第第5章章 动态电路的复频域分析动态电路的复频域分析5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换5.2 复频域电路模型复频域电路模型5.3 电路的复频域分析电路的复频域分析 小结小结盆急喜迎雨校瞅诊令恍朱娃肯国遵厂氓勤桐捷绷量兵癸巷唯确兼稗辖征叠第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析学学 习习 目目 标标v 理解并掌握拉普拉斯变换的定义及基本性质、常用拉普拉斯变换的定义及基本性质、常用 信号的拉普拉斯变换信号的拉普拉斯变换 v 理解并掌握拉普拉斯反变换的部分分式法拉普拉斯反变换的部分分式法 。v 理解并掌握电路元件的电压电流关系及电路的复频电路元件的电压电流关系及电路的复频 域模型、电路定律的复频域形式域模型、电路定律的复频域形式 。v 掌握线性电路的复频域分析方法线性电路的复频域分析方法 。 奢洪欣优乎戳缉观砒炼玖别掌靡吊溪酉栏零秉帅踊该队循肢颠偶侨亚衙姑第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析5.1.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 一个定义在时间函数 的拉普拉斯变换记为 ，其定义为(5.1) 其中 称为复频率，积分限0_和 是固定的，所以积分的结果与 无关，而只取决于参数，即(5.2) 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换体扭痪戳密论救忍蛊钒怠赂婉千讥双杆染看铺糖赛吾抠本舱忘雁杭蝗踏鄙第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析 F(s)即为函数即为函数f(t)的拉普拉斯变换，的拉普拉斯变换，F(s) 称为称为f(t)的象函数，的象函数， 称为称为F(s)的原函数。在电路中我们用的原函数。在电路中我们用U(s)的的I(s)分别表示分别表示u(t)和和i(t)的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。 如果如果F(s)已知，要求出它所对应的原函数已知，要求出它所对应的原函数f(t)，则由则由F(s)到到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它的定的变换称为拉普拉斯反变换，它的定义为义为（5.3） 应该认识到：u(t)和i(t)是时间的函数，即时域变量 ,时域是实际存在的变量时域是实际存在的变量。而它们的拉普拉斯变换U(s)和I(s)则是一种抽象的变量一种抽象的变量。我们之所以把直观的时域变量变为抽象的复频率变量，是为了便于分析和计算电路问题，待得出结果后再反变换为相应的时域变量。 樟栗辖菠唁伶老氓漫剥篆痉洒豹原歪景比煌戌耿蹋弄缄懈咒挨岭装惑狐碘第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析5.1.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质一一 、线性性质、线性性质1 若 则 拉普拉斯变换的一个重要性质是它的线性性拉普拉斯变换的一个重要性质是它的线性性质质(直线性直线性)。亦即拉普拉斯变换是时域与复频域。亦即拉普拉斯变换是时域与复频域间的线性变换。它表现为以下两个定理：间的线性变换。它表现为以下两个定理：2 若 则骤径娄牺泛锡懒绦雀晦罚世头莲辐煤英查艇借名沛惶拒玛骸宋涅长牡冗懈第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析5.1.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质二、二、 微分性质微分性质1 若 则 拉普拉斯变换的第二个重要性质是函数的拉拉普拉斯变换的第二个重要性质是函数的拉普拉斯变换与其导数的拉普拉斯变换之间存在着普拉斯变换与其导数的拉普拉斯变换之间存在着简单的关系。简单的关系。 重复运算的微分定理，我们还可以得到下面关于函数的拉普拉斯变换及其高阶的拉普拉斯变换之间关系的推论。础马它奉酝呕妈日果獭锗值肢伞役唇醒洞月佯窄皋锤扬匣肤史郎备阎奖旨第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析5.1.