第二章第二章 货币的时间价值货币的时间价值【本章结构本章结构】 第一节第一节 货币时间时间价值的概念货币时间时间价值的概念 第二节第二节 复利终值和现值复利终值和现值 第三节第三节 年金终值和现值年金终值和现值 第四节第四节 时间价值的延伸应用时间价值的延伸应用 【学习目标学习目标】通过本章的学习要求学生：通过本章的学习要求学生：l 了解货币时间价值的含义了解货币时间价值的含义l 掌握复利现值和终值的计算掌握复利现值和终值的计算l 掌握年金现值和终值的计算掌握年金现值和终值的计算l 灵活运用货币时间价值的各项公式解决实际灵活运用货币时间价值的各项公式解决实际问题问题问题引入：问题引入：n老王准备给儿子存钱供他以后上大学费老王准备给儿子存钱供他以后上大学费用，假如现在上大学的费用是用，假如现在上大学的费用是6万元，万元，并且假定三年以后，也就是老王的儿子并且假定三年以后，也就是老王的儿子上大学时该费用不变，那么现在的老王上大学时该费用不变，那么现在的老王需要存入多少钱呢需要存入多少钱呢?问题引入：时间就是金钱问题引入：时间就是金钱n分期支付动画 先生，一次性支付房先生，一次性支付房款，可获房价优惠款，可获房价优惠n如果有人请你对美国纽约曼哈顿岛进行估价，你可能如果有人请你对美国纽约曼哈顿岛进行估价，你可能会一筹莫展。但是，如果有人告诉你，美国纽约曼哈会一筹莫展。但是，如果有人告诉你，美国纽约曼哈顿岛是在顿岛是在1626年以年以60荷兰盾（约合荷兰盾（约合24美元）购得美元）购得的，你会很容易地计算出当时的的，你会很容易地计算出当时的24美元到现在应该美元到现在应该值多少钱。是的，这笔交易发生在值多少钱。是的，这笔交易发生在380年前，假设年年前，假设年利率是利率是8%，则当时，则当时24美元投资的现在价值约为美元投资的现在价值约为51万亿美元。按照现在的美国人口（约万亿美元。按照现在的美国人口（约3亿）来平均计亿）来平均计算，则大约相当于每位美国人拥有算，则大约相当于每位美国人拥有17万美元。万美元。n在这个例子中，我们看到，在这个例子中，我们看到，380年前的年前的24美元与现美元与现在的在的24美元完全是不等值的；同理，现在的美元完全是不等值的；同理，现在的1元钱与元钱与未来的未来的1元钱也是不等值的。若要将不同现金流在时元钱也是不等值的。若要将不同现金流在时间序列下进行比较，就需要利用财务中的时间价值概间序列下进行比较，就需要利用财务中的时间价值概念。这正是本节所阐述的主要内容。念。这正是本节所阐述的主要内容。问题引入问题引入第一节第一节 货币时间价值的概念货币时间价值的概念n一定量的货币资金在不同的时点上具有不同一定量的货币资金在不同的时点上具有不同的价值。年初的的价值。年初的1 1万元，运用以后，到年终其价万元，运用以后，到年终其价值要高于值要高于1 1万元。万元。n例如，甲企业要购买一台设备，采用现付方式，例如，甲企业要购买一台设备，采用现付方式，其价款为其价款为4040万元；如延期至万元；如延期至5 5年后付款，则价款年后付款，则价款为为5252万元。设企业万元。设企业5 5年期存款年利率为年期存款年利率为10%10%（假设（假设单利计息）。试问现付同延期付款比较，哪个有单利计息）。试问现付同延期付款比较，哪个有利？利？假定该企业目前已筹集到假定该企业目前已筹集到4040万元资金，暂不付款，万元资金，暂不付款，存入银行，按单利计算，五年后的本利和为存入银行，按单利计算，五年后的本利和为40*40*（1+10%*51+10%*5）6060万元，同万元，同5252万元比较，企业万元比较，企业尚可得到尚可得到8 8万元的利益。可见，延期付款万元的利益。可见，延期付款5252万元万元比现付比现付4040万元更为有利。这就说明，今年年初的万元更为有利。这就说明，今年年初的4040万元，五年以后价值就提高到万元，五年以后价值就提高到6060万元了。随着万元了。随着时间的推移，周转使用中的资金价值发生了增值。时间的推移，周转使用中的资金价值发生了增值。一、货币时间价值概念一、货币时间价值概念银行的利息银行的利息是货是货币时间价值的体币时间价值的体现，但是货币时现，但是货币时间价值并不仅仅间价值并不仅仅体现为银行的利体现为银行的利息。息。货币时间价值是货币时间价值是不是就是银行的不是就是银行的利息呢？利息呢？利息与货币利息与货币时间价值时间价值是指货币的拥有者因放弃对货币的使用而根据其时间的长短所获得的报酬是指货币的拥有者因放弃对货币的使用而根据其时间的长短所获得的报酬投资者进行投投资者进行投资必须推迟消资必须推迟消费，对投资者费，对投资者推迟消费所给推迟消费所给予的补偿。予的补偿。货币的时间价货币的时间价值在于其周转值在于其周转使用所产生的使用所产生的价值。价值。西方学者西方学者的观点的观点我国学者的观点我国学者的观点为什么货币具为什么货币具有时间价值？有时间价值？二、货币时间价值的实质二、货币时间价值的实质相当于没有通货膨胀、风险条件下相当于没有通货膨胀、风险条件下的社会平均资金利润率的社会平均资金利润率纯利率纯利率是资金周转使用所形成的增值额是资金周转使用所形成的增值额 是资金所有者让渡资金使用权而参是资金所有者让渡资金使用权而参与社会财富分配的一种形式与社会财富分配的一种形式 注意：注意：利率利率时间价值时间价值 时间价值是没有时间价值是没有风险和没有通货膨风险和没有通货膨胀条件下的社会平胀条件下的社会平均资金利润率。均资金利润率。 利率利率（资金利润率）（资金利润率）时间价值时间价值通货膨胀通货膨胀风险报酬风险报酬注：如果通货膨胀率很低时，注：如果通货膨胀率很低时，政府债券利率可视同货币时间价值政府债券利率可视同货币时间价值三、货币时间价值运用意义三、货币时间价值运用意义第一第一不同时点的资金不能直接加减乘除或不同时点的资金不能直接加减乘除或直接比较。直接比较。第二第二必须将不同时点的资金换算为同一时必须将不同时点的资金换算为同一时点的资金价值才能加减乘除或比较。点的资金价值才能加减乘除或比较。明白！明白！对于今天的对于今天的10001000元和三年后的元和三年后的30003000元，你会选择哪一个呢元，你会选择哪一个呢？