第第3课时课时 空空间间点、点、线线、面、面间间位置关系位置关系 20162016 考纲下载考纲下载 1理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解作为推理依据的公理和定理 2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 请注意 平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成的角和距离是高考热点，在新课标高考卷中频频出现 课前自助餐课前自助餐 平面的基本性质 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内 公理 2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 公理 3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线 用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系： 点 A 在平面 内记作 A，点A 不在平面 内记作 A? (2)点与线的位置关系： 点 A 在直线 l 上记作 Al，点 A 不在直线 l 上，记作 A?l (3)线面的位置关系： 直线 l 在平面 内记作 l? ，直线 l 不在平面 内记作 l? (4)平面 与平面 相交于直线 a，记作 a (5)直线 l 与平面 相交于点 A，记作 lA (6)直线 a与直线 b 相交于点 A，记作 abA 直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 ?平行.?共面直线? ?相交.?异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线.? (2)异面直线所成的角 定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的锐角或直角叫做异面直线 a，b 所成的角(或夹角) 范围：(0， 2 1判断下面结论是否正确(打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面 ， 有一条公共直线 a，那么就说平面 ， 相交，并记作 a. (2)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于过 A点的任意一条直线 (3)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于 A 点，并记作 A. (4)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC. (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2空间四点中，三点共线是这四点共面的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 3已知直线 a，b，c，有下面四个命题： 若 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c异面； 若 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c相交； 若 ab，则 a，b 与 c所成的角相等； 若 ab，bc，则 ac. 其中真命题的序号是 _ 答案 解析 a，c可能相交、平行或异面；a，c 可能相交、平行或异面；正确；a，c可能相交、平行或异面 4.如图所示是正四面体的平面展开图，G，H，M，N 分别为 DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中， GH 与 EF平行； BD 与 MN 为异面直线； GH 与 MN 成 60角； DE 与 MN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是 _ 答案 解析 还原成正四面体知 GH与 EF为异面直线，BD 与 MN为异面直线，GH 与 MN 成 60角，DEMN. 5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 A1B1，B1C1的中点问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？ (2)D1B 和 CC1是否是异面直线？ 思路 (1)易证 MNAC，所以 AM 与 CN 不是异面直线；(2)由图易判断 D1B 和 CC1是异面直线，证明时常用反证法 解析 (1)不是异面直线理由：连接 MN，A1C1，AC. M，N 分别是 A1B1，B1C1的中点，MNA1C1. 又A1A 綊 C1C，A1ACC1为平行四边形 A1C1AC，得到 MNAC. A，M，N，C 在同一平面内 故 AM 和 CN 不是异面直线 (2)是异面直线理由： ABCDA1B1C1D1是正方体， B，C，C1，D1不共面 假设 D1B 与 CC1不是异面直线， 则存在平面 ，使 D1B? 平面 ，CC1?平面 . D1，B，C，C1. 与 ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾 假设不成立，即 D1B 与 CC1是异面直线 授人以渔授人以渔 ? 