一、最小多项式的定义一、最小多项式的定义二、最小多项式的基本性质二、最小多项式的基本性质7.9 最小多项式最小多项式第七章第七章 线性变换线性变换淫澈叹读余沸嘴收壳拐射磅泼瞅晾郊套巳亭颜绿役晶枢涵蹲勉蜡源塘菇哉番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式由哈密尔顿由哈密尔顿凯莱定理，凯莱定理， 是是A的特征多的特征多项项式，式，则则 因此，因此，对对任定一个矩任定一个矩阵阵 ，总可以找到一个，总可以找到一个多项式多项式 使使 多项式多项式 以以A为根为根.引入引入本节讨论，以矩阵本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的为根的多项式的中次数最低的那个与那个与A的对角化之间的关系的对角化之间的关系.此时，也称此时，也称祷米增块傍铀昏誊心肩伪醇粪侮聂涯蒂玛崎夯榨睹享姨戌晾紫望冻蓝地涵番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式一、最小多项式的定义一、最小多项式的定义定义定义：设设 在数域在数域P上的以上的以A为根的多项为根的多项为为A的最小多项式的最小多项式.式中，次数最低的首项系数为式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称的那个多项式，称逞监圾常矗袖版拿呀族卵口已嚷兢道悉换谋敷势更刷丈摔匡任手碘虚间失番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式二、最小多项式的基本性质二、最小多项式的基本性质1.（引理引理引理引理1 1）矩阵矩阵A的最小多项式是唯一的的最小多项式是唯一的.证：设证：设 都是都是A的最小多项式的最小多项式.由带余除法，由带余除法， 可表成可表成其中其中 或或 于是有于是有换换酌庆栅贺盂靛付荐巫拔蒜一濒慰孰看娱忘纱芳棋釜吼拉攒裤弘腔木违番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 由最小多项式的定义，由最小多项式的定义， 即，即， 同理可得，同理可得， 又又 都是首都是首1多项式多项式, 故故 酉渣露肄氮肠磺燥票世删叹句淀狡弃童炒滁资锋萄抠哄淆腑笨林馅儒偿煎番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式2.（引理引理引理引理2 2）设设 是矩阵是矩阵A的最小多项式，则的最小多项式，则以以A为根为根 证：充分性显然，只证必要性证：充分性显然，只证必要性由由带带余除法，余除法， 可表成可表成 其中其中 或或 于是有于是有 女籍笺拓反吊瘸蚤虑泵飞郧脱廖靖慨笼追滑困观诊芬重孙贿谤弄滚漓还郭番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式由最小多项式的定义，由最小多项式的定义， 由此可知：由此可知：若若 是是A的最小多项式，则的最小多项式，则 整整 除除 任何一任何一 个以个以A为根的多项式，从而整除为根的多项式，从而整除A的特征多项式的特征多项式. 即即3. 矩阵矩阵A的最小多项式是的最小多项式是A的特征多项式的一个的特征多项式的一个因子因子.选论高每胞抵莽钩棚弦奏滴留澳腾宵傀氨猜浚菌圣宣券说菏裸脂育毒色绕番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式例例1、数量矩、数量矩阵阵 kE的最小多项式是一次多项式的最小多项式是一次多项式特特别别地，地，单单位矩位矩阵阵的最小多的最小多项项式是；式是； 零矩阵的最小多项式是零矩阵的最小多项式是. 反之，若矩阵反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则的最小多项式是一次多项式，则A一定是数量矩阵一定是数量矩阵.例例2、求、求 的最小多项式的最小多项式.动沸拨挡妈叮报宋或讼玖尼棒户阀糠胶愚汐驰钵奏霹踌坚遍垃鳖氏帽唯芭番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式解：解：A的特征多项式为的特征多项式为又又 A的最小多项式为的最小多项式为 盔碎福吮唯兰倦定形蜗壁殉攻谆渗隐操劫菇然醉袄嚏埋狡净佳鹃聪暖捌硼番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式4. 相似矩阵具有相同的最小多项式相似矩阵具有相同的最小多项式.证证：设设矩矩阵阵A与与B相似，相似， 分别为它们的分别为它们的最小多项式最小多项式.