第二节 复利终值和现值 l 终值：是指在一定量现金在未来某一时点上的价值，某一特定终值：是指在一定量现金在未来某一时点上的价值，某一特定金额按规定利率折算后的未来价值，俗称金额按规定利率折算后的未来价值，俗称“本利和本利和” 。l 现值：是指未来某一时点上的一定量现金折合到现在的价值。现值：是指未来某一时点上的一定量现金折合到现在的价值。 在本节中假定：在本节中假定： P P代表现值，即本金；代表现值，即本金； F F代表终值，即本利和；代表终值，即本利和； i i为利率；为利率； n n为时期；为时期； I I为利息。为利息。 一般货币时间价值的计算方法有两种：单利和复利。一般货币时间价值的计算方法有两种：单利和复利。l单利：是指本期利息不能作为下一期本金计算利息，单利：是指本期利息不能作为下一期本金计算利息，利息是由初始本金利率和计算期数算数乘积确定的。利息是由初始本金利率和计算期数算数乘积确定的。l复利：是指本期利息作为下一期本金计算利息，利复利：是指本期利息作为下一期本金计算利息，利息是由初始本金利率和计算期数的几何乘积确定的。息是由初始本金利率和计算期数的几何乘积确定的。1、单利终值：是指若干期以后包括本金和利息在内的未来、单利终值：是指若干期以后包括本金和利息在内的未来价值。价值。n现在的现在的1元钱，年利率为元钱，年利率为10%，从第年到第年，各年年末的，从第年到第年，各年年末的终值可计算如下：终值可计算如下：n1元元1年后的终值年后的终值1*（1+10%*1）1.1元元n1元元2年后的终值年后的终值1*（1+10%*2）1.2元元n1元元3年后的终值年后的终值1*（1+10%*3）1.3元元n1元元4年后的终值年后的终值1*（1+10%*4）1.4元元n1元元5年后的终值年后的终值1*（1+10%*5）1.5元元n因此，单利终值的计算公式为：因此，单利终值的计算公式为：n FVn=PV (1+i n)n式中，式中，FVn终值，第终值，第n年末的价值年末的价值nPV现值，第现值，第1年年初的价值年年初的价值ni利率利率n计算期数计算期数n例：某人现将例：某人现将800元存入银行，利率为元存入银行，利率为5%。问。问5年后本利之和是年后本利之和是多少？（在单利方式下）多少？（在单利方式下）nFV5=800*(1+5*5%)=1000元元【例例】假设投资者按假设投资者按7%7%的单利把的单利把1 0001 000元存入储蓄账户，元存入储蓄账户，保持保持2 2年不动，在第年不动，在第2 2年年末，利息为多少？年年末，利息为多少？解：解： I=I=P Pi it t= =1 0001 0007%7%2=140(2=140(元元) ) 存款终值（本利和）：存款终值（本利和）：F=P+I=1000+140=1140(F=P+I=1000+140=1140(元元) )2 2、单利现值：就是以后年份收到或付出资金、单利现值：就是以后年份收到或付出资金的现在价值。由终值计算现值叫贴现。的现在价值。由终值计算现值叫贴现。n若年利率为若年利率为10%，从第年到第年，各年年末，从第年到第年，各年年末1元钱，其现元钱，其现值可计算如下：值可计算如下：n1年后年后1元的现值元的现值1/（1+10%*1）0.909元元n2年后年后1元的现值元的现值1/（1+10%*2）0.833元元n3年后年后1元的现值元的现值1/（1+10%*3）0.769元元n4年后年后1元的现值元的现值1/（1+10%*4）0.714元元n5年后年后1元的现值元的现值1/（1+10%*5）0.667元元n因此，单利现值的计算公式为：因此，单利现值的计算公式为：nPV=FVn (1+i n)-1n例：某人希望在例：某人希望在5年末取得本利之和年末取得本利之和1000元，元，则在利率在利率为5%单利方式下利方式下计算，此人算，此人现在在应存入存入银行多少行多少钱？nPV=1000/(1+5%*5)=800元元n(二二)复利终值和现值的计算复利终值和现值的计算n1、复利终值、复利终值n特点：本期的利息在下期与本金一起计算利息。特点：本期的利息在下期与本金一起计算利息。n现在的现在的1元钱，年利率为元钱，年利率为10%，从第年到第年，各年年末的，从第年到第年，各年年末的终值可计算如下：终值可计算如下：n1元元1年后的终值年后的终值1*（1+10%）1.1元元n1元元2年后的终值年后的终值1*（1+10%）21.21元元n1元元3年后的终值年后的终值1*（1+10%）31.331元元n1元元4年后的终值年后的终值1*（1+10%）41.464元元n1元元5年后的终值年后的终值1*（1+10%）51.611元元n FVn = PV （1+i）nn（1+i）n为为复利终值系数，用复利终值系数，用FVIFi,n或（或（F/P,i,n)表示表示n则计算公式也可表示为：则计算公式也可表示为：FVn = PV （1+i）nPV* FVIFi,nn例例2-1 某公司职员现在存入银行某公司职员现在存入银行2000元，年利率为元，年利率为7%（复利）（复利）。问。问5年后的本利和为多少？年后的本利和为多少？nFV5=PV* FVIF7%,5=2000 1.403=2806（元）（元）【例例】若将若将1 0001 000元以元以7%7%的利率存入银行，复利计息，的利率存入银行，复利计息，则则2 2年后的本利和是年后的本利和是?解：解：F=1000F=1000(1+7%)2=1145(1+7%)2=1145(元元) )n2、复利现值、复利现值n若年利率为若年利率为10%，从第年到第年，各年年末，从第年到第年，各年年末1元钱，其现值元钱，其现值可计算如下：可计算如下：n1元元1年后的现值年后的现值1/（1+10%）10.909元元n1元元2年后的现值年后的现值1/（1+10%）20.826元元n1元元3年后的现值年后的现值1/（1+10%）30.751元元n1元元4年后的现值年后的现值1/（1+10%）40.683元元n1元元5年后的现值年后的现值1/（1+10%）50.621元元n 因此，复利现值的计算公式为：因此，复利现值的计算公式为：PV=FVn (1+i)-n(1+i)-n为复利现值系数，用为复利现值系数，用PVIFi,n或（或（P/F,i,n)表示表示n则计算公式也可表示为：则计算公式也可表示为：PV = FVn * PVIFi,nn例例2-2 某项投资某项投资4年后可得收益年后可得收益40000元。