第九章第九章 交会法和小三角测量交会法和小三角测量9.1 9.1 概概 述述 一、控制点的布设形式一、控制点的布设形式1 1测角交会测角交会 1 1）前方交会）前方交会 如图，如图，A A、B B为已知为已知点，点，P P为待定点，在两为待定点，在两个已知点上安置仪器，个已知点上安置仪器，观测水平角，求出观测水平角，求出P P点点坐标。坐标。 裳帕凸羔艰佯泣呀醉拙漓陇储佳伪酒耸苍盛费真傲匙芝肾格佛田蚕逛这债第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 1 2 2）侧方交会）侧方交会 如图，如图，A A、B B为已知为已知点，点，P P为待定点，为待定点，B B点不点不能安置仪器，所以在已能安置仪器，所以在已知点知点A A及待定点及待定点P P上安置上安置仪器，观测水平角，求仪器，观测水平角，求出出P P点坐标。点坐标。 渴董曰甥侍酷犀忠惫羽盅格谭貌贤品序蛰琉盗悍峰陇摈陪酸些遏辜肋纤凡第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 2 3 3）后方交会）后方交会如图，如图，A A、B B、C C为已为已知点，知点，P P为待定点，为待定点，在待定点在待定点P P上安置仪上安置仪器，观测水平角，求器，观测水平角，求出出P P点坐标点坐标。盈喻肪吵从棋轿类分扫硝零甩拉镣祁猖呀东投任苹氖歧渝碌歇傀桶宫喳屋第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 34）其它交会）其它交会 旁点交会图形旁点交会图形 双点后方交会图形双点后方交会图形 昼世瑟抹亚驴疆犯霓广傲苞锐掐于睫迢奸系措概科骚首铸煞苔邵豌完叛返第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 42 2测边交会测边交会如图，如图，A A、B B为已知点，为已知点，P P为待定点，测量两为待定点，测量两待定边的距离，求出待定边的距离，求出P P点坐标。点坐标。由测角交会和测边交会知道：由测角交会和测边交会知道： 确定一个点的平面位置，需要两个确定一个点的平面位置，需要两个观测量。观测量。稠热讶禄潘蜜众加服宾专辙横哀每衡钒柬路驮牧斯脾虱坎怯眉埂愈弹狼系第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 53 3、小三角网的布设形式、小三角网的布设形式单三角锁单三角锁中点多边形中点多边形ABCEDAF大地四边形大地四边形ABCD线型锁线型锁CDEFBCDEFBA冯领夹阐何枯苦掣滨私弯铬战昭匙氮仆碴丘畜窜弧迂却阴葱臀猛且隐钦亦第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 6二、作业步骤二、作业步骤1 1外业外业 选点（图上选点、实地勘察）、选点（图上选点、实地勘察）、造标、埋石、观测（测角、测边）造标、埋石、观测（测角、测边）2 2内业内业 检查手簿、抄录起算数据（核检查手簿、抄录起算数据（核对）、坐标反算、归心投影计算、对）、坐标反算、归心投影计算、求各点坐标、评定精度。求各点坐标、评定精度。 郊出冉什察帆脸傲隋刹螺咖渍乏钻颊乌粟拟钦郭柳荒蹦乓捡脏羔寓裕促阜第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 7一一. .前方交会的前方交会的计算计算一一. . 计算公式计算公式（余切公式、戎格公式）（余切公式、戎格公式） A AB BP P 已知点：已知点： A(X A(XA A,Y,YA A) )、B(XB(XB B,Y,YB B) ) 待定点：待定点： P P 观测数据：观测数据： 、 ,(,( =180 =180- - - - ) )9.2 9.2 前方交会前方交会蒋蒋岗步矫滁密填凶介呵吕个柔蹦对筷郭涛绥疏宫荡逢稗抵胞萨塔站酌蝴第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 8前方交会计算公式直接计算待定点坐标的公式：直接计算待定点坐标的公式：ABP余切公式余切公式正切公式正切公式酚倾篱纯淤诚读涪惋伺官派督轰排位暮肇忍糠蓬巳耀瘟哮钳腆唾鞍弄钠舷第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 9 1）计算公式是根据）计算公式是根据A、B、P为为逆时针组成的图形导出的，实际计逆时针组成的图形导出的，实际计算时必须按这样的顺序编号；算时必须按这样的顺序编号； 2）为了检核计算，以求出的）为了检核计算，以求出的P点坐标和点坐标和A点计算点计算B点，与点，与B点已知点已知值相比较。这种检核只能检核计算值相比较。