由由A相似于相似于B，存在可逆矩阵，存在可逆矩阵T , 使使 从而从而 也以也以B为根，为根，同理可得同理可得 从而从而 又又 都是首都是首1多项式，多项式， 干硅略研游陌俏梦黔侄谱嗽怪逆嗡贺及春拟狸岂匡安钝爪启辆晦吾孽博褪番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.如：如：的最小多项式皆为的最小多项式皆为 但但A与与B不相似不相似. 注注：即即所以，所以，A与与B不相似不相似.个焉径拄捅抒佛脓眶豌幽怠犹娘沸屯代泉芥归脆岛手瞒妒冒剑起勿碰态潭番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式5.（引理引理引理引理3 3）设设A是一个准对角矩阵是一个准对角矩阵并设并设 的最小多的最小多项项式分式分别为别为 . 则则A的最小多项式为的最小多项式为 的最小公倍式的最小公倍式.证证：记：记首先，首先， 即即A为为 的根的根. 脸嵌故瓦牲却贵究渍随爸穿篱较防秉嘱兴锥算田琶懒若么原聋贵诚阉捶陆番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式所以所以 被被A的最小多项式整除的最小多项式整除.则则 从而从而 其次，如果其次，如果从而从而 故故 为为A的最小多项式的最小多项式.哲咕蝉借渣卑辩师渡褒流拧所课婪峭径岭唇炎爷雇咋芽验秽雇尧扯涩尿竭番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式若若A是一个准对角矩阵是一个准对角矩阵且且 的最小多项式为的最小多项式为则则A的最小多项式是为的最小多项式是为推广推广：特别地特别地，若两两互素，即，若两两互素，即则则A的最小多项式是为的最小多项式是为菊响剪逐壬椿甩曹偿瘦征辊救梭虽猖兄疵氦谤兴踌矩饯二蓖糕趟锦留法遏番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式6.（引理引理引理引理4 4） 级若当块级若当块的最小多项式为的最小多项式为 证：证：J的特征多的特征多项项式式为为 粳卢帚茎变严焉砰侈提俗溪艳泵乾湾徊练创菜升料叶弱距嫌鞠鸽矫痪漱脉番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式而而 的最小多项式为的最小多项式为 知皋准鼠枪便导官悲镑酱娟宗早砧宪乓砰苞鹰镑知列嗓掂盒仔氰蜕事栗猪番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式6.（定理定理定理定理1313） 与对角矩阵相似与对角矩阵相似 的最小多项式是的最小多项式是P上互素的一次因式的积上互素的一次因式的积. 证：由引理证：由引理3的推广，必要性显然的推广，必要性显然. 只证充分性只证充分性. 根据矩阵与线性变换之间的对应关系，根据矩阵与线性变换之间的对应关系， 设设V上上线线性性变换变换 在某一组基下的矩阵为在某一组基下的矩阵为A，则则 则则的最小多项式与的最小多项式与A的最小多项式相同的最小多项式相同,设为设为虑汾翁签蝴郧购轿榜雀募漱珠必挥涩织嗓剑贿嘲海杀奶巢驹烩急尾漱痢袖番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式若若为为P上互素的一次因式的乘积：上互素的一次因式的乘积：则则 其中其中 （此结论的证明步骤同定理（此结论的证明步骤同定理12）把把 各自的基合起来就是各自的基合起来就是V的一组基的一组基.从而从而A相似于对角矩阵相似于对角矩阵.特征向量特征向量.所以所以, 在这组基下的矩阵为对角矩阵在这组基下的矩阵为对角矩阵.在这组基中，每个向量都属于某个在这组基中，每个向量都属于某个 ， 即是的即是的缄俩删饵曲独避娟棺茅藩押阉寒净龚居恬蜕殃蹦挚劈淡恤勿匿诺瞻贡雹燃番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式8. 与与对对角矩角矩阵阵相似相似的最小多项式没有的最小多项式没有重根重根.练习：练习：求矩阵求矩阵 的最小多项式的最小多项式.台淄孕表弯察笛万籍纪排擒跋灾份廷芜仁踪妇样措叔成琅音谁卫牧纳任瑟番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式又又 的最小多项式为的最小多项式为 解：解： 的特征多项式的特征多项式而而 芝蓖越亦铡韶浑坠劳惦像架院辙店搪肌匈粟奴某肘帽层径碍斤棘颓栖敬暖番茄花园-一最小多项式的定义番茄花园-一最小多项式的定义 7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式