按年利率元。按年利率6%（复利）（复利）计算，其现值应为多少？计算，其现值应为多少？PV= FVn * PVIF6%,4 =40000 0.792=31680（元）（元） 第三节第三节 年金终值和现值年金终值和现值n年金：是指一定期间内每期相等金额的收付款项。折旧、年金：是指一定期间内每期相等金额的收付款项。折旧、利息、租金、保险费等均表现为年金的形式。年金按付款利息、租金、保险费等均表现为年金的形式。年金按付款方式，可分为后付年金（普通年金）、先付年金（即付年方式，可分为后付年金（普通年金）、先付年金（即付年金）、延期年金和永续年金。金）、延期年金和永续年金。n普通年金：又称后付年金，指每期期末收款、付款的年普通年金：又称后付年金，指每期期末收款、付款的年金。金。n即付年金：或称先付年金，指每期期初收款、付款的年即付年金：或称先付年金，指每期期初收款、付款的年金。金。n延期年金：指距今若干期以后发生的每期期末收款付款延期年金：指距今若干期以后发生的每期期末收款付款的年金。的年金。n永续年金：无限期收款、付款的年金。永续年金：无限期收款、付款的年金。普通年金普通年金预付年金预付年金图图 普通年金、预付年金示意图普通年金、预付年金示意图递延年金递延年金永续年金永续年金图图 递延年金、永续年金示意图递延年金、永续年金示意图012n-2 n-1nAAAAAA A （1+i）1A （1+i）2A （1+i）n-2A （1+i）n-1l（一（一 ）后付年金（普通年金）终值和现值的计算）后付年金（普通年金）终值和现值的计算l1、后付年金终值、后付年金终值l后付年金终值犹如后付年金终值犹如零存整取零存整取的本利和，它是一定时期内的本利和，它是一定时期内每期期末收付款项的复利终值之和。如下图：每期期末收付款项的复利终值之和。如下图： 例：每年存款例：每年存款1 1元，年利率元，年利率10%10%，经过，经过5 5年，年金终值可计算如下：年，年金终值可计算如下：1 1元元1 1年的终值年的终值1.0001.000元元1元元2年的终值（年的终值（1+10%）11.1001.100元元1元元3年的终值年的终值 （1+10%）21.210元元1元元4年的终值年的终值 （1+10%）31.311元元1元元5年的终值年的终值 （1+10%）41.464元元1元年金元年金5年的终值年的终值6.105元元故：故：FVAFVAn n=A =A （1+i1+i）t-1t-1 =A =A （1+i1+i）n n-1/i-1/i (t(t取从取从1 1到到n)n)上式中的上式中的 （1+i1+i）t-1 t-1 (t=1(t=1到到n)n)或或 （1+i1+i）n n-1/i-1/i 称为后称为后付年金终值系数，用付年金终值系数，用FVIFAFVIFAi,ni,n或（或（F/F/A,i,nA,i,n) )表示。年金终表示。年金终值的计算公式可写成值的计算公式可写成 FVAFVAn n=A=A* FVIFAi,n例：张先生例：张先生每年年末每年年末存入银行存入银行1000元，年利率元，年利率12%。问。问5年后本年后本利和是多少？利和是多少？ FVA5=A* FVIFA12%,5 =1000 6.3528=6352.8 元元或或F =1000 （1+12%）t-1（t=1,2,3,4,5）=6352.8元元与复利的区别与复利的区别：张先生存入银行：张先生存入银行1000元，年利率元，年利率12%。第。第5年年年年末的本利和是多少？末的本利和是多少？FV5=PV* FVIF12%,5 =1000 1.7623=1762.3 元元n2 2、年偿债基金的计算年偿债基金的计算n偿债基金：是指为了在约定的未来某一时点偿债基金：是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务清偿某笔债务或或积聚一定数额资金积聚一定数额资金而必须分次等额提取的存款准备金。而必须分次等额提取的存款准备金。n实际上是已知终值、利率、期限，计算年金的问题。实际上是已知终值、利率、期限，计算年金的问题。n则则 A= A= FVAFVAn n i/(1+i) i/(1+i)n n-1= -1= FVAFVAn n 1/ 1/ FVIFAFVIFAi,ni,n ni/(1+i)i/(1+i)n n-1-1被称为偿债基金系数，它等于被称为偿债基金系数，它等于1/ 1/ FVIFAFVIFAi,ni,n或或可以表示为（可以表示为（A/A/F,i,nF,i,n).).n例例2-4 2-4 某企业有一笔某企业有一笔5 5年后到期的借款，数额为年后到期的借款，数额为20002000万元，万元，为此设置偿债基金，年复利率为为此设置偿债基金，年复利率为10%10%，到期一次还清借款。，到期一次还清借款。则每年年末应存入的金额为：则每年年末应存入的金额为：nA=2000/FVIFAA=2000/FVIFA10%,510%,5=2000 /6.105=327.6=2000 /6.105=327.6万元万元3 3、后付年金现值的计算、后付年金现值的计算后付年金现值通常为后付年金现值通常为投资收益投资收益的现值总和，它是一定时间的现值总和，它是一定时间内每期期末收付款项的复利现值之和。内每期期末收付款项的复利现值之和。 0123n-1n-1nAAAAA例：每年取得收益例：每年取得收益1元，年利率元，年利率10%，为期，为期5年，年金现值可计算年，年金现值可计算如下：如下：1元元1年的现值年的现值1/（1+10%）10.909元元1元元2年的现值年的现值 1/（1+10%）20.826元元1元元3年的现值年的现值 1/（1+10%）30.751元元1元元4年的现值年的现值 1/（1+10%）40.683元元1元元5年的现值年的现值1/（1+10%）50.621元元1元年金元年金5年的现值年的现值3.790元元 A （1+i）-n A （1+i）-(n-1) A （1+i）-3 A （1+i）-2 A （1+i）-1 故故PVAPVA0 0=A =A （1+i1+i）-t-t(t=1(t=1到到n)n)=A =A 1- 1- （1+i1+i）-n-n/i/i （1+i1+i）-t-t或或1-1-（1+i1+i）-n-n/i/i称为普通年金现值系数，用称为普通年金现值系数，用PVIFAPVIFAi,ni,n或（或（P/P/A,i,nA,i,n) )表示。