影特性：1. 各投影的长度均小于直线本身的实长各投影的长度均小于直线本身的实长 2. 直线的各个投影均不平行各投影轴直线的各个投影均不平行各投影轴3技术知识aababb Xa b ab baOzYHYWAB2.投影面平行线投影面平行线4技术知识b a aba b b aa b ba 在其在其所平行的投影面所平行的投影面上的投影，反映实长，上的投影，反映实长，且其投影与投影轴的夹角，反映直线与另两且其投影与投影轴的夹角，反映直线与另两个投影面的真实倾角。个投影面的真实倾角。 在在另外两个投影面另外两个投影面上的投影平行于相应的上的投影平行于相应的投影轴。投影轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：实长实长实长实长实长实长ba aa b b 5技术知识b a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWa 1 a b 积聚 成一点 2 a bOX ; a b OYW 3 a b = a b = ABAB3.投影面垂直线投影面垂直线6技术知识铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。 在另外两个投影面上的投影在另外两个投影面上的投影，垂直于相垂直于相应的投影轴。且反映线段实长。应的投影轴。且反映线段实长。投影特性投影特性: :c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f )7技术知识三、直线上的点三、直线上的点点在直线上点在直线上 点的各个投影在该直线点的各个投影在该直线的同面投影上的同面投影上 ABCVHbcc b a a直线上的点，分割线段之比等于其投影之比。即：直线上的点，分割线段之比等于其投影之比。即：AC/CB=ac/cb=a c /c b = a c /c b 8技术知识例：判断点例：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b c aa b c bc不在不在9技术知识例：已知点例：已知点K在线段在线段AB上，求点上，求点K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（应用第三投影）（应用第三投影）解法二：解法二：（应用定比定理）（应用定比定理）aa b bka b k k aa b bkk 10技术知识四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置平行平行、相交相交、相错（异面）相错（异面） 两直线平行两直线平行 空间两直线平行，则其各空间两直线平行，则其各同面投影同面投影必必相互平行，反之亦然。相互平行，反之亦然。bcdH HAd aCcV VaDbBacdbcdabO OX X11技术知识例：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否平行。AB与与CD平行。平行。AB与与CD不平行。不平行。a b c d cbadd b a c b d c a abcdc a b d 12技术知识 两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同面投影必则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性影特性。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点ac V VX Xb H HDacdkCAkKd bO OBcabd b a c d kk 13技术知识cd k kd例例1 1：过：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影abb a c 14技术知识 两直线相错两直线相错两直线相交吗？两直线相交吗？不相交！不相交！ 交点不符合一个交点不符合一个点的投影规律！点的投影规律！cacabddbO OX XaccAaCV VbH HddDBb15技术知识2.2.4 4 平面的投影平面的投影16技术知识一、平面的表示法一、平面的表示法abca b c 不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点abca b c 直线及直线及线外一线外一点点abca b c dd 两平行直两平行直线线abca b c 两相交两相交直线直线abca b c 平面平面图形图形1、用几何元素表示平面、用几何元素表示平面17技术知识2、用迹线表示平面、用迹线表示平面VOY ZXPVPWPHXYWPVPHOYHZPWPXPZPYHPYW18技术知识平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面二、各种位置平面二、各种位置平面19技术知识a b c a c b abc1.1.一般位置平面一般位置平面三个投影都类似。三个投影都类似。投影特性：投影特性：20技术知识c c 2.2.投影面垂直面投影面垂直面abca b b a 类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影在它垂直的投影面上的投影积聚积聚成直成直线。该直线与投影轴的线。该直线与投影轴的夹角夹角反映空间平面反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。另外两个投影面上的投影为类似形。21技术知识a b c a b c abc3.3.投影面平行面投影面平行面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映在它所平行的投影面上的投影反映实形实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴的投影轴平行平行的直线。的直线。22技术知识用迹线表示的特殊位置平面用迹线表示的特殊位置平面X0PVPHPVPHPVPHPVPHPVPH23技术知识三、平面上的点和直线三、平面上的点和直线2 2、平面内的直线：、平面内的直线： 通通过过平平面面上上的的两两个个点点或或通通过过平平面面上上的的一一个个点点，且平行于平面上的一条直线，反之亦然。且平行于平面上的一条直线，反之亦然。1 1、平面内的点：、平面内的点： 点在平面内的某一直线上，则此点必在该点在平面内的某一直线上，则此点必在该平面上，反之亦然。平面上，反之亦然。解决三类问题：解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面判别已知点、线是否属于已知平面；完成已完成已知平面上的点和直线的投影知平面上的点和直线的投影；完成多边形的完成多边形的投影投影。24技术知识已知已知 ABC给定一平面，试判断点给定一平面，试判断点D是否属于是否属于该平面。该平面。ddee25技术知识 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。 面上取点的方法：面上取点的方法：d d利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解首先面上取线首先面上取线k例例1 1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。baca k b c abca b k c k26技术知识例：在平面例：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为10mm。n m nm10c a b cab27技术知识bckada d b c k b例：已知例：已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一：解法一：解法二：解法二：cada d b c 28技术知识作 业210(1)、11(3)、15、19、21、2229技术知识30技术知识