4 向量组的秩一、极大无关组1.定义：假设向量组A中有r个向量1,2,r,满足：11,2,r,线性无关；2A中一切向量都可以用1,2,r线性表示，那么称1,2,r是向量组A的一个极大无关组。2.等价定义：假设向量组A中有r个向量1,2,r,满足：11,2,r,线性无关；2A中恣意r+1个向量假设有的话都线性相关，那么称1,2,r是向量组A的一个极大无关组。注：向量组的极大无关组不独一 ，但极大无关组所含向量的个数一样。二、向量组的秩1.定义：向量组1,2,s的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩。三、矩阵与向量组的秩1.定理：矩阵的秩=列向量组的秩=行向量组的秩。2.求向量组秩与极大无关组的方法：(1)将这些向量作为矩阵的列构成一个矩阵；(2)用初等行变换将其化为行阶梯形矩阵；(3)行阶梯形矩阵非零行的行数即为向量组的秩；(4)首非零元所在列对应原来的向量即为极大无关组。注：按列摆，用初等行变换。注：按列摆，用初等行变换。1.1=(1,0,3,1)T,2=(1,3,0, 2)T,3=(2,1,7,2)T, 4=(4,2,14,0)T. 练习：求以下向量组的一个极大无关组和秩，并用该极大无关组表示其他向量：2.1=(1,1,3,1)T,2=(1,3,1,5)T,3=(2,6,2,10)T, 4=(3,1,15,12)T,5=(2,6,6,2)T.参考答案：,1,2,3是一个极大无关组。1.,1,2,4是一个极大无关组。2.6 线性方程组解的构造一、齐次线性方程组解的构造：一齐次线性方程组Ax0解的性质 1.假设12为方程Ax0的解 那么1+2也是Ax0的解。0 + 0A1 + A2A(1+2)2.假设1为方程Ax0的解 那么k1也是Ax0的解。A(k1)k0k(A1)03.假设12,t为方程Ax0的解 那么12,t的线性组合k11 + k22 + + ktt也是Ax0的解。普通地：0这阐明,设S是方程Ax0的解的集合, 12 t是S的一个极大无关组 那么： (1)方程Ax0的任一解都可由12 t线性表示 (2) 12 t的任何线性组合 xk11k22 ktt都是方程Ax0的解。 因此xk11k22 ktt是方程Ax0的全部解1.定义：齐次线性方程组的解集的极大无关组称为该齐次线性方程组的根底解系。二齐次线性方程组的根底解系 (通解)。三齐次线性方程组解的构造 设12t为方程Ax=0的根底解系 那么方程Ax=0的通解为： x=c11c22 ctt (c1 c2 ctR) 1.定理：假设r(A)=rn 那么n元齐次线性方程组Ax=0的根底解系存在，且每个根底解系恰含nr个解。1.定理：假设r(A)=rn 那么n元齐次线性方程组Ax=0的根底解系存在，且每个根底解系恰含nr个解。由于r(A)=rn 所以Ax=0的系数矩阵可化为：证明： 依次取为c1c2 cn-r，可得通解： 对应的方程组为：其中xr1xr2 xn为自在未知量, 令：=1所以12n-r是Ax=0的一个根底解系=2=n-rAx=0的一切解可由12n-r是线性表示，容易看出：12n-r线性无关；线性无关加长无关，恰含nr个解。2.求根底解系的方法 对自在未知量，依次令 得到的nr 个解向量，就是方程组的一个根底解系。 当 r(A)rn时 方 程 组Ax0的任何nr个线性无关的解都可构成它的一个根底解系。注：根底解系不独一，例：用根底解系表示齐次线性方程组的通解：解：对方程组的增广矩阵进展初等行变换：因此r(A)=3，原方程组有无穷多解。5依次令得根底解系：所以原方程组的通解为：又：例：用根底解系表示齐次线性方程组的通解：解：对方程组的增广矩阵进展初等行变换：依次令得根底解系：所以原方程组的通解为：因此r(A)=2，原方程组有无穷多解。4又：练习：求以下齐次线性方程组的根底解系，并用根底解系表示通解：参考答案：二、非齐次线性方程组解的构造：称Ax=0为Ax=b对应的齐次线性方程组导出组。1.性质:1假设1,2都是Ax=b的解，那么12是Ax=0的解。(2)假设是Ax=b的解,是Ax=0的解，那么+是Ax=b的解。假设是Ax=b的解(特解),是Ax=0的解,1,2, ,n-r是Ax=0的根底解系=c11c22 cn-rn-r+ =+ c11c22 cn-rn-r是Ax=b的解。假设Ax=b有解x，那么x为Ax=0的解x =c11c22 cn-rn-r x =+c11c22 cn-rn-r2.定理：假设Ax=b有无穷多解，且是它的一个特解， 是它的导出组Ax=0的一个根底解系，那么Ax=b的通解为：，那么有：，所以：由以上两性质，我们容易得到以下结论：例：求下述方程组的通解解：对方程组的增广矩阵进展初等行变换：因此，原方程组有无穷多解。5又：令，得特解：依次令得根底解系：所以原方程组的通解为：对应的导出组为：注：求特解时，常令一切自在未知量都等于零。练习：1.解线性方程组：2.当取什么值时，以下方程组有无穷多解，并解之。参考答案：思索：设三元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为 ，且r(A)=2，那么Ax=b的通解为( )：B