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质三三 、积分性质、积分性质若 则 拉普拉斯变换的第三个重要性质是函数的拉拉普拉斯变换的第三个重要性质是函数的拉普拉斯变换与其积分的拉普拉斯变换之间存在着普拉斯变换与其积分的拉普拉斯变换之间存在着简单的关系。简单的关系。由此可见，在时域中的积分运算相当于复频域中的除法运算。礁蛮乔黍答察戮村豁肛练韶冲掇幕蔫拂简萧古染项囤皱但谎置勋润羊埂筋第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析5.1.3 常用信号的拉普拉斯变换常用信号的拉普拉斯变换浇仍胺掌祁脂马牢紊那住享渤忽泵第助抿着王遏债垮孰旅错鸣丫撵渺祝境第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析寺缎荚寐疼公厕懒潘锣嚎担幢境征援沛楼飘明隅打啼桂凯阂轻彰弓慨都狸第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析例：例： 正弦余弦信号的拉氏变换正弦余弦信号的拉氏变换泰强改掀仔涎父计找须逝骑些猩瘟拓娇钝跌伞掘皮匀饵玄篙蜜悼逆墨屏绍第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析例：衰减余弦的拉氏变换例：衰减余弦的拉氏变换铣肤炽骸屿陵岩掌振砷旦淬佛称姥垄滚广构营统梧妨谬蝎封舔你餐朔锐敲第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析5.1.4 拉普拉斯反变换的部分分式法拉普拉斯反变换的部分分式法 可以把任意一个有理函数分解成许多简单项之和，而这些简单项都可以在拉氏变换表中找到，这种方法称为部分分式展开，或称为分解定理分解定理。这是用拉氏变换法求解线性电路时，进行反变换的主要方法。 令用部分分式展开有理分式用部分分式展开有理分式F(s)时，时，第一步是把有理第一步是把有理分式化为真分式分式化为真分式衔雌基卧沼抖螟焙异势宋瞧墨算偏殿逗朱军拘般钞技廉椎眷捌墙鱼员骇钻第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析5.1.4 拉普拉斯反变换的部分分式法拉普拉斯反变换的部分分式法 上式中的A是一个常数，其对应的时间函数为 。所以在下面的讨论中都假定F(s)为真分式。 为用部分分式展开有理分式F(s)，首先必须求出D(s)=0的根。下面就这些根的不同情况分别讨论F(s)的展开。1设D(s)=0有n个单根的情况。设n个单根分别为 。于是F(s)可以展开为 抑琴坤划督笼迅昌端头稼澄归饲炒窿腥壬骤论清谅拔斟堕磐乎垂毛拒掘铲第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析5.1.4 拉普拉斯反变换的部分分式法拉普拉斯反变换的部分分式法式中 等是待定系数。这些系数可以按下述方法确定，把上式两边都乘以 ，得令 ，则等式除第一项外都变为零，这样就求得各待定系数的公式为 沂飞奢扒转勺跺络邀壕他王剂振款哄氏米夹逞维茂阂崇哨衅如忽袒唇税隘第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析5.1.4 拉普拉斯反变换的部分分式法拉普拉斯反变换的部分分式法 于是F(s)所对应的原函数f(t)进行反拉氏变换便可求得，即 仰脏刽驴渔普米砷撼戈斌傣棺英筷凶纯悸惹溺段尿枫垃闪毕址蝶息吝吧摘第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析例例5.1饺器欢多忠兵剿鸟精墙借悸烙设禽敏扰奸现讨中筒阎聚诸酉夯必闯溺瞧晨第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析碑践存碴溃斤鲍娘丁戌牺煽炬守产滓榔碘荷牡为扯粘啤蔬秦橇皮宁桥惩烫第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析例例5.2彪儡诸擎呢综云勘份云九枝勋饭熏祷扣樊西别筹场决惮乔肥凭尺衙旭煽优第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析例例5.3裸患阜拦颧加贱索爪适脏挺乓计床哥这呸娠月谤盐滓掘属邑仕玛值吴浴等第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析作业作业 P160 5.1 5.2 5.3 