2.2.3待定系数法第二章2.2一次函数和二次函数学习目标1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数解析式.2.掌握待定系数法的特征，会用待定系数法求解综合问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学问题导学思考1知识点待定系数法若一个正比例函数ykx(k0)过点(2,3).如何求这个函数解析式？答案答案答案函数ykx过点(2,3)，思考2在思考1中，求解析式的方法有什么特点？答案答答案案先设出(给出)函数解析式的一般形式，再根据已知条件确定解析式中待确定的系数.1.待定系数法定义一般地，在求一个函数时，如果知道 ，先把所求函数写为 ，其中系数待定，然后再根据 求出这些待定系数.这种通过求 来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.梳理梳理这个函数的一般形式一般形式题设条件待定系数2.几种基本初等函数的解析式(1)正比例函数的一般形式是 .(2)一次函数的一般形式是.(3)反比例函数的一般形式是 .(4)二次函数有三种常见形式，求解析式时，要根据具体情况，设出适当的形式：一般式，这是二次函数的标准形式；顶点式，其中 是抛物线的顶点；知两根可设为ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1、x2是方程ax2bxc0(a0)的两个实根，即抛物线与x轴两交点的横坐标.ykx(k0，k是常数)ykxb(k0，k，b是常数)y (k0，k是常数)yax2bxc(a0)ya(xh)2k(a0)(h，k)题型探究题型探究命题角度命题角度1待定系数法求一次函数解析式待定系数法求一次函数解析式例例1已知f(x)是一次函数，且有2f(2)3f(1)5，2f(0)f(1)1，求这个函数的解析式.解答类型一待定系数法求解析式解解设所求的一次函数是f(x)kxb(k0)，其中k，b待定. 解此方程组，得k3，b2.因此所求的函数是y3x2.在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式.反思与感悟跟跟踪踪训训练练1已知函数f(x)是一次函数，且有ff(x)9x8，求此一次函数的解析式.解答解解设该一次函数是yaxb，由题意得ff(x)a(axb)ba2xabb9x8.所以一次函数为f(x)3x2或f(x)3x4.命题角度命题角度2待定系数法求二次函数解析式待定系数法求二次函数解析式例例2二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式.解答引申探究引申探究若二次函数f(x)满足f(2)f(4)0，且过点(0,6)，求这个二次函数的最值.解答解解设二次函数的两根式为ya(x2)(x4)，6a(2)(4)，二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式，选择合适的表达式能起到事半功倍的效果.(1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式；(2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们可考虑函数的顶点式；(3)若题目中给出函数与x轴的交点或二次方程ax2bxc0的两根，可设函数的两根式.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2求下列二次函数的解析式.(1)已知yf(x)是二次函数，且图象过点(2,20)，(1,2)，(3,0)；解答解解设yax2bxc(a0)，yx25x6.(2)已知二次函数的顶点为(1，2)，且图象经过点(2,25)；解答解解设ya(x1)22，25a322，a3，y3x26x1.(3)已知二次函数与x轴交点为(2,0)，(3,0)，且函数图象经过点(1,8).解答解解设ya(x2)(x3)，a1(4)8，a2，y2x22x12.例例3如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域.类型二待定系数法的综合应用解答由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式.反思与感悟(1)f(x)的解析式；解答4x1x21，f(x2)f(x1)0，即f(x1)f(x2)，证明当堂训练当堂训练1.已知一个正比例函数的图象过点(2,8)，则这个函数的解析式为A.y4x B.y4xC.y D.y答案2233445511解析解析解析设ykx，则82k，k4，y4x.2.已知一个一次函数的图象过点(1,3)(3,4)，则这个函数的解析式为答案2233445511解析3.已知二次函数yx2bxc的图象经过(1,0)，(2,5)两点，则二次函数的解析式为A.yx22x3B.yx22x3C.yx22x3D.yx22x6答案2233445511解析由解得b2，c3.4.二次函数的图象过原点，且顶点为(1,2)，那么二次函数的解析式为_.答案2233445511解析解析解析设ya(x1)22.ya(x1)22过原点，0a2，a2.y2x24x.y2x24x5.如图是二次函数yf(x)的图象，若x2,1，则函数f(x)的值域为_.答案解析解析解析依题意设函数f(x)a(x3)(x1)，又函数f(x)的图象过点(0,3)，代入得a1，f(x)x22x3.结合题中图形易知函数f(x)在2,1上的最大值为f(1)4.又f(2)3，f(1)0，函数f(x)在2,1上的最小值为0，当x2,1时，函数的值域为0,4.22334455110,4规律与方法1.求待定系数的方法列方程组(1)利用对应系数相等列方程(组)；(2)由恒等的概念用数值代入法列方程(组)；(3)利用定义本身的属性列方程(组).2.待定系数法的适用条件要判定一个问题是否能用待定系数法求解，主要看所求的数学问题是否具有确定的数学表达式.例如，求具体函数解析式时即可用待定系数法求解.本课结束