表示。年金现值的计算公式可写成：年金现值的计算公式可写成： PVAn=A* PVIFAi,n例例 RDRD投资项目于投资项目于19911991年初动工，设当年投产，从投产之日起，年初动工，设当年投产，从投产之日起，每每年年得收益得收益4000040000元，按年利率元，按年利率6%6%计算，则预期计算，则预期1010年收益的年收益的现值现值为：为：40000 40000 PVIFAPVIFA6%,106%,10=40000 =40000 7.36=294400元元 例：某企业投资例：某企业投资20万元兴建一项目，投资后万元兴建一项目，投资后每年每年获利获利5万元，若利万元，若利率为率为10%，项目有效期为，项目有效期为5年，请问该投资是否合算？年，请问该投资是否合算？ PVA5=5* PVIFA10%,5 =5*3.791=18.955万元万元 18.95520，所以不合算，所以不合算 4 4、年资本回收额的计算、年资本回收额的计算n年年资本回收额：是指在约定的年限内等额回收的初始投资或清偿所资本回收额：是指在约定的年限内等额回收的初始投资或清偿所欠的债务额。即，已知欠的债务额。即，已知PVAPVA，n,in,i，求，求A A。则有：则有：n A= PVAn/PVIFAi,n=PVAn i/1-(1+i)-nni/1-(1+i)-n=1/PVIFAPVIFAi,ni,n或（或（A/P,i,n)被称为资本回收系数。被称为资本回收系数。n例例: C公司现在借入公司现在借入2000万元，约定在万元，约定在8年内按年利率年内按年利率12%均匀均匀偿还，则每年应还本付息的金额为：偿还，则每年应还本付息的金额为：n A=2000 12%/1- (1+12%)-8 n =2000 1/ PVIFAPVIFA12%,812%,8=402.6=402.6万元万元n例：假设你准备买一套公寓住房，总计房款为例：假设你准备买一套公寓住房，总计房款为100100万元，如首付万元，如首付20%20%，年利率为，年利率为8%8%，银行提供，银行提供2020年按揭贷款，则每年应付款多少？年按揭贷款，则每年应付款多少？n购房总共需贷款额购房总共需贷款额100*100*（1-20%1-20%）8080万元万元n每年分期付款额每年分期付款额80/ PVIFA80/ PVIFA8%,208%,2080/9.81880/9.8188.158.15万元万元n（二）先付年金终值和现值的计算（二）先付年金终值和现值的计算n先付年金的特点是：先付年金的特点是：n n期先付年金与期先付年金与n n期后付年金的付款次数相同，期后付年金的付款次数相同，但由于先付年金每年年初发生，所以其终值的计算实际上比后付但由于先付年金每年年初发生，所以其终值的计算实际上比后付年金多计算一次利息，即先付年金终值系数为年金多计算一次利息，即先付年金终值系数为FVIFAFVIFAi,ni,n （1+i）或（或（F/A,i,n) （1+i)。0123 n-1nAAAAAn期先付年金终值期先付年金终值0123 n-1nAAAAAn期普通年金期普通年金终值终值图图2-3l故故 F=A FVIFAFVIFAi,ni,n （1+i）先付年金终值的另外一种计算方法：先付年金终值的另外一种计算方法：n根据根据n期先付年金终值和期先付年金终值和n+1期后付年金终值的关系，期后付年金终值的关系，还可推导出另一公式。还可推导出另一公式。n期先付年金与期先付年金与n+1期后付年金期后付年金比较，两者计息期数相同，但比较，两者计息期数相同，但n期先付年金比期先付年金比n+1期普期普通年金少付一次款（如下图）。通年金少付一次款（如下图）。l因此，只要将因此，只要将n+1n+1期普通年金的终值减去一期付款额，期普通年金的终值减去一期付款额，就可以求出就可以求出n n期先付年金终值，期先付年金终值，lF=A =A FVIFA FVIFAi,n+1 i,n+1 AAA* A* （F/A,i,n+1)-10123 n-1nAAAAAn期先付年金终值期先付年金终值0123 n-1nAAAAAn+1期普通年金终值期普通年金终值An+1n例例2-7 2-7 张先生每年年初存入银行张先生每年年初存入银行20002000元，年利率为元，年利率为7%7%，则则5 5年后的本利和为：年后的本利和为：n 2000 2000 FVIFA FVIFA7%,5 7%,5 （1+7%1+7%）n =2000 =2000 5.751 5.751 1.071.07n =12307 =12307元元n或或 2000 2000 FVIFA FVIFA7%,7%,6 6 20002000n =2000 =2000 7.153-20007.153-2000n =12306 =12306元元n例：期即付年金终值的系数为（）例：期即付年金终值的系数为（）nA (F/A,i,7)+1 A (F/A,i,7)+1 B B (F/A,i,9)-1 (F/A,i,9)-1 nC C (F/A,i,8)*(1+i) (F/A,i,8)*(1+i)nD (F/A,i,8)*(1-i)D (F/A,i,8)*(1-i)2 2、先付年金现值、先付年金现值n n期先付年金现值和期先付年金现值和n n期普通年金现值之间的关系，期普通年金现值之间的关系，可见下图：可见下图：0123 n-1nAAAAA0 123 n-1nAAAAAn期先付年金现值期先付年金现值n期普通年金现值期普通年金现值从上图从上图可以看出，可以看出，n期先付年金现值和期先付年金现值和n期普通年金现值比期普通年金现值比较，两者付款次数相同，但较，两者付款次数相同，但n期先付年金现值比期先付年金现值比n期普通年期普通年金现值少贴现一期。所以，为了求得金现值少贴现一期。所以，为了求得n期先付年金现值，期先付年金现值，可在求出可在求出n期普通年金现值后，再乘以（期普通年金现值后，再乘以（1+i）便得。即便得。即P=A PVIFAPVIFAi,ni,n (1+i)(1+i)A*A*（P/A,i,n)（1+i)先付年金现值的另外一种计算方法：先付年金现值的另外一种计算方法：n 根据根据n n期先付年金现值和期先付年金现值和n-1n-1期普通年金现值的关系，期普通年金现值的关系，可以推导出另外一种计算公式。