返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分第五节第五节 极限的运算法则极限的运算法则一、无穷小与无穷大一、无穷小与无穷大二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则三、求极限方法举例三、求极限方法举例四、四、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则五、小结五、小结返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分一、无穷小与无穷大一、无穷小与无穷大1 1、无穷小、无穷小定义定义1 1：返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分当函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当时为无穷小.例如，例如，返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分注意：注意：(2)无穷小是以无穷小是以0为极限的函数为极限的函数(变量变量)，它的绝对，它的绝对 值可以任意小，但不能与很小的数混淆；值可以任意小，但不能与很小的数混淆；(3)零是可以作为无穷小的唯一的数；零是可以作为无穷小的唯一的数；(1)无穷小与自变量的变化过程相关无穷小与自变量的变化过程相关.返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分2 2、无穷小的性质、无穷小的性质定理定理1 1：在同一过程中在同一过程中,（1）有限个无穷小的和仍是无穷小；）有限个无穷小的和仍是无穷小；（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；（3）常数与无穷小的乘积是无穷小）常数与无穷小的乘积是无穷小;（4）有限个无穷小的积仍是无穷小；）有限个无穷小的积仍是无穷小；推论：推论：返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分3 3、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系定理定理2 2：意义：意义：(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分4 4、无穷大、无穷大绝对值无限增大的函数（变量）称为绝对值无限增大的函数（变量）称为无穷大无穷大. .定义定义2 2：返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分特殊情形：特殊情形：正无穷大，负无穷大正无穷大，负无穷大注意：注意：(1)无穷大是变量，不能与很大的数混淆；无穷大是变量，不能与很大的数混淆；(3)无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量 未必是无穷大未必是无穷大.返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分不是无穷大不是无穷大无界无界.返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分例例1 1、定义定义3 3：返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分例例2 2、问题：问题：返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分5 5、无穷小与无穷大的关系、无穷小与无穷大的关系定理定理3 3：意义意义：在同一过程中，在同一过程中，（1 1）无穷大的倒数为无穷小；）无穷大的倒数为无穷小；（2 2）恒不为零的无穷小的倒数为无穷大）恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .关于无穷大的讨论，都可归结为关于无穷小的讨关于无穷大的讨论，都可归结为关于无穷小的讨论论.返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则定理定理4 4：返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分推论推论1 1：常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面. .推论推论2 2：返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分注意：注意：(1)(1)定理定理4 4叫极限的四则运算法则，它的作用是化叫极限的四则运算法则，它的作用是化 繁为简；繁为简；(2)(2)使用此法则时要注意使用条件：使用此法则时要注意使用条件：左端每个函数的极限要存在；左端每个函数的极限要存在；商的情形要求分母极限不为零商的情形要求分母极限不为零. .问题：问题：返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分三、求极限方法举例三、求极限方法举例例例3 3、返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分结论：结论：返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分解：解：例例4 4、(消去零因子法消去零因子法)返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分例例5 5、解：解：(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)无穷小因子分出法：无穷小因子分出法：以分母中自变量的最高次幂除分子、分母，以分以分母中自变量的最高次幂除分子、分母，以分出无穷小因子，然后再求极限出无穷小因子，然后再求极限.返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分结论：结论：返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分例例6 6、解：解：先变形再求极限先变形再求极限.返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分例例7 7、解：解：返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分例例8 8、返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分极限求法：极限求法：a.多项式与分式函数代入法求极多项式与分式函数代入法求极限限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.注：注： 形式复杂的可考虑先化简或变形后再求极限形式复杂的可考虑先化简或变形后再求极限返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分如：如：是复合函数；是复合函数；不是复合函数不是复合函数.四、复合函数的极限运算法则四、复合函数的极限运算法则返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分定理定理5 (5 (复合函数的极限运算法则）：复合函数的极限运算法则）：注意：注意：返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分例例5 5、求下列极限：求下列极限：返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分定理定理6 6（极限的不等式性质）：（极限的不等式性质）：说明：说明：返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分五、小结五、小结两个定义；三个定理两个定义；三个定理.1 1、无穷小与无穷大是相对于过程而言的、无穷小与无穷大是相对于过程而言的. .(1).无穷小（无穷小（ 大）是变量，不能与很小（大）大）是变量，不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷小. .（3）无界变量未必是无穷大）无界变量未必是无穷大.返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分2.极限的四则运算法则及其推论；极限的四则运算法则及其推论；3.极限求法：极限求法：a.多项式与分式函数代入法求极多项式与分式函数代入法求极限限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分思考与练习思考与练习1. 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，无极限，那么那么 是否有极限？为什么？是否有极限？为什么？2. 求求返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分3. 设设解解:利用前一极限式可令再利用后一极限式 , 得可见是多项式 , 且求故返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分作业：作业： 49页页6（偶）（偶）补：补： 试确定常数试确定常数 a 使使返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分解解 :令则故因此返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分一、填空题一、填空题:练练 习习 题题 一一返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分二、求下列各极限二、求下列各极限:返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分练习题答案练习题答案返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分一、填空题一、填空题: :练练 习习 题题 二二返回第一章第一章 极限与连续极限与连续微积分微积分练习题答案练习题答案