2导数在数在实际问题中的中的应用用21实际问题中中导数的意数的意义 第四章第四章 导数应用导数应用学习导航学习导航 第四章第四章 导数应用导数应用学学习目目标1.理解理解导数的数的实际意意义(重点重点)2掌握掌握导数在物理、数在物理、经济生活中的生活中的应用用(难点点)学法学法指指导1.通通过实例体会数学建模思想例体会数学建模思想2体会体会导数在刻画函数数在刻画函数变化中的作用化中的作用.1.功与功率功与功率在在物物理理学学中中，通通常常称称力力在在单位位时间内内做做的的功功为功功率率，它它是是_的的导数数2.降雨降雨强强度度在气象学中，通常把在气象学中，通常把单位位时间内的降雨量称内的降雨量称为降雨降雨强强度，度，它是它是_的的导数数功功W对时间t降雨量降雨量对时间3.边际成本成本在在经济学中，通常把生学中，通常把生产成本成本y关于关于产量量x的函数的函数yf(x)的的导函数称函数称为边际成本成本4.瞬瞬时速度速度物体在某一物体在某一时刻的速度称刻的速度称为瞬瞬时速度，它是速度，它是_的的导数；速度数；速度对时间的的导数是数是_5.线密度密度单位位长度的物体度的物体质量称量称为线密度，它是密度，它是_的的导数数位移位移s对时间t加速度加速度质量关于量关于长度度6.把把实际问题抽象抽象为数学数学问题，逐步把数学知，逐步把数学知识应用到生用到生产、生活的、生活的实际中去，形成中去，形成应用数学的意用数学的意识，培养分析，培养分析问题、解决、解决问题的能力的能力处理理这类问题，通常分，通常分为三步：三步：阅读理解，即理解，即读懂懂题目中的文字叙述所反映的目中的文字叙述所反映的实际背景背景,领悟其中的数学本悟其中的数学本质，弄清，弄清题中出中出现的量及其数学含的量及其数学含义根据各个量的关系，根据各个量的关系，进行数学化行数学化设计，即建立目，即建立目标函数函数,将将实际问题转化化为数学数学问题进行行标准化准化设计，即，即转化化为常常规的函数的函数问题或其他常或其他常规的的数学数学问题加以解决加以解决7.解解应用用题首先要在首先要在阅读材料、理解材料、理解题意的基意的基础上把上把 实 际 问题抽象成数学抽象成数学问题，就是从，就是从实际问题出出发，抽象概括，利用，抽象概括，利用数学知数学知识建立相建立相应的数学模型，再利用数学知的数学模型，再利用数学知识对数学模型数学模型进行分析、研究，得到数学行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学，然后再把数学结论返回到返回到实际问题中去，其思路如中去，其思路如图所示所示审题：阅读理解文字所表达的含理解文字所表达的含义，分清条件和，分清条件和结论， 找找出出问题中各量之中各量之间的关系；的关系；建模：将文字建模：将文字语言言转化成数学化成数学语言，利用数学知言，利用数学知识，建，建 立立相相应的数学模型；的数学模型；解模：把数学解模：把数学问题化化归为常常规问题，选择合适的数学方合适的数学方 法法求解；求解；对结果果进行行验证评估：定性、定量分析估：定性、定量分析,作出正确的判断作出正确的判断,确确定其答案定其答案1一一个个物物体体的的运运动方方程程为s1tt2，其其中中s的的单位位是是米米，t的的单位是秒，那么位是秒，那么该物体在物体在3秒末的瞬秒末的瞬时速度是速度是()A7米米/秒秒 B6米米/秒秒C5米米/秒秒 D8米米/秒秒解析：解析：s12t，则s(3)5，即，即该物体在物体在3秒末的瞬秒末的瞬时速度速度是是5米米/秒秒C2一次降雨一次降雨过程中，降雨量程中，降雨量y是是时间t的函数的函数,用用yf(t)表表 示示,则f(10)表示表示()At10时的降雨的降雨强强度度 Bt10时的降雨量的降雨量Ct10时的的时间 Dt10时的温度的温度解析：解析：f(t)表示表示t时刻的降雨刻的降雨强强度度A3某某公公司司的的盈盈利利y(元元)和和时间x(天天)的的函函数数关关系系是是yf(x)，假假设f(x)0恒恒成成立立，且且f(10)10，f(20)1，则这些些数数据据说明明第第20天与第天与第10天比天比较()A公司已公司已经亏亏损B公司的盈利在增加，增加的幅度公司的盈利在增加，增加的幅度变大大C公司在公司在亏亏损且且亏亏损幅度幅度变小小D公司的盈利在增加，但增加的幅度公司的盈利在增加，但增加的幅度变小小解析：解析：导数数为正正说明盈利是增加的，明盈利是增加的，导数数变小小说明增加的幅明增加的幅度度变小了，但小了，但还是增加的是增加的D导数在物理中的数在物理中的应用用 某某质点的运点的运动方程方程为s2t23t，其中，其中s是位移是位移(单位：位：m)，t是是时间(单位：位：s)(1)求求t从从1 s变到到3 s时，位位移移s关关于于时间t的的平平均均变化化率率，并并解解释它的它的实际意意义；(2)求求s(1)，s(2)，并解，并解释它它们的的实际意意义(链接教材第四章接教材第四章2.1例例1)1.