两者的关系见下图：可以推导出另外一种计算公式。两者的关系见下图：0123 n-1nAAAAA0123 n-1AAAAn期先付年金现值期先付年金现值n-1期普通年金现值期普通年金现值从从上图可见，上图可见，n n期先付年金和期先付年金和n-1n-1期普通年金相比，两者期普通年金相比，两者贴现期数相同，但贴现期数相同，但n n期先付年金比期先付年金比n-1n-1期普通年金多一期期普通年金多一期不需贴现的付款。因此，为求得不需贴现的付款。因此，为求得n n期先付年金现值期先付年金现值, ,可以可以在计算出在计算出n-1n-1期普通年金现值后，再加上一期不需贴现的期普通年金现值后，再加上一期不需贴现的付款即可。即付款即可。即 P=A PVIFA PVIFAi,n-1 i,n-1 +A+A A*A*（P/A,i,n-1)+1例例2-8 2-8 某公司租入设备一台，若每年年初支付租金某公司租入设备一台，若每年年初支付租金40004000元，元，年利率为年利率为8%8%，则，则5 5年中租金的现值应为：年中租金的现值应为： P P=4000 PVIFA PVIFA8%,8%,5 5 （1+8%1+8%） =4000 =4000 3.9933.993 1.081.08 =17249 =17249元元或或 P P=4000 PVIFA PVIFA8%,8%,4 4+4000+4000 =4000 =4000 3.312+40003.312+4000 =17248 =17248元元n（三）递延年金的计算（三）递延年金的计算n递延年金递延年金(延期年金延期年金)：指在最初若干期没有收付款项的：指在最初若干期没有收付款项的情况下，后面若干期有等额的系列收付款项的年金。情况下，后面若干期有等额的系列收付款项的年金。n1.递延年金终值递延年金终值:与普通年金终值的计算方法一样与普通年金终值的计算方法一样.n F=A*(F/A,i,n)n2.递延年金现值递延年金现值n假设最初有假设最初有m期没有收付款，后面期没有收付款，后面n期有等额的系列收期有等额的系列收付款项即此递延年金的现值即为后付款项即此递延年金的现值即为后n期年金先贴现至期年金先贴现至n期期初，再贴现至第一期期初的现值期期初，再贴现至第一期期初的现值012m m+1 m+2 m+n012 nAAAn期递延年金现值从从上图上图n期延期年金的特点，其现值计算可有两种方法：期延期年金的特点，其现值计算可有两种方法：方法方法1：n期延期年金从期延期年金从m到到m+n可被看作是可被看作是n期普通年金，期普通年金，因此，可以先将年金按普通年金的计算方法折到因此，可以先将年金按普通年金的计算方法折到n期期期初期初（即（即m期期末），再按复利现值计算方法将其折到现在。期期末），再按复利现值计算方法将其折到现在。即即 P=A PVIFAPVIFAi,ni,n PVIFPVIFi,mi,m 方法方法2：假设前假设前m期每期期末也有付款，则就变成期每期期末也有付款，则就变成m+n期期普通年金。因此，可以先计算出普通年金。因此，可以先计算出m+n期普通年金的现值，期普通年金的现值，再减去再减去m期没有付款的普通年金现值，就是要求的延期年期没有付款的普通年金现值，就是要求的延期年金的现值。即金的现值。即 P=A PVIFAPVIFAi,m+ni,m+n - - A PVIFAPVIFAi,mi,m方法方法3:先求先求n次连续收支款项的终值次连续收支款项的终值,再将其折现到第一期再将其折现到第一期的期初的期初. P=A*(F/A,i,n)*(P/F,i,m+n)例例 RD项目于项目于1991年动工，由于施工延期年动工，由于施工延期5年，于年，于1996年投产，年投产，从投产之日起每年得到收益从投产之日起每年得到收益40000元。按每年利率元。按每年利率6%计算，则计算，则10年收益于年收益于1991年年初的现值是多少？如果年年初的现值是多少？如果1991年需投资年需投资20万元，问是否进行投资？万元，问是否进行投资？ P=40000 P=40000 PVIFA PVIFA6%,10 6%,10 PVIFPVIF6%,5 6%,5 =40000 =40000 7.36 7.36 0.7470.747 =219917 =219917元元 200000200000元元或或P=40000 P=40000 PVIFA PVIFA6%,15 6%,15 - 40000- 40000 PVIFAPVIFA6%,56%,5） =40000 =40000 9.712-40000 9.712-40000 4.2124.212 =220000 =220000元元 200000200000元元 故可以投资故可以投资 ？终值？终值（四）永续年金现值的计算（四）永续年金现值的计算永续年金：无限期收款、付款的年金。由于永续年金持永续年金：无限期收款、付款的年金。由于永续年金持续期无限，没有终止的时间，因而没有终值，只有现值。续期无限，没有终止的时间，因而没有终值，只有现值。优先股因为有固定的股利而又无到期日，其股利可视为优先股因为有固定的股利而又无到期日，其股利可视为永续年金。有些债券未规定偿还期限，其利息也可视为永续年金。有些债券未规定偿还期限，其利息也可视为永续年金。在资产评估中，某些可永久发挥作用的无形永续年金。在资产评估中，某些可永久发挥作用的无形资产（如商誉），其超额收益亦可按永续年金计算其现资产（如商誉），其超额收益亦可按永续年金计算其现值。所以，值。所以， P=AP=A 1-1-（1+i)1+i)-n-n/i/i当当n趋于无穷大时，（趋于无穷大时，（1+i)-n趋于趋于0 ，上式变为：，上式变为： P=AP=A /i/i例例 某企业持有某企业持有A公司的优先股公司的优先股6000股，每年可获得优先股股利股，每年可获得优先股股利1200元。若利息率为元。若利息率为8%，则该优先股历年股利现值为：，则该优先股历年股利现值为：n V0=1200/0.08=15000元元例：某生物学会准备存入银行一笔基金，预期以后无限期地于每例：某生物学会准备存入银行一笔基金，预期以后无限期地于每年年末取出利息年年末取出利息1600016000元，用以支付年度生物学奖金。若存款元，用以支付年度生物学奖金。