一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 第二节第二节 微积分基本定理微积分基本定理 积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克牛顿和牛顿和戈特弗里德戈特弗里德威廉威廉莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用。广泛运用。 积分的一个严格的数学定义由波恩哈德积分的一个严格的数学定义由波恩哈德黎曼给出（参黎曼给出（参见条目见条目黎曼积分黎曼积分）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间（区间 a a, ,b b ），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。微分几何中的基本概念。 对积分概念的推广来自于物理学的需要，并体现在许多对积分概念的推广来自于物理学的需要，并体现在许多重要的物理定律中，尤其是电动力学。现代的积分概念基于抽象重要的物理定律中，尤其是电动力学。现代的积分概念基于抽象代数学，主要是由昂利代数学，主要是由昂利勒贝格建立的勒贝格积分。勒贝格建立的勒贝格积分。设设记作记作积分上限函数积分上限函数定积分与积定积分与积分变量无关分变量无关一、积分上限函数及其导数一、积分上限函数及其导数1. 定义定义又确定了一个在又确定了一个在上的新函数，上的新函数，即即上的上限变动的定积分上的上限变动的定积分在区间在区间2. 2. 定理定理1 1 且且证证因为因为若若思路：思路： 根据导数的定义，根据导数的定义，“求增量、算比值、取极限求增量、算比值、取极限”积分中值定理积分中值定理显然显然又又注注定理说明了：定理说明了：若若就是就是 在在 上的一个原函数上的一个原函数.由此由此肯定了连续函数的原函数是存在的肯定了连续函数的原函数是存在的揭示了定积分与原函数之间的关系揭示了定积分与原函数之间的关系证证3. 3. 定理定理11 (3) (2)例例1 解解例例2解解解解例例3 例例4解解只要证只要证即可。即可。例例5在在内是单调增加函数。内是单调增加函数。证证/在在内是单调增加函数。内是单调增加函数。例例6证证证证是单调增加的。是单调增加的。例例6证明证明是单调增加的。是单调增加的。函数函数是连续的正函数，函数是连续的正函数，函数对一切实数对一切实数又又例例7 设设 在在 上连续，在上连续，在 内可导且内可导且证明在证明在 内有内有证证积分中值定理积分中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理证证 是是的一个原函数，的一个原函数，二、牛顿二、牛顿-莱布尼茨（莱布尼茨（Newton-leibnizNewton-leibniz）公式）公式1 1 定理定理2 2也是也是的一个原函数，的一个原函数，而而所以所以Newton-Leibniz 公式公式也称也称 微积分基本公式微积分基本公式.解解解解求求例例1求求例例2解解求求 在在上与上与轴所围成的平面图形的面积。轴所围成的平面图形的面积。例例3注注 公式又可记为：公式又可记为：例例5 5 设设 , 求求 . 解解例例6 6 求求 解解由图形可知由图形可知解解当当 时，时，当当时，时，求求在在内的表达式。内的表达式。例例7设设解解当当时，时，当当时，时，求求在在内的表达式。内的表达式。例例8设设当当时，时，