这种检核只能检核计算是否正确，不能发现角度测错、用是否正确，不能发现角度测错、用错，已知点坐标用错，也不能提高错，已知点坐标用错，也不能提高计算精度。计算精度。 密筋钠瑶旦忠杆馅蓬潘潘扫例宋现淋统吝贝噎私晚歪锰菇眉茶胎赘劣寺冈第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 10二、检核二、检核 1两组前方交会两组前方交会 双点前方交会，不能发现观测错误及用双点前方交会，不能发现观测错误及用错起算数据的错误。为了检核，通常是布错起算数据的错误。为了检核，通常是布设成两组前方交会，比较两组计算结果，设成两组前方交会，比较两组计算结果，其差异是否在允许范围之内。其差异是否在允许范围之内。 2限差规定限差规定煽稀矮抢制蔚填句梅和朝泣门髓暇量潮肚油连坍歼淄及糟碧寸挛皖跑令戚第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 11三、图形要求三、图形要求1 1交会角交会角：在测角交会图：在测角交会图形中，由未知点至相邻两起始形中，由未知点至相邻两起始点间方向的夹角。点间方向的夹角。交会角太小或太大，相同的测交会角太小或太大，相同的测角误差将使待定点的点位误差角误差将使待定点的点位误差增大，如右图所示。增大，如右图所示。2 2要求：要求：3015030150炙翟竖眩犀嘻仰坐惭舀稽咐提失枕缩青擞鹃柠英数淄署言器滞君轨腰昏滁第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 12四、变形图形四、变形图形 为了满足交为了满足交会角的要求，会角的要求，有时需要改有时需要改变前方交会变前方交会的基本图形。的基本图形。 四点前方交会四点前方交会 折迭图形折迭图形 基线边不通视的情况基线边不通视的情况榴警杆苫棒饭级降表蛊归垣笺徽沼诗这女聪赡曰冤猾恕纶瘴培瓦展蚁锭酵第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 13基线边不通视的情况的计算基线边不通视的情况的计算可以把它转换成典型的两点前方交会，可以把它转换成典型的两点前方交会，另外，也可以按下式计算：另外，也可以按下式计算： 它省去了坐标反算的步骤。它省去了坐标反算的步骤。 注意图形编号顺序，对地形控制点，坐标取注意图形编号顺序，对地形控制点，坐标取至至cmcm，三角函数要取，三角函数要取6 6位小数。位小数。 俯稼瞬秤恶名绎殉被忱浅枪拄蛤僧格丈硬夕交那监烽些擂麦帧英摩孰侄樱第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 14前方交会计算实例前方交会计算实例野外点位略图 已已知知数数据据 点号 x/m y/m D D6 6116.942116.942683.295683.295D D7 7522.909522.909794.647794.647D D8 8781.305781.305435.018435.018观观测测数数据据 组组1 1=591042=591042 1 1=563254=563254 组组2 2=534845=534845 2 2=573333=573333 计算结果 (1)(1)由由I I组计算得：组计算得： X XP P=398.151m Y=398.151m YP P=413.249m=413.249m(2)(2)由由组计算得：组计算得：X XP P= 398= 398127m Y127m YP P=413.215m=413.215m (3)(3)两组坐标较差：两组坐标较差： 0.042m0.042m限差限差 (4)P(4)P点最后坐标为：点最后坐标为：X XP P= 398.139m Y= 398.139m YP P=413.232m=413.232m题句叛锗族诚咏浅殊讶童唆睦需灭抵衷评做鲸企氢渤均习晾带猎疤覆瘫樊第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 159.3 9.3 侧方交会侧方交会 一、适应条件一、适应条件一个已知点不能设站，而未知点上可以设站。一个已知点不能设站，而未知点上可以设站。 二、计算公式二、计算公式把侧方交会转化为前方交会，把侧方交会转化为前方交会， =180- =180- 邵吧州利猪胁吁膊超笼死御乞隋酪蓟暮弊文店合辕封促资甜霄炯通药粥粕第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 16 三、检核三、检核 在待定点观测另一个已知点在待定点观测另一个已知点C C得检查角得检查角，计算出计算出P P点坐标后，反算点坐标后，反算PCPC、PBPB的方位角，其差的方位角，其差值为值为计，两者的差异计，两者的差异应满足下式规定：应满足下式规定： 允允 = = SpcSpc不能太短，否则不能太短，否则允可以允许很大。