若存款利息率为利息率为8%8%，则该生物学会应于年初一次存入的款项为，则该生物学会应于年初一次存入的款项为 V V0 0=16000/0.08=200000=16000/0.08=200000元元 n四、时间价值计算中的几个特殊问题四、时间价值计算中的几个特殊问题n（一）全部不等额现金流量现值的计算（一）全部不等额现金流量现值的计算(见图见图)n前面的年金每次收入或付出的款项都是相等的，但在实践中，前面的年金每次收入或付出的款项都是相等的，但在实践中，更多的情况是每次收入或付出的款项并不相等，下面介绍如何更多的情况是每次收入或付出的款项并不相等，下面介绍如何计算这些不等额现金流入量或流出量的现值之和计算这些不等额现金流入量或流出量的现值之和0123 n-1nA1A2A3An-1Anl基本思想：分别计算复利现值，再求和。即：基本思想：分别计算复利现值，再求和。即：lPVPV0 0 =A=A1 1 （1+i1+i）-1 -1 +A+A2 2 （1+i1+i）-2-2+ A+ An n （1+i1+i）-n-n l例2-12 5年年末的现金流量如下表：年t12345现金流量100020003000 2000 1000若贴现率为若贴现率为10%10%，则此项不等额系列付款的现值为：，则此项不等额系列付款的现值为：PVPV0 0 =1000=1000 （1+10%1+10%）-1-1+2000 +2000 （1+10%1+10%）-2-2+3000 +3000 （1+10%1+10%）-3-3+2000 +2000 （1+10%1+10%）-4-4+ 1000+ 1000 （1+10%1+10%）-5-5 =6801=6801元元若干年间不连续发生若干年间不连续发生的不等额的系列付款的计算：的不等额的系列付款的计算：l其基本思想是一样的：其基本思想是一样的：即分别计算复利现值，然后加总。即分别计算复利现值，然后加总。l例：利率为例：利率为10%10%，第三年末需用，第三年末需用20002000元，第五年末需用元，第五年末需用20002000元，第六年末需用元，第六年末需用40004000元。为满足上述需要，现在应元。为满足上述需要，现在应存入银行的款项为存入银行的款项为（特别注意计息期是多长！）（特别注意计息期是多长！）0123 4520002000640001年为年为1个计息期个计息期0246 81020002000124000半年为半年为1个计息期个计息期PVPV0 0 =2000 =2000 （1+10%1+10%）-3 -3 +2000 +2000 （1+10%1+10%）-5 -5 +4000 +4000 （1+10%1+10%）-6 -6 =5000=5000元元PVPV0 0 =2000 =2000 （1+5%1+5%）-6 -6 +2000 +2000 （1+5%1+5%）-10 -10 +4000 +4000 （1+5%1+5%）-12-12 =4948=4948元元（由于折现期增多，使实际利率高于名义利率，（由于折现期增多，使实际利率高于名义利率，后面讲）后面讲）（二）年金和不等额现金流量混合情况下现值的计算（二）年金和不等额现金流量混合情况下现值的计算n在年金和不等额现金流量混合的情况下，不能用年金计在年金和不等额现金流量混合的情况下，不能用年金计算的部分，则用复利公式计算，然后与年金的计算部分算的部分，则用复利公式计算，然后与年金的计算部分加总，便得出年金和不等额现金流量混合情况下的现值加总，便得出年金和不等额现金流量混合情况下的现值例例 某项现金流量如下表所示，贴现率为某项现金流量如下表所示，贴现率为10%，试计算该，试计算该项系列付款的现值。项系列付款的现值。年t1 23456789现金流量3000 3000 3000 2000 2000 2000 2000 2000 1000在在本例中，前本例中，前3年为年为3年期的普通年金，可按普通年金现值的计算方年期的普通年金，可按普通年金现值的计算方法计算其现值；法计算其现值；4-8年为延期年金，按延期年金现值的计算方法计算；年为延期年金，按延期年金现值的计算方法计算；最后一期直接按复利现值计算方法计算其现值。即：最后一期直接按复利现值计算方法计算其现值。即：PVPV0 0 =3000 =3000 PVIFA PVIFA10%,3 10%,3 +2000 +2000 （PVIFAPVIFA10%,8 10%,8 - PVIFA- PVIFA10%,3 10%,3 ） +1000 +1000 PVIF PVIF10%,9 10%,9 =3000 =3000 2.487+2000 2.487+2000 （5.335-2.4875.335-2.487）+1000+1000 0.424=135810.424=13581元元注：以上为不等额系列收付款现值的计算，至于其终值的注：以上为不等额系列收付款现值的计算，至于其终值的计算，其方法基本相同，计算时，只需将公式中的现值计算，其方法基本相同，计算时，只需将公式中的现值系数改成终值系数即可。系数改成终值系数即可。怎样判断复利、即付年金、普通年金？怎样判断是终值问怎样判断复利、即付年金、普通年金？怎样判断是终值问题还是现值问题？搞清三个问题即可：题还是现值问题？搞清三个问题即可：1 1、是系列收付款吗？如果是就是年金，否就是复利、是系列收付款吗？如果是就是年金，否就是复利2 2、是期初还是期末？如果是期末就是后付年金，如果是期、是期初还是期末？如果是期末就是后付年金，如果是期初就是先付年金。初就是先付年金。3 3、结合已知条件判断是针对现在的问题还是以后的问题？、结合已知条件判断是针对现在的问题还是以后的问题？如果是现在的问题就是现值，是以后的问题就是终值。如果是现在的问题就是现值，是以后的问题就是终值。n课堂练习：课堂练习：1、某人准备存入银行一笔钱，以便在以后的、某人准备存入银行一笔钱，以便在以后的10年中每年年底得到年中每年年底得到2000元，假设银行存款利率为元，假设银行存款利率为9%，计算该人目前应存入多少，计算该人目前应存入多少钱？钱？2、某公司从现在起，每年年初从银行借入、某公司从现在起，每年年初从银行借入3000元，年利率元，年利率5%，则，则5年后需归还银行多少钱？年后需归还银行多少钱？