插值法：原理与应用Zhenhua Song插值的背景1. 只有n个点处的函数值希望找到一条通过这些点的曲线（连续、光滑）2. 函数太麻烦，近似简化找到一个好计算的函数，近似代替3. 用多项式代替多项式方便求值、求导、积分等插值 & 逼近 & 拟合0. 给定n个不同的点，构造曲线1. 插值：曲线依次通过n个点2. 逼近：曲线最接近n个点（接近：在某种意义下）例：最小二乘法3. 拟合：插值 + 逼近泰勒展开在某一点x0处展开只在x0处近似性较好远离x0的点误差较大需要n个点近似性较好插值可以胜任一次插值用一次函数近似表示二次插值用二次函数来表示多项式插值 ：示例给定的n+1个不同的点找到一个n次多项式，依次通过这n+1个点n次多项式必然唯一多项式插值：唯一性多项式插值：唯一性拉格朗日插值拉格朗日插值：2点情形基函数的构建：2点情形基函数的构建：n+1点情形拉格朗日插值：n+1点情形拉格朗日插值：误差估计拉格朗日插值：示例Nevile迭代插值Nevile迭代插值Nevile迭代插值牛顿差商插值牛顿差商插值：系数确定牛顿差商插值：系数确定牛顿差商插值：公式导出牛顿差商插值：系数求解牛顿差商插值：间距相等牛顿差商插值：间距相等牛顿差商插值：反向差商Hermite插值拉格朗日插值缺点插值多项式形状、走向差异较大Hermite插值 ：优势Hermite ：一阶导数相同Hermite：一阶导数相同Hermite : 一阶导数相同回忆拉格朗日基函数Hermite ：其他三次样条插值 ：背景线段连接：粗糙相邻两点用线段连接形成折线，不够光滑三次样条插值：特性三次样条插值：边界三次样条插值：构建三次样条插值：构建三次样条插值：应用多项式插值：对比参数曲线参数曲线：图像三次参数曲线：定义三次参数曲线：构造三次函数曲线：图像Bezier曲线n+1个点分成n段，每一段都是三次参数曲线输入：n+1个点n段上端点切向量上某一点输出：n个三次多项式，作为Bezier曲线Bezier曲线：形状Bezier曲线：特点改变某一段，不会对其他段产生影响常用于工业设计设计汽车外形Adobe illustrator可以方便绘制缺点：不方便进行误差分析B样条曲线可以更好地进行误差分析