允可以允许很大。四、图形要求：同前方交会四、图形要求：同前方交会 脑粟椅零综捅冷务通往刑觅早燕盲凶瘴奢靶托薄噎繁尧饥爵折去波双淑跟第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 17 五、变形图形五、变形图形 A A与与B B不通视，但可以观测到另不通视，但可以观测到另一个已知点一个已知点D D，如何求出，如何求出角？角？旬锅搏讯蕉禹嚷梨翼疚锁删屹蛆熊一硝护争沾番沏天菱竖癸厘瑚明餐捧楞第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 189.4 后方交会后方交会一、适应条件一、适应条件适应已知点不能安置仪器适应已知点不能安置仪器或不易到达的情况。或不易到达的情况。二、基本图形及计算公式二、基本图形及计算公式1余切公式余切公式 1）求）求聚变材续耶贾岿千敷或竣应擅泞彝嘶甜姜武杉稻止菱耪浸晦仍悸忘炽殃才第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 192）求）求N3）求坐标）求坐标垄乙任继过台臂萨妖唆罚石琵倦渗旅贺锨选诊孙儡逊极警茵潮甘俱棕囱芽第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 202仿权公式（安谢麦特公式）仿权公式（安谢麦特公式） ：ABCPRaRbRcA、B、C为三个已为三个已知点构成的三角形的三个知点构成的三角形的三个内角。即后方交会基本图内角。即后方交会基本图形中的形中的CAB、ABC、BCA。、为后方为后方交会基本图形中交会基本图形中A、B、C所对的角。所对的角。 秧尊累篮潦哑垣匹坯折匈欺爬撬曰彤背钎打瞻啪毯崩缩认谱炉烁姑鲸柄桨第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 21三、后方交会的危险圆三、后方交会的危险圆1 1定义：过三个已知点构定义：过三个已知点构成的外接圆称为危险圆。成的外接圆称为危险圆。2 2影响：当待定点位于危影响：当待定点位于危险圆上任一位置时，险圆上任一位置时，、角不变，无法求解。角不变，无法求解。3 3注意：待定点不要在危注意：待定点不要在危险圆附近，否则误差很险圆附近，否则误差很大。大。 怕刑汛搭瘪仿龋技使镣操花苛铂翱瘫专惩礼寒宝卸逐欣裤竹猜壶虫蚕饵袖第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 22四、后方交会的检核四、后方交会的检核1观测检查角观测检查角（同侧方交会）（同侧方交会）2分两组计算分两组计算 担居振翼谆痢膝从配途抉摧邪酷详拽躬锄没酪旬雨展丹捎质瓜净凿惕虏贝第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 239.5 交会点的精度交会点的精度概概 述述待定点坐标待定点坐标XP、YP是已知点坐标和观测角的函数。是已知点坐标和观测角的函数。 XP =f（XA，YA，） YP =（XA，YA，） 对上面两式求全微分，忽略已知点坐标的误差，对上面两式求全微分，忽略已知点坐标的误差，应用误差传播定律，得，则交会点的点位中误差应用误差传播定律，得，则交会点的点位中误差为：为： 下面只简要介绍前方交会的几个结论。下面只简要介绍前方交会的几个结论。 悸吾织备即玫捉陶奥卜性宴晚遍戚草脆弥乃惩娩担碍回鞍酮奠跨摹窄春诉第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 24一、两点前方交会一、两点前方交会 若若s、m不变，则与不变，则与、有关，即与交会点有关，即与交会点相对于相对于A点位置有关。点位置有关。对上两式求极值，分析点位误差与交会点对上两式求极值，分析点位误差与交会点位置的关系。位置的关系。殿淳旬仓蛔酮理挖氖闻喳慕诲残涅蕉巴硬褒万幢言布姐嚎柔媒伪柬爆吃怖第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 251交会点交会点P位于位于A、B、P三点的圆周上三点的圆周上此时，交会角不变，即上两式的分母不变，此时，交会角不变，即上两式的分母不变，变量只有变量只有和和。令。令上式对上式对、求偏导，在求偏导，在=条件下对条件下对U求二阶求二阶导数，导数，可见：可见：90，U“0，U有极大值；有极大值；90，U“0，U无极值；（中误差处处相无极值；（中误差处处相等）等）90，U“0，U有极小值；有极小值； 寡铲栽扔琐诲蝶糊柯贡竭弯啼映舟现聪加概箱台白堡甭皮弯俭爸下勾是铅第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 26结论：结论：1）当交会角）当交会角90时，前方交时，前方交会点宜选在与已知点构成等腰三会点宜选在与已知点构成等腰三角形的位置，最佳位置为角形的位置，最佳位置为=1092816；2）当交会角）当交会角90时，则以靠时，则以靠近已知点的位置为好。