5 初等矩阵初等矩阵 一、初等矩阵的概念和简单性质一、初等矩阵的概念和简单性质 二、矩阵的等价二、矩阵的等价1优讲借鉴一、初等矩阵的概念和简单性质一、初等矩阵的概念和简单性质 定定义义5.1由由单单位位矩矩阵阵经经过过一一次次初初等等变变换换得得到到的的矩矩阵阵称称为为初初等矩阵等矩阵1.将将E的第的第I行与第行与第j行交换得到初等矩阵行交换得到初等矩阵2优讲借鉴称为第一类初等矩阵（又称称为第一类初等矩阵（又称换法矩阵换法矩阵）.2、用非零数、用非零数c乘乘E的第的第i行，得到初等矩阵行，得到初等矩阵称为第二类初等矩阵（又称称为第二类初等矩阵（又称倍法矩阵倍法矩阵）.注注倍法矩阵的特点是：倍法矩阵的特点是：；其它元素与单位；其它元素与单位矩阵相同矩阵相同.3优讲借鉴3、把、把E的第的第j行的行的k倍加到第倍加到第i行上，得到初等矩阵行上，得到初等矩阵称为第三类初等矩阵（又称称为第三类初等矩阵（又称消法矩阵消法矩阵）.注注消法矩阵的特点是：消法矩阵的特点是：；其它元素与单位矩阵相同其它元素与单位矩阵相同.4优讲借鉴同样可以得到与列变换相对应的初等矩阵，这些工作同样可以得到与列变换相对应的初等矩阵，这些工作留给学生留给学生.我们指出，对单位矩阵作一次列初等变换所到我们指出，对单位矩阵作一次列初等变换所到的初等矩阵也包括在上面三类初等矩阵中的初等矩阵也包括在上面三类初等矩阵中.因此因此换法换法、倍倍法法、消法初等矩阵消法初等矩阵是全部初等矩阵是全部初等矩阵.由于初等变换不改变矩阵的秩，从而把可逆矩阵由于初等变换不改变矩阵的秩，从而把可逆矩阵E成成可逆矩阵，因此可逆矩阵，因此初等矩阵是可逆矩阵初等矩阵是可逆矩阵.直接验证可得：直接验证可得：5优讲借鉴命题命题5.1 初等矩阵皆可逆，其逆矩阵是同类型的初等矩初等矩阵皆可逆，其逆矩阵是同类型的初等矩阵，且阵，且这里这里 容易验证容易验证命题命题5.2初等矩阵的转置还是初等矩阵，其转置矩阵是初等矩阵的转置还是初等矩阵，其转置矩阵是同类型的初等矩阵，且同类型的初等矩阵，且这里这里 6优讲借鉴矩阵和乘法和初等变换的关系是矩阵和乘法和初等变换的关系是定定理理5.1设设A是是矩矩阵阵，对对A施施行行一一次次行行初初等等变变换换，就就相相当当于于A左左乘乘s级级初初等等矩矩阵阵，对对A施施行行一一次次列列初初等等变变换换，就就相当于相当于A右乘右乘n级初等矩阵级初等矩阵.具体地说：具体地说：1）A相当于把相当于把A的的i,j两行互换两行互换;A相当于把相当于把A的的i,j两列互换两列互换.2）相当于把相当于把A的第的第i行乘以非零数行乘以非零数c；A相相当于把当于把A的第的第I列乘以列乘以非零数非零数c3）A相当于相当于A的第的第j行乘以行乘以k加到第加到第i行上；行上；A相当于相当于A的第的第i列乘以列乘以k加到第加到第j列上列上.7优讲借鉴证证明明只只证证行行初初等等变变换换的的情情况况，列列初初等等变变换换的的情情况况类类似似可证可证.将将A表示成分块表示成分块于是于是，8优讲借鉴这相当于把这相当于把A的的两行交换两行交换.2） 这相当于把这相当于把A的第的第i行乘以行乘以c.3) 这个定理可以用八个字概括：这个定理可以用八个字概括：“左行右列，首尾为主左行右列，首尾为主”.9优讲借鉴二、矩阵的等价二、矩阵的等价定定义义5.2若若矩矩阵阵A经经过过一一系系列列初初等等变变换换得得到到可可以以化化为为B，则称则称A与与B等价的等价的（也称（也称A与与B相抵）相抵）.