3、某人准备在、某人准备在5年后还清年后还清10000元债务，从现在起每年年底存入元债务，从现在起每年年底存入一笔款项，若利率为一笔款项，若利率为10%，问每年需要存入多少元？，问每年需要存入多少元？4、某公司需要一台设备，买价为、某公司需要一台设备，买价为15000元，使用寿命为元，使用寿命为10年。年。如租赁，则每年年末需支付租金如租赁，则每年年末需支付租金2200元，除此之外，其他情况元，除此之外，其他情况相同，假设利率为相同，假设利率为8%，试说明该公司购买设备好还是租赁设备，试说明该公司购买设备好还是租赁设备好？好？ 5、某人分期付款购房，每年年初支付、某人分期付款购房，每年年初支付6000元，元，20年还款期，利年还款期，利率为率为5%。如果该项分期付款一次付清，现在需要付多少钱？。如果该项分期付款一次付清，现在需要付多少钱？n课堂练习：课堂练习：1、某人准备存入银行一笔钱，以便在以后的、某人准备存入银行一笔钱，以便在以后的10年中每年年底得到年中每年年底得到2000元，假元，假设银行存款利率为设银行存款利率为9%，计算该人目前应存入多少钱？，计算该人目前应存入多少钱？PVA10=2000*PVIFA9%,10=128362、某公司从现在起，每年年初从银行借入、某公司从现在起，每年年初从银行借入3000元，年利率元，年利率5%，则，则5年后需归年后需归还银行多少钱？还银行多少钱？XFVA5=3000*FVIFA5%,5(1+5%)=17406XFVA5=3000*FVIFA5%,6-3000=174063、某人准备在、某人准备在5年后还清年后还清10000元债务，从现在起每年年底存入一笔款项，若元债务，从现在起每年年底存入一笔款项，若利率为利率为10%，问每年需要存入多少元？，问每年需要存入多少元？A=FVA5/FVIFA10%,5=16384、某公司需要一台设备，买价为、某公司需要一台设备，买价为15000元，使用寿命为元，使用寿命为10年。如租赁，则每年。如租赁，则每年年末需支付租金年年末需支付租金2200元，除此之外，其他情况相同，假设利率为元，除此之外，其他情况相同，假设利率为8%，试，试说明该公司购买设备好还是租赁设备好？说明该公司购买设备好还是租赁设备好？ PVA10=2200*PVIFA8%,10=14762P大于，买设备大于，买设备;P小于小于15000,租设备租设备.5、某人分期付款购房，每年年初支付、某人分期付款购房，每年年初支付6000元，元，20年还款期，利率为年还款期，利率为5%。如。如果该项分期付款一次付清，现在需要付多少钱？果该项分期付款一次付清，现在需要付多少钱？XPVA20=6000*PVIFA5%,20(1+5%)=78510XPVA20=6000*PVIFA5%,19+6000=785106、甲企业的投资活动经过、甲企业的投资活动经过3年建设期后从第年建设期后从第4年年末到第年年末到第10年年末年年末每年能收回每年能收回600万元，若利率为万元，若利率为10%，请问该投资的规模为多大，请问该投资的规模为多大时才合算？时才合算？7、A公司预计每年都能公司预计每年都能1股派股派2元的现金，并且所在国的利率水平估元的现金，并且所在国的利率水平估计在较长时期都能维持在计在较长时期都能维持在2.5%，请问以什么样的价格购买该股，请问以什么样的价格购买该股票才合算？票才合算？ 8、已知（、已知（F/A,10%,9)=13.579,(F/A,10%,11)=18.531则则10年、年、10%的即付年金终值系数为（）的即付年金终值系数为（）A、17.531B、15.937C、14.579D、12.5799、某企业于年初存入银行、某企业于年初存入银行10000元，假定年利息率为元，假定年利息率为12%，每年，每年复利两次复利两次 。已知。已知（F/P,6%,5)=1.3382,(F/P,6%,10)=1.7908,(F/P,12%,5)=1.7623,(F/P,12%,10)=3.1058,则第则第5年末的本利和为（）元年末的本利和为（）元A、13382 B、17623C、17908D、31058 6、甲企业的投资活动经过、甲企业的投资活动经过3年建设期后从第年建设期后从第4年年末到第年年末到第10年年末年年末每年能收回每年能收回600万元，若利率为万元，若利率为10%，请问该投资的规模为多大，请问该投资的规模为多大时才合算？时才合算？P=600*(P/A,10%,10)-(P/A,10%,3)P=600*(P/A,10%,7)*(P/F,10%,3)7、A公司预计每年都能公司预计每年都能1股派股派2元的现金，并且所在国的利率水平估元的现金，并且所在国的利率水平估计在较长时期都能维持在计在较长时期都能维持在2.5%，请问以什么样的价格购买该股，请问以什么样的价格购买该股票才合算？票才合算？ 2/2.5%8、已知（、已知（F/A,10%,9)=13.579,(F/A,10%,11)=18.531则则10年、年、10%的即付年金终值系数为（）的即付年金终值系数为（）A、17.531B、15.937C、14.579D、12.579（F/A,10%,11)-1=18.531-1=17.5319、某企业于年初存入银行、某企业于年初存入银行10000元，假定年利息率为元，假定年利息率为12%，每年，每年复利两次复利两次 。已知。已知（F/P,6%,5)=1.3382,(F/P,6%,10)=1.7908,(F/P,12%,5)=1.7623,(F/P,12%,10)=3.1058,则第则第5年末的本利和为（）元年末的本利和为（）元A、13382 B、17623C、17908D、31058 r=i/m=12%/2=6% t=n*m=5*2=10第四节 时间价值的延伸应用一计息期短于一年时间价值的计算一计息期短于一年时间价值的计算复利的计息期不一定总是一年，有可能是季度、月、日复利的计息期不一定总是一年，有可能是季度、月、日当利息在一年内要复利几次，给出的年利率叫做名义利率。当利息在一年内要复利几次，给出的年利率叫做名义利率。实际要解决的是利息率和期数的换算问题。实际要解决的是利息率和期数的换算问题。1、在单利计算中，由于利息不再计算利息，所以计息期多、在单利计算中，由于利息不再计算利息，所以计息期多长并不影响时间价值的计算。长并不影响时间价值的计算。