第三节导数的应用第三节导数的应用2 2） 基础梳理基础梳理1. 函数的最大值与最小值(1)概念：如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)或f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值(或最小值)(2)求f(x)在区间a，b上的最大值与最小值可以分为两步：第一步，求f(x)在区间(a，b)上的极值；第二步，将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得f(x)在区间a，b上的最大值与最小值2. 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大(小)值的强有力的工具3. 导数常常和解含参数的不等式、不等式的证明结合起来，应注意导数在这两方面的应用 基础达标基础达标1. 已知f(x)=x2f(2)-3x，则f(3)=_.2. 若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_3. (选修2-2P32第3(1)题改编)函数f(x)=2x2-x4(x-2,2)的值域为_4. 设函数f(x)=x3- -2x+5，若对任意x-1,2，都有f(x)m，则实数m的取值范围是_5. 有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为_ 答案：1. 3解析：f(x)=2f(2)x-3，将x=2代入得f(2)=4f(2)-3，解得f(2)=1，故f(x)=2x-3，将x=3代入得f(3)=23-3=3.2. (-2,2)解析：f(x)=3x2-3，令f(x)=0解得x=1或x=-1.结合图象分析可 解得-2a2.3. -8,1解析：f(x)=4x-4x3=4x(1+x)(1-x)0，解得x-1或0x1，即-2，-1)、(0,1)为函数的增区间，(-1,0)、(1,2为函数的减区间，而f(-2)=f(2)=-8，f(0)=0，f(-1)=f(1)=1，所以函数的最小值为-8，函数的最大值为1.4. 解析：由f(x)=3x2-x-2=0，得x1=1，x2=- .易知当x 和x1,2时，f(x)0，当x 时，f(x)0，x=1是极小值点，x=- 是极大值点，f(1)= ，又f(-1)= ，f(2)=7，f(x)min=f(1)= ，m .5. 18解析：设正方形边长为x，则V=(8-2x)(5-2x)x=2(2x3-13x2+20x) ，V=4(3x2-13x+10) ，由V=0得x=1，或x= (舍去)当0x1时，V0，当1x 时，V0，所以当x=1时，V有最大值，即当x=1时，容积V取最大值为18.经典例题经典例题题型一函数的最值与导数【例1】(2019陕西改编)已知函数f(x)= ，g(x)=aln x，aR.设函数h(x)=f(x)-g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值F(a)的解析式解：由条件知h(x)= -aln x(x0)，所以h(x)= - = .当a0时，令h(x)=0，解得x=4a2，所以当0x4a2时，h(x)0，h(x)在(0,4a2)上递减，当x4a2时，h(x)0，所以x=4a2是h(x)在(0，+)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点所以F(a)=h(4a2)=2a(1-ln 2a)当a0时，h(x)= 0，h(x)在(0，+)递增，无最小值故h(x)的最小值F(a)=2a(1-ln 2a)(a0)变式1-1已知a为实数，函数f(x)=(x2+1)(x+a)若f(-1)=0，求函数y=f(x)在 上的最大值和最小值. 解：f(x)=3x2+2ax+1.f(-1)=0，3-2a+1=0，即a=2，f(x)=3x2+4x+1=3 (x+1)由f(x)0，得x-1或x- ；由f(x)0，得-1x- .因而，函数f(x)的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=2，在x=- 处取得极小值f = .又f = ，f(1)=6，且 f(x)在 上的最大值为f(1)=6，最小值为f = .题型二导数的实际应用【例2】一种变压器的铁芯的截面为正十字形，如图，为保证所需的磁通量，要求十字型具有4 cm2的面积，问应如何设计正十字形的宽x cm及长y cm，才能使其外接圆的周长最短，这样使绕在铁芯上的漆包线最省？解：设外接圆的半径为R cm，那么 .由x2+4* x=4 ，得y= .要使外接圆的周长最小，需要R取最小值，也即R2取最小值设f(x)=R2= = x2+ + (0x2R)，则f(x)= x- .令f(x)= x- =0，解得x=2或x=-2(舍去)当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.因此当x=2时，y=1+ ，此时R2最小，即R最小，则周长最小为2R= (cm)变式2-1统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y= x3- x+8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了 =2.5(小时)，要耗油 *2.5=17.5(升)答：当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升(2)当速度为 x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)= = x2+ - (0x120)，h(x)= - = (0x120)令h(x)=0，得x=80，当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是减函数；当x(80,120)时，h(x)0，h(x)是增函数当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.h(x)在(0,120上只有一个极值，它是最小值答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升题型三导数与其他知识的综合应用【例3】已知定义在正实数集上的函数f(x)= x2+2ax，g(x)=3a2ln x+b，其中a0.设两曲线y=f(x)，y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同(1)用a表示b，并求b的最大值； (2)求证：f(x)g(x)(x0) 解：(1)设y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x0，y0)处的切线相同f(x)=x+2a，g(x)= ，由题意知f(x0)=g(x0)，f(x0)=g(x0)，即由x0+2a= ，得x0=a，或x0=-3a(舍去)，即有b= a2+2a2-3a2ln a= a2-3a2ln a.令h(t)= t2-3t2ln t(t0)，则h(t)=2t(1-3ln t)当t(1-3ln t)0，即0t 时，h(t)0; 当t(1-3ln t)0，即t 时，h(t)0.故h(t)在(0， )上为增函数，在( ，+)上为减函数，于是h(t)在(0，+)上的最大值为h( )= ，即b的最大值为 .(2)证明：设F(x)=f(x)-g(x)= x2+2ax-3a2ln x-b(x0)，则F(x)=x+2a- = (x0)故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，+)上为增函数于是F(x)在(0，+)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.故当x0时，有f(x)-g(x)0，即当x0时，f(x)g(x)链接高考链接高考1. (2019山东改编)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y=- x3+81x-234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件知识准备：1. 要知道年利润的最大值就是函数y的最大值2. 已知函数最高次数为3次，必须用导数来求最值 答案：9解析：令导数y=-x2+810，解得0x9；令导数y=-x2+810，解得 x9，所以函数y=- x3+81x-234在区间(0,9)上是增函数，在区间(9，+)上是减函数，所以在x=9处取极大值，也是最大值 2. (2019湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)= (0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值知识准备：1. 根据题意，要知道不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，即当x=0时，C=8.2. 总费用的最小值可通过建立f(x)与x的关系式来求 解：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)= ，再由C(0)=8，解得k=40，故C(x)= ，而建造费用为C1(x)=6x，隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20* +6x= +6x(0x10)(2)f(x)=6- ，令f(x)=0，解得x=5或x=- (舍去)当0x5时，f(x)0，当5x10时，f(x)0，故x=5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)=30+ =70.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元