题型一 平面的基本性质 例 1 下列命题： 空间不同三点确定一个平面； 有三个公共点的两个平面必重合； 空间两两相交的三条直线确定一个平面； 三角形是平面图形； 平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； 垂直于同一直线的两直线平行； 一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； 两组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的命题是_ 【解析】 由公理 3 知， 不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题 错，中有可能出现两平面只有一条公共线 (当这三个公共点共线时)，错空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面 中平行四边形及梯形由公理 2 可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示 在正方体ABCDABCD中，直线 BBAB，BBCB，但AB与CB不平行，错ABCD，BBABB，但BB与CD不相交，错如图(2)所示，ABCD，BCAD，四边形ABCD不是平行四边形，故也错 【答案】 探究 1 对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理 3 中“不共线的三点”， “不共线”是很重要的条件另外，对于平面几何中的一些正确命题，包括一些定理推论，在空间几何中应当重新认定，有些命题因为空间中位置关系的变化，可能变为错误命题，学习中要养成分类讨论的习惯，再就是结合较熟悉的立体几何图形或现实生活中的实物进行辨析，也可利用手中的笔、书本等进行演示，验证 思考题 1 (2013 安徽理)在下列命题中，不是公理的是( ) A平行于同一个平面的两个平面相互平行 B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【解析】 B，C，D 都是公理 【答案】 A ? 题型二 平面基本性质的应用 例 2 已知在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F分别为 D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ. 求证：(1)D，B，F，E 四点共面； (2)若 A1C 交平面 DBFE于 R 点，则 P，Q，R 三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点 【证明】 (1)如图所示 因为 EF是D1B1C1的中位线， 所以 EFB1D1.在正方体 AC1中， B1D1BD， 所以 EFBD.所以 EF， BD 确定一个平面，即 D，B，F，E 四点共面 (2)在正方体 AC1中，设 A1CC1确定的平面为 ， 又设平面 BDEF为 .因为 QA1C1，所以 Q. 又 QEF，所以 Q.所以 Q 是 与 的公共点同理，P是 与 的公共点所以 PQ. 又 A1CR，所以 RA1C，R，且 R. 则 RPQ，故 P，Q，R 三点共线 (3)EFBD 且 EFBD， DE与 BF相交设交点为 M， 则由 MDE，DE? 平面 D1DCC1， 得 M平面 D1DCC1，同理，点 M平面 B1BCC1.又平面D1DCC1平面 B1BCC1CC1，MCC1. DE，BF，CC1三线交于点 M. 【答案】 (1)略 (2)略 (3)略 探究 2 (1)点共线问题的证明方法： 证明空间点共线，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再依据公理 3证明这些点都在这两个平面的交线上 (2)线共点问题的证明方法： 证明空间三线共点，先证两条直线交于一点，再证第三条直线经过这点，将问题转化为证明点在直线上 (3)点线共面问题的证明方法： 纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内； 辅助平面法：先证有关点、线确定平面 ，再证明其余点、线确定平面 ，最后证明平面 ，重合 思考题 2 (1)下列各图是正方体和正四面体， P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是 ( ) 【解析】 在 A 中易证 PSQR， P，Q，R，S四点共面 在 C 中易证 PQSR， P，Q，R，S四点共面 在 D 中，QR? 平面 ABC， PS面 ABC P且 P?QR， 直线 PS与 QR为异面直线 P，Q，R，S四点不共面 在 B 中 P，Q，R，S 四点共面，证明如下： 取 BC 中点 N，可证 PS ，NR 交于直线 B1C1上一点，P，N，R，S四点共面，设为 . 可证 PSQN，P，Q，N，S四点共面，设为 . ，都经过 P，N，S三点，与重合，P，Q，R，S四点共面 【答案】 D (2)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB 和 AA1的中点求证： E，C，D1，F 四点共面； CE，D1F，DA 三线共点 【证明】 如图所示，连接 EF，CD1，A1B. E，F 分别是 AB，AA1的中点，EFBA1. 又 A1BD1C，EFCD1. E，C，D1，F 四点共面 EFCD1，EFCD1， CE与 D1F 必相交，设交点为 P. 则由 PCE，CE? 平面 ABCD，得 P平面 ABCD. 同理 P平面 ADD1A1. 又平面 ABCD平面 ADD1A1DA， P直线 DA，CE，D1F，DA 三线共点 【答案】 略 略 ? 题型三 空间两直线的位置关系 例 3 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为棱 AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线 A1D1，EF，CD 都相交的直线有_ 条 【解析】 方法一：在 EF上任意取一点M，直线 A1D1与 M 确定一个平面，这个平面与 CD 有且仅有 1 个交点 N，当 M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与 CD 有不同的交点 N， 而直线 MN 与这 3 条异面直线都有交点如图所示 方法二：在 A1D1上任取一点 P，过点 P与直线 EF作一个平面 ，因CD 与平面 不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接 PQ，则 PQ与 EF必须相交，即 PQ为所求直线由点 P的任意性，知有无数条直线与三条直线 A1D1，EF，CD 都相交 【答案】 无数 探究 3 解决立体几何问题常用的方法是空间问题的平面化，转化为平面问题后就可以用我们熟悉的方法来解决，这体现了空间立体几何的转化与化归的思想 思考题 3 (2014 广东)若空间中四条两两不同的直线 l1，l2， l3， l4， 满足 l1l2， l2l3， l3l4， 则下列结论一定正确的是 ( ) Al1l4 Bl1l4 Cl1与 l4既不垂直也不平行 Dl1与 l4的位置关系不确定 【解析】 如图， 在正 方体 ABCDA1B1C1D1中， 取 l1为 BC， l2为 CC1， l3为 C1D1.