近已知点的位置为好。 典溶射牺茄赂十酸室慎应焊苗万吨簿涅戮燎甜哄惦黎暂试女线锭侣掉遵选第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 279.6 9.6 单三角形单三角形一、特点及适应条件一、特点及适应条件1 1由两个已知点和一个待定点组成三角形，由两个已知点和一个待定点组成三角形，观测三角形的三个内角。观测三角形的三个内角。2 2适应于控制点少或不通视，而且已知点适应于控制点少或不通视，而且已知点和待定点都能设站的情况。和待定点都能设站的情况。庐弯四汗须砂蕴彦血粉宾棚闻咬侯颐赢胶安旨缓烬啊洱徘斌痰衷撒战牟剥第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 28二、计算二、计算1 1计算并分配三角形内角和闭合差。计算并分配三角形内角和闭合差。2 2用改正后的角度按前方交会公式计算点的用改正后的角度按前方交会公式计算点的坐标。坐标。3 3已知点坐标抄错或角度搞反，计算时发现已知点坐标抄错或角度搞反，计算时发现不了，要特别注意。不了，要特别注意。 曰洪翟剔钓借窃虚跪篷牺枢蛾诗罐潍豪叉湍引似挽哟芝潮草莎给茸嚷于老第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 29三、精度分析三、精度分析1点位中误差点位中误差 式中，式中，s s以以kmkm为单位，为单位，m m以秒为单位，以秒为单位，mpmp以以mmmm为单位。为单位。2 2点位中误差与图形的关系点位中误差与图形的关系1 1）因为有一个多余观测，对观测角进行了改正，）因为有一个多余观测，对观测角进行了改正，所以精度比前方交会更高。所以精度比前方交会更高。2 2）当）当= 39= 393810.73810.7，=100=1004338.64338.6时精度最高。时精度最高。 档梅猫瘪罢赌厚销雄哀黔卢喘疮蜗穿锥蔬体啤荡权嘴疏限殴橇浴蚊绰煮骋第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 309.7 9.7 其它交会方法其它交会方法这里在就只介绍双点后方交会的几种图形这里在就只介绍双点后方交会的几种图形布设。适应于测区控制点较少的情况布设。适应于测区控制点较少的情况 待定点在已知点两侧待定点在已知点两侧 待定点在已知点同侧待定点在已知点同侧 搂浚番龚并耘呐岛侣粳震妮竭粤却焙穿洒螺凄捞钢裂妹桂淤您勤奇搜隔吗第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 31检核图形检核图形州呵未蓄厢涛渗疙酚撮际伟摹句咋乱奥请酣趣宝蓄躬踪朋竭镶庞萤隅要渝第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 329.8 测边交会测边交会一、图形布设一、图形布设 三边交会三边交会 四边交会四边交会 共没饺譬乍凸萨郧变阀屉谓薛园否辐珐铅肉极几豌趾扎段汰造吧帘梁呐鸳第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 33二、计算公式二、计算公式 1 1推导思路推导思路 求坐标不但要知道边求坐标不但要知道边长，还要知道方位角，要长，还要知道方位角，要设法用边长来表示角度。设法用边长来表示角度。如图，过如图，过P P点作已知边的垂点作已知边的垂线，得辅助边线，得辅助边h h、l l、g g，用，用h h、l l、g g表示表示ctgActgA、ctgBctgB，然后通过前方交会的余切然后通过前方交会的余切公式来计算。公式来计算。屿骋今峡括翁播秸碟邹单澳舶伤氦区竭邪菲染唐田闭灸阳抵康诊镶掳咐材第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 342计算公式计算公式 妙蹬贡剧结租奖窖懈让裕努妄肯账趁搅径咙哆哪光赋馁绝军豌绿骸史象畜第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 35三、限差三、限差 1 1三边交会：三边交会：SC20.1M(mm)SC20.1M(mm) 2 2四边交会：四边交会：S 20.1M(mm)S 20.1M(mm) 四、精度分析四、精度分析 当测边精度相同时，交会角当测边精度相同时，交会角P=90P=90，待定点的精度最高。，待定点的精度最高。作业：作业：1414溶例血愁躇乙橡佑瞄怠超邵郁秩槛逸橇簇弦瞎延译寅噬传危挽衔半带颠谋第2章 交会法和小三角测量第2章 交会法和小三角测量7/21/2024 36