Key.四点共圆的证明五个基本判断方法：1. 若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。2. 若一个四边形的一组对角互补（和为180），则这个四边形的四个点共圆。3. 若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。4. 若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。5.同斜边的直角三角形的顶点共圆。2021/6/1611.若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。2021/6/162如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上分析指导：利用直角三角形斜边的中点等于斜边的一半，再利用菱形的四边相等即可证出。2021/6/1632.若一个四边形的一组对角互补（和为180），则这个四边形的四个点共圆若A+C=180或B+D=180，则点A、B、C、D四点共圆2021/6/164已知：四边形ABCD中，A+C=180求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆证明：用反证法过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，则C在圆外或圆内，若C在圆外，设BC交圆O于C，连结DC，根据圆内接四边形的性质得A+DCB=180，A+C=180DCB=C这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。2021/6/1653.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。若B=CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上2021/6/166例如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F点。求证:C、D、E、F四点共圆。分析:欲证C、D、E、F四点共圆，可证以该四点构成的四边形中，一组对角互补或外角等于内对角即可。由此，连接EF构成四边形EFCD后，证明BFE=D即可。证明:连接EF，四边形ABFE是圆内接四边形，A+BFE=180。又四边形ABCD是平行四边形，A+D=180。BFE=D。C、D、E、F四点共圆2021/6/1674.若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆。若A=D或ABD=ACD，则A、B、C、D四点共圆2021/6/168用反证法：已知：同侧ABC和CBD，共有底边CB，A=D，求证：A、B、C、D四点共圆证明：假设四点不在同一圆上，作ABC外接圆，则D点不在圆上，因二角共用AB弧，则AD，与实际不符，所以只有D点在ABC外接圆上，故A、B、C、D四点共圆。2021/6/1695.同斜边的直角三角形的顶点共圆如图如图1，四边形，四边形ABCD中，中， A= C=90，求证：，求证：A、B、C、D四四点共圆点共圆.如图如图2， A= C=90，求证：，求证：A、B、C、D四点共圆四点共圆. 分析指导：可以直接根据圆的定义证明分析指导：可以直接根据圆的定义证明A、B、C、D四点到四点到某一定点的距离相等某一定点的距离相等.取斜边的中点取斜边的中点O.，再连接，再连接A.C,利用斜边利用斜边中点等于斜边一半证中点等于斜边一半证OA=OB=OC=OD。2021/6/1610 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！