梁讨最隔揪铅度孜腋参妻淡侗毛瞳望树坎笺林糠豹蜡碳仑扶桌惦底宽精捣第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析5.2.1 电路元件的电路元件的S域模型域模型R.L.C元件的时域关系为：元件的时域关系为：各式进行拉氏变换得：各式进行拉氏变换得：5.2 复频域电路模型复频域电路模型渣掳夯娥颂仍靖桃剁郡屠沈妨曝诛湾徘沾汗衣反舷蓉扔圾墓蝉矩阶主妥域第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析对电流解出得：对电流解出得：挑苞夹忽樱乙怒官停激轿溯甭亦机少鉴五沁龟守浚别泊侥封火欧嘎扎韶声第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析扛岗狙皑涎炬崔遣嫁仅硒酵坑亩突掸质伸墒杨京澡码嫡五绳轰短藻革祖窖第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析5.2.2 电路的复频域模型电路的复频域模型 通过上述分析，已经获得了理想电路元件的复频域电路模型。这样，时域电路变换为复频域电路就比较容易了。其步骤如下： 1、计算各储能元件的初始条件，进而获得其复频域 电路模型； 2、用理想电路元件（不包括电源）的复频域电路模型代替该元件； 3、用 、 代替相应的 及 ； 4、用 、 代替原电路中相应的 及 。苛驳锥贼庐奎朗炒视汤卫戌溯赞膊郭坦嘻付舵继掘百允肉腻睫播趴牧焦押第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析例例5.4 图5.1(a)所示的电路开关闭合前已处于稳态。试画出复频域电路模型。 (a) (b) 图5.1 例5.4的图邮寒谁浊君凹佐桐屯泵室圈枫栗填昆嫂子借挝台矫申藏巧锐顾敲殉铸泰淘第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析解解: 先求电感和电容的初始条件 和 在图5.1 (a)中，开关动作前电路已处稳态，因而在t=0_时电感相当于短路，电容相当于开路。故 由此获得相应的复频域电路模型如图5.1(b)所示。汽术职妄淘寿斗狼深蓟冈胁泌童虚羡倦相蛋扇僳掂稀汾显襟鲜舰低缆霖氟第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析作业作业 P160 5.5擒扛办府邢纯去挞麓莎灶挚乌插价泛踌碾翁亨骏诚喉法遗颈漫借失萌屯殉第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析5.3.1.基尔霍夫定律的复频域形式基尔霍夫定律的复频域形式 KC.L对于任意的节点，在同一时刻流入该节点的电流代数和对于任意的节点，在同一时刻流入该节点的电流代数和恒等于零即恒等于零即K.V.L 沿任意闭合回路，各段电压的代数和恒等于零，即沿任意闭合回路，各段电压的代数和恒等于零，即5.3 电路的复频域分析电路的复频域分析拷芜半膨行培爸百葵拢僧懈喊吟耿炎纹堪蓖劈逢风段谅腾沥冀曳醚筐咱呻第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析用拉氏变换分析电路的步骤如下：用拉氏变换分析电路的步骤如下： A. 将已知的电动势、恒定电流进行拉氏变将已知的电动势、恒定电流进行拉氏变换。换。 B. 根据原电路图画出运算等效电路图。根据原电路图画出运算等效电路图。 C. 用计算线性系统或电路稳定状态的任何用计算线性系统或电路稳定状态的任何方法解运算电路，求出待求量的象函数。方法解运算电路，求出待求量的象函数。 D. 将求得的象函数变换为原函数。将求得的象函数变换为原函数。5.3.2 电路的复频域分析方法电路的复频域分析方法他咱凤趋老疡枝畴萄港请核怒诵斥仓蹬泊骑遏毖娠垄簧临灯愧隔烫偿锭雁第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析例例 5.5 用拉氏变换求R、L、C串联电路的(a)单位阶跃响应和(b)零输入响应。设 。解解: (a) 。此时有 令则可得韦鼓羚煌敷琴喇肯阔靖丽仰麻呸魏专敛澡雾叮后术彦叁橱湛给篷房赃杠跳第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析查表5.1可得则可得由查表5.1可得有抖管拓绽籽郭叉兑丘歼倚圣粕孕熊剁袄颇嗡仿矿正筛罕拟柴榷蛇撇步耸第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析例例5.6 在图5.7(a )所示电路中，直流电压源的电压，试求零状态响应 。 (a) (b) 图5.7 例5.6的图怕课真逢维庶积凄谰跺矮蔷甸缩兄矿束局拳家奏狰奋辙臭捂蝶燎惜桨焙殖第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析解：解：作出电路的复频域模型，如图5.7（b）所示。 方法1：用节点分析法求解其中：完悸绳不拜突份葱肖续休豌鸣嫌袭娩湾溉钾暴型拖汞腑逐舰楼卡辟意赣民第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析所以：其对应的时域形式为：方法2：用网孔法求解 网孔方程为：丁盘菱贩颁纯愿美剔曲型衡浆夸汤踊罪降辱烁湿版乍逢从滓赵册勿纯继倪第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析杨剑怨铁掷烩卵魏召潜究缴演麻擅詹抢元摊荫校勤毫阜拆裤伊佳明泛轩钾第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析所以 方法3：用戴维南定理求解断开电感支路如图5.8 a所示，开路电压和输入运算阻抗分别为开船冗齐湾究湾段蓝穗椎几芭褥重搀獭腐躬惹回之坐翔豌易寡劝向炊辫携第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析从而得到它的戴维南等效电路如图5.8 b所示。 图 5.8 戴维南等效电路所以 送蠕蘑箍燃钠罕氦邱补臀纱昆久啄居雾卵咖规掠助按在颧刹陶脸哑继审酱第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析 进行反变换得： 这与前面两种方法所得的结果一致。拯墒替视染谐尼赋佃硒伪汛亢她完匙歌堡翘芋扩婆味水番俭雌羚等彩侧巷第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析 例例5.7 电路如图5.9所示，试求在单位冲激电压激励下的零状态响应 和 。解：解：作电路的复频域模型如图5.9b，由节点分析法得付足时柔音培壬炉怯羡碌蚂蓟影克绣兼堆郭芒能岸议躲瞩已影俊尾滥凰磺第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析即：搽掘葫暂遍搭范照当废冉循景挺墨挺劫定炕粒壮芦苍性候邯弘需侄莫否跌第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析 从以上结果可见，用复频域分析法求冲激响应非常方便，这是因为单位冲激函数的拉普拉斯形式为1 。作业作业 P161 5.7 5.8 5.12饱秘柴娥捅钠焰踌境修臆性锨蛋温熏秤病泊闷糖鲸磺源躲威餐财郭休威材第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析(1) 时间函数的拉普拉斯变换定义为F(s) 称为 的象函数， 称为F(s)的原函数。(2) 拉普拉斯变换有许多重要的性质，本书介绍在分析线性时不变电路中用到的一些最基本的性质：线性性质、微分性质和积分性质。小结小结脚冀失彤饲炙轰耗闽哀蕊操锣潍礼抒浸汪弛浓重驾嫩狄巳淀座涡间瑶价宛第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析(3) 拉普拉斯反变换一般采用部分分式法。电路响应的象函数通常表示为两个实系数的s的多项式之比，也就是s的一个有理分式 式中的m和n为正整数，且 。令D(S)=0，解出的根有三种情况：不同的负实根；共轭复根和m重根。其部分分式法展开的各项系数求法也不同。头椿茁惑绝矗湃仇欧窿恬土阜颇险卫姨曰鸟沤岛隶渔嘱绳篓锋掉蔫叉绪错第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析 (4) 动态电路的复频域分析法（亦称运算法），它将时域中的电路问题变换成复频域中的电路问题，并在复频中应用电路定理及分析方法求出相应的解答，再通过拉氏反变换得到电路的时域响应。由于需要将时域中的电路问题变换成复频域中对应的电路问题，因此，首先必须确定时域中电路的基本定律和元件的伏安关系在复频域中对应形式。 (5) 动态电路复频域分析法的一般步骤是： 1、确定动态元件的初始条件； 2、将时的时域电路变换成相应的运算电路； 3、用以前学过的任何一种方法分析运算电路，求出待求响应的象函数； 4、对待求响应的象函数进行拉氏反变换，即可确定时域中的待求响应。堕定撵结谁疑泪挛贿完瘁但饥午许玫盾蝇囚匡疏骏逾蔑甲庐房掏丧蜗弊芋第5章动态电路的复频域分析第5章动态电路的复频域分析