6.3等比数列及其前n项和基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基基础础知知识识自主学自主学习习一般地，如果一个数列 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示(q0).1.等比数列的定义等比数列的定义知识梳理2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项an .从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数公比qa1qn1如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的 .3.等比中项等比中项4.等比数列的常用性质等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam (n，mN*).(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则 .等比中项qnmakalaman公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为 .5.等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式6.等比数列前等比数列前n项和的性质项和的性质qn等比数列an的单调性知识拓展知识拓展判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列. ()(2)G为a，b的等比中项G2ab. ()(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列. ( )(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列. ()思考辨析思考辨析1.(教材改编)已知an是等比数列，a22，a5 ，则公比q等于考点自测答案解析2.(2015课标全国)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7等于A.21 B.42 C.63 D.84答案解析设等比数列an的公比为q，则由a13，a1a3a521，得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142，故选B.3.设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6等于A.31 B.32 C.63 D.64答案解析根据题意知，等比数列an的公比不是1.由等比数列的性质，得(S4S2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，解得S663.故选C.4.(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_.答案解析27,81设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327,27381.答案解析11设等比数列an的公比为q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，题题型分型分类类深度剖析深度剖析题型一等比数列基本量的运算题型一等比数列基本量的运算例例1(1)(2015课标全国)已知等比数列an满足a1 ，a3a54(a41)，则a2等于答案解析由an为等比数列，得a3a5 ，又a3a54(a41)，所以 4(a41)，解得a42.设等比数列an的公比为q，则由a4a1q3，得2 q3，解得q2，所以a2a1q .故选C.答案解析2n1思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.跟跟踪踪训训练练1(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a41，S37，则S5等于答案解析(2)(2015湖南)设Sn为等比数列an的前n项和，若a11，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an_.答案解析3n1由3S1， 2S2，S3成等差数列知，4S23S1S3，可得a33a2，所以公比q3，故等比数列通项ana1qn13n1.题型二等比数列的判定与证明题型二等比数列的判定与证明例例2设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；证明(2)求数列an的通项公式.解答由(1)知bnan12an32n1，故an(3n1)2n2.引申引申探究探究若将本例中“Sn14an2”改为“Sn12Sn(n1)”，其他不变，求数列an的通项公式.解答由已知得n2时，Sn2Sn1n.Sn1Sn2Sn2Sn11，an12an1，an112(an1)，n2， (*)又a11，S2a1a22a12，即a212(a11)，当n1时(*)式也成立，故an1是以2为首项，以2为公比的等比数列，an122n12n，an2n1.思维升华(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证.证明跟踪训练跟踪训练2已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明：an 是等比数列，并求an的通项公式；证明题型三等比数列性质的应用题型三等比数列性质的应用例例3 (1)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.答案解析50因为a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.答案解析思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.答案解析跟跟踪踪训训练练3(1)已知在等比数列an中，a1a410，则数列lg an的前4项和等于A.4 B.3C.2 D.1前4项和S4lg a1lg a2lg a3lg a4lg(a1a2a3a4)，又等比数列an中，a2a3a1a410，S4lg 1002.(2)设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于答案解析因为a7a8a9S9S6，且公比不等于1，在等比数列中，S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以有8(S9S6)(1)2，S9S6 ，即a7a8a9 .分类讨论思想在等比数列中的应用思想与方法系列思想与方法系列13(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明.规范解答思想方法指导课时课时作作业业12345678910111213答案解析2.(2016珠海模拟)在等比数列an中，若a10，因此S2030，S20S1020，S30S2040，故S40S3080，S40150.123456789101112139.已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn1(nN*)，则通项an_.答案解析anSn1， 12345678910111213答案解析1 024a4b1b2b3，anb1b2b3bn1，a21b1b2b3b20(b10b11)102101 024.1234567891011121311.已知an是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示an的前n项和.(1)求an及Sn；解答因为an是首项a11，公差d2的等差数列，所以ana1(n1)d2n1.故Sn13(2n1)12345678910111213(2)设bn是首项为2的等比数列，公比q满足q2(a41)qS40，求bn的通项公式及其前n项和Tn.解答由(1)得a47，S416.因为q2(a41)qS40，即q28q160，所以(q4)20，从而q4.又因为b12，bn是公比q4的等比数列，所以bnb1qn124n122n1.1234567891011121312.(2016全国丙卷)已知各项都为正数的数列an满足a11， (2an11)an2an10.(1)求a2，a3；解答12345678910111213(2)求an的通项公式.解答1234567891011121313.已知数列an中，a11，anan1 n，记T2n为an的前2n项的和，bna2na2n1，nN*.(1)判断数列bn是否为等比数列，并求出bn；解答(2)求T2n.解答T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)12345678910111213