满足 l1l2，l2l3.若取 l4为 A1D1，则有 l1l4；若取 l4为 DD1，则有 l1l4.因此 l1与 l4的位置关系不确定，故选 D. 【答案】 D ? 题型四 异面直线所成的角 例 4 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为AB 的中点 (1)求证：AC平面 BDD1； (2)求 BD1与 CE所成角的余弦值 【解析】 (1)DD1平面 ABCD ? ACDD1?ACBD? AC平面 BDD1. BDDD1D?(2)连接 AD1，与 A1D 交点为 M，连接 ME，MC，则MEC(或其补角)即为异面直线 BD1与51CE 所成的角，设 AB1，CE，ME BD122332222，CM CD DM 2. CE ME CM15在MEC中，cos MEC15， 2CEME15因此异面直线 BD1与 CE所成角的余弦值为. 1515【答案】 (1)略 (2)15 222探究 4 高考中对异面直线所成角的考查，一般出现在综合题的某一步，其步骤为： (1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线 (2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角 (3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之 (4)取舍：因为异面直线所成角 的取值范围是 090，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角 思考题 4 (1)如图所示， 在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为( ) 12A. B. 5534C.5 D.5 【解析】 连接 BC1，易证 BC1AD1，则A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角 连接 A1C1， 设 AB1， 则 AA12，5524A1C1 2，A1BBC1 5，故 cos A1BC1 . 2 5 55【答案】 D (2)如图所示，点 A 是平面 BCD 外一点，ADBC2，E，F 分别是 AB，CD 的中点，且 EF 2，则异面直线 AD 和 BC 所成的角为_ 【解析】 如图，设 G 是 AC 的中点， 连接 EG，FG . 因为 E，F 分别是 AB，CD 的中点， 1故 EGBC 且 EG2BC1， 1FGAD，且 FG2AD1. 即EGF为所求 又 EF 2，由勾股定理逆定理 可得EGF90. 【答案】 90 1公理 2 是立体几何最基本、最重要的定理，它的主要作用是确定平面 2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉 “不共线”条件 3两条异面直线所成角的范围是 (0，90 助助 餐餐 自自 1(2016 沧州七校联考)若直线 l 不平行于平面 ，且 l? ，则( ) A 内的所有直线与 l 异面 B 内不存在与 l 平行的直线 C 内存在唯一的直线与 l 平行 D 内的直线与 l 都相交 答案 B 解析 若在平面 内存在与直线 l 平行的直线，因 l?，故l，这与题意矛盾，故选 B. 2设 A，B，C，D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC共面 B若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC是异面直线 C若 ABAC，DBDC，则 ADBC D若 ABAC，DBDC，则 ADBC 答案 D 解析 ABCD 可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立 3(2015 广东文)若直线 l1和 l2是异面直线，l1在平面 内，l2在平面 内， l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是( ) Al 与 l1，l2都不相交 Bl 与 l1，l2都相交 Cl 至多与 l1，l2中的一条相交 Dl 至少与 l1，l2中的一条相交 答案 D 解析 可用反证法假设 l 与 l1，l2都不相交，因为 l 与 l1都在平面 内，于是 ll1，同理ll2，于是l1l2，与已知矛盾，故 l 至少与 l1，l2中的一条相交 4.在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，既与AB 共面也与 CC1共面的棱的条数为( ) A3 B4 C5 D6 答案 C 解析 如题图，用列举法知符合要求的棱为BC，CD，C1D1，BB1，AA1. 5.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，DAB60，对角线 AC 与BD交于点 O， PO平面 ABCD， PB与平面 ABCD所成的角为 60. (1)求四棱锥的体积； (2)若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值 2答案 (1)2 (2) 4解析 (1)在四棱锥 PABCD 中，PO平面 ABCD， PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角，PBO60.在 RtAOB 中，BOABsin301，POOB， POBOtan60 3. 1底面菱形的面积 S22 322 3， 1四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD 2 3 32. 3 (2)取 AB 的中点 F，连接 EF，DF，如图所示E 为 PB中点， EFPA，DEF 为异面直线 DE 与PA所成的角(或其补角) 在 RtAOB 中，AO 3OP， 在 RtPOA中，PA 6， 6EF2.在正三角形 ABD 和正三角形 PDB 中，DFDEDE EF DF3 ， 由 余 弦 定 理 ， 得cos DEF 2DEEF6262（ 3） （2） （ 3）424.异面直线 DE与 PA所63 22 3222222成角的余弦值为4.