电流通流通过一一导线，从，从0时刻到刻到t时刻通刻通过该导线横断面的横断面的电荷荷量量Q与与t有如下的函数关系：有如下的函数关系：Q4t2t1(Q的的单位：位：C；t的的单位：位：s)，求，求t3时的瞬的瞬时电流流解：解：Q4t2t1，Q(t)8t1.t3时，Q(3)83125(A)导数在日常生活中的数在日常生活中的应用用方法方法归纳(1)要理解要理解导数的数的实际意意义，首先必，首先必须正确理解函数表达式正确理解函数表达式 的的实际意意义(2)导数的数的实际意意义与与变量表示的量表示的实际含含义有关，同一个函数有关，同一个函数表达式，其表达式，其导数的数的实际意意义因因变量量实际含含义的不同而不同的不同而不同.导数在产量与成本中的应用导数在产量与成本中的应用方法方法归纳导数在数在经济生活中生活中应用用时，要准确理解一些常用，要准确理解一些常用经济学学概念，如成本、利概念，如成本、利润、销售量等，才能正确解售量等，才能正确解释其其导数数的的实际意意义易易错警示警示因物理意因物理意义理解不清致理解不清致误 在在高高台台跳跳水水运运动中中，t s时运运动员相相对于于水水面面的的高高度度是是h(t)4.9 t26.5 t10(单位位：m)，求求高高台台跳跳水水运运动中中运运动员在在t1 s时的瞬的瞬时速度，并解速度，并解释此此时的运的运动状况状况解解h(t)9.8 t6.5，h(1)3.3.故运故运动员在在t1 s时的瞬的瞬时速度是速度是3.3 m/s，此，此时运运动员向向下以下以3.3米米/秒的速度运秒的速度运动错因与防范因与防范(1)对该问题求得当求得当t1 s时的瞬的瞬时速度速度为3.3 m/s，但由于，但由于对其中的其中的“负”号物理意号物理意义理解不明，易回答理解不明，易回答为正正值而出而出错(2)瞬瞬时速度既有大小也有方向，如果是速度既有大小也有方向，如果是负值，不能回答，不能回答为正正值，它表明了运，它表明了运动速度的大小和方向速度的大小和方向(3)利用利用导数解决物理数解决物理问题,关关键是要熟悉相关的物理概念、公是要熟悉相关的物理概念、公式，并式，并联系系导数的物理意数的物理意义进行求解行求解3一一杯杯80 的的热红茶茶置置于于20 的的房房间里里，它它的的温温度度会会逐逐渐下下降降，温温度度T(单位位：)与与时间t(单位位：min)之之间的的关关系系由函数由函数Tf(t)给出，出，请问：(1)f(t)的符号是什么？的符号是什么？为什么？什么？(2)f(3)4的的实际意意义是什么？是什么？解解：(1)由由题意意可可知知f(t)0，所所以以f(t)为负数数，因因为红茶茶温温度度在下降在下降(2)f(3)4的的实际意意义是：是：t3 min时，温度的瞬，温度的瞬时 变 化化率率为4 /min，即，即3 min附近附近时，红 茶茶约以以4 /min 的的 速速度下降度下降技法技法导学学实际问题的函数建模的函数建模 如如图，某工厂，某工厂拟建一座平面建一座平面图为矩矩 形形 ，且，且 面面 积 为200 m2的三的三级污水水处理池，由于地形限制，理池，由于地形限制，长、宽都不能都不能超超过16 m，如果池外周壁建造，如果池外周壁建造单价价为每米每米400元，中元，中间 两条两条 隔隔墙建造建造单价价为每米每米248元，池底建造元，池底建造单价价为每平方米每平方米80元元(池壁厚度忽略不池壁厚度忽略不计，且池无盖，且池无盖)(1)写出写出总造价造价y(元元)与与污水水处理池理池长x(m)的函数关系式的函数关系式,并并指出其定指出其定义域；域；(2)求求(1)中函数的中函数的导数，并写出数，并写出导函数的定函数的定义域域感悟提高感悟提高(1)恰当恰当设出自出自变量和因量和因变量并正确确定定量并正确确定定义域，域，寻找它找它们之之间的关系是此的关系是此题关关键点和点和难点点(2)函数在函数在闭区区间的端点无的端点无导数数本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束按按ESC键退出全屏播放退出全屏播放