注：注：1）矩阵的等价关系具有：反射性、对称性、传递性；）矩阵的等价关系具有：反射性、对称性、传递性；2）等价矩阵的秩相等）等价矩阵的秩相等由定理由定理5.1立得立得命命题题5.2设设A，B是是同同型型矩矩阵阵，则则A，B等等价价的的充充要要条条件件是：存在初等矩阵是：存在初等矩阵，使，使.与与A等价的矩阵有许许多多，那么能否挑出一种简单矩等价的矩阵有许许多多，那么能否挑出一种简单矩阵，把它作为阵，把它作为A的代表呢？的代表呢？ 10优讲借鉴定理定理5.2任意一个任意一个矩阵矩阵A都与一形如都与一形如的矩阵等价，且主对角线上的个数的矩阵等价，且主对角线上的个数 等于等于A的的秩称这个矩阵为秩称这个矩阵为A的的标准形标准形 11优讲借鉴证明证明如果如果A A0 0，结论显然成立，结论显然成立若若，存，存在在，将，将A的第的第两行交换，然后将两行交换，然后将j,1两列交换两列交换，所得矩阵的（所得矩阵的（1，1）元非零，不妨设）元非零，不妨设A中中.把把A的的第一行乘第一行乘加到第加到第行上，然后行上，然后第一列乘第一列乘加到第加到第j列上，列上，A化为化为，矩阵矩阵12优讲借鉴对对重复以上的讨论并继续下去，就可以得到标准形重复以上的讨论并继续下去，就可以得到标准形.由初等变换不改变矩阵的秩，故标准形中由初等变换不改变矩阵的秩，故标准形中1的个数等于的个数等于A的秩的秩.(定理定理5.2证明完毕证明完毕）n n 级可逆矩阵的标准形单位矩阵级可逆矩阵的标准形单位矩阵, ,由命题由命题6.26.2存在初等矩存在初等矩阵阵 使使 ，因此我们有因此我们有定理定理5.35.3 n n级方阵级方阵A A可逆可逆 A A能表成初等矩阵的乘积能表成初等矩阵的乘积13优讲借鉴推论推论1： 两个两个矩阵矩阵A、B等价等价存在存在s级可逆矩级可逆矩阵阵P和和n级可逆矩阵级可逆矩阵Q，使，使B=PAQ推论推论2：可逆矩阵可经一系列初等行变换化成单位矩阵：可逆矩阵可经一系列初等行变换化成单位矩阵E若若A可逆可逆，A能表成初等矩阵的乘积能表成初等矩阵的乘积,设设A= ，为初等矩阵为初等矩阵.由初等矩阵逆，由初等矩阵逆，则则，记记，则，则是初等矩阵，且是初等矩阵，且14优讲借鉴将上面两式合起来，得将上面两式合起来，得上式表明用上式表明用一系列的行初等变换把一系列的行初等变换把A化成单位矩阵化成单位矩阵，用这些初等变换作用于单位矩阵，就可以得到用这些初等变换作用于单位矩阵，就可以得到这样我们得到了一个用这样我们得到了一个用行初等变换求逆矩阵行初等变换求逆矩阵的方法的方法.15优讲借鉴求求例例1、设、设解解对分块矩阵（对分块矩阵（AE）作行初等变换）作行初等变换16优讲借鉴故故.17优讲借鉴探究学习探究学习设设AX=B，A可逆，则可逆，则X= B可以用下面的方法求可以用下面的方法求X若若XA=B，A可逆，则可逆，则X=B 可以用下面的方法求可以用下面的方法求X.18优讲借鉴解解 例例2设设AX=B，其中，其中求求X，19优讲借鉴例例1 1 设设XA=BXA=B，其中，其中求求X X解解 20优讲借鉴