例如：本金例如：本金PVPV0 0 =100=100万元，年利率万元，年利率i=10%,i=10%,期数期数n=5n=5年。要求：年。要求：（1 1）如每年计算一次利息，则）如每年计算一次利息，则5 5年后的本利和为多少？年后的本利和为多少？（2 2）如每半年计算一次利息，则）如每半年计算一次利息，则5 5年后的本利和是多少？年后的本利和是多少？计算：计算：（1 1）FVFV5 5=100+100 =100+100 10% 10% 5=1505=150万元万元 （2 2）FVFV5 5=100+100 =100+100 10%/2 10%/2 5 5 2=1502=150万元万元n2 2、在复利计算中，如按年复利计息，一年就是、在复利计算中，如按年复利计息，一年就是一个计息期；如按季复利计算，一季是一个计息一个计息期；如按季复利计算，一季是一个计息期，则一年就有四个计息期，计息期越短，一年期，则一年就有四个计息期，计息期越短，一年中按复利计息的次数就越多。中按复利计息的次数就越多。n当计息期短于一年，而运用的利率又是年利率时，当计息期短于一年，而运用的利率又是年利率时，则期利率和计息期数应加以换算，复利终值和现则期利率和计息期数应加以换算，复利终值和现值的计算公式也要做适当的调整。值的计算公式也要做适当的调整。例某基金会准备在第例某基金会准备在第5年底获得年底获得2000元，年利率元，年利率为为12%，每季计息一次。则现在应存入银行多少，每季计息一次。则现在应存入银行多少款项？款项？nPV =200 (1+3%)20n =2000 0.554=1108元元n例例 北方公司向银行借款北方公司向银行借款1000元，年利率为元，年利率为16%。每季复利一次，则两年后应向银行偿付的本利和为每季复利一次，则两年后应向银行偿付的本利和为多少？多少？FV8 =1000 （1+4%8 =1000 1.369=1369元元式中，式中，l r r名义利率；名义利率；l m m每年复利次数；每年复利次数；l i i实际利率。实际利率。实际利率与名义利率的关系实际利率与名义利率的关系接上例：接上例：接上例：接上例：其实际利率为：其实际利率为：其实际利率为：其实际利率为：i=(1+16%/4)i=(1+16%/4)4 4-1=0.17=17%-1=0.17=17%F1000*（1+17%）21000*1.3691369元元n在计算货币时间价值时，如果已知现值，终值，年金和在计算货币时间价值时，如果已知现值，终值，年金和期数，而要求期数，而要求i，就要利用已有的计算公式加以推算。，就要利用已有的计算公式加以推算。n即已知即已知P或或F、 A 和和n,推算推算i。n1、现以普通年金为例，推算、现以普通年金为例，推算i （PVA=A* PVIFAi,n）n（1 1）计算出计算出PVA/A的值，并假设的值，并假设PVA/A= ；n（2 2）查普通年金现值系数表。沿着查普通年金现值系数表。沿着n n所在的那一行横向所在的那一行横向查找，若恰好找到表中某一系数等于查找，若恰好找到表中某一系数等于 ，则该则该系数所在系数所在的列的利率，就是所求的的列的利率，就是所求的i值。值。n例：现在存入银行例：现在存入银行1000元，要想元，要想4年后能得到本利和年后能得到本利和1518元，存款利率应有多高？元，存款利率应有多高？nFVIFi,4=1518/1000=1.518n查表得，查表得，i11%二、贴现率和期限的计算二、贴现率和期限的计算而插值法的计算公式，可以由下图推出：n如果无法找到恰好等于如果无法找到恰好等于 的系数值，就要在表中的系数值，就要在表中n行上找出与行上找出与 最接近的两个上下临界系数值最接近的两个上下临界系数值 1、 2。且。且 2 1， 1、 2对应的贴现率为对应的贴现率为i1,i2, 则有则有i1 i2。然后用插值法求出。然后用插值法求出i。n用插值法求i即：ni=i1+x= i1+ (1- ) /(1- 2) (i2 - i1)0i年金现值系数1i12i2i12 345n例：现在向银行存入例：现在向银行存入50005000元，问年利率元，问年利率i i为多少时，才能保证在以为多少时，才能保证在以后后1010年中每年得到年中每年得到750750元利息。元利息。nPVIFAi,10=5000750=6.667= ,：n找到找到 1=6.710、 2=6.418，对应的，对应的i1=8%，i2=9%。n则则 i=8%+(6.710-6.667)/(6.710-6.418) (9%-8%) =8%+0.147%=8.147%n2 2、先付年金贴现率的计算、先付年金贴现率的计算n由由 P=A PVIFAi,n-1+An PVIFAi,n-1= P/A 1令令 P/A 1= ，再用与上述同样的方法即可求得，再用与上述同样的方法即可求得i。注：上述介绍推算注：上述介绍推算i的方法，是以已知现值的方法，是以已知现值P。如果已知年金终值时，。如果已知年金终值时，i 的推算仍可以用上述方法。的推算仍可以用上述方法。3、永续年金贴现率的计算、永续年金贴现率的计算n由由 P=A/i n i=A/ P【例例】某公司于第一年年初借款某公司于第一年年初借款20 00020 000元，每年年末还本付元，每年年末还本付息额均息额均40004000元，连续元，连续9 9年还清。问借款利率应为多少？年还清。问借款利率应为多少？ 解：解： 依据题意：依据题意：P P=20 000=20 000，n n=9=9，则，则P/AP/A=20 000/4 =20 000/4 000=5=000=5=。由于在。由于在n n=9=9的一行上没有找到恰好为的一行上没有找到恰好为5 5的系数值，的系数值，故在该行上找两个最接近故在该行上找两个最接近5 5的临界系数值，分别为的临界系数值，分别为1=5.328 21=5.328 2、2=4.946 42=4.946 4；同时读出临界利率为；同时读出临界利率为i i1=12%1=12%、i i2=14%2=14%。所以。所以三、通货膨胀下的实际利率三、通货膨胀下的实际利率实际利率与名义利率存在着下述关系：实际利率与名义利率存在着下述关系：式中，式中，l r通货膨胀下的实际利率；通货膨胀下的实际利率；l i名义利率；名义利率；l p通货膨胀率。通货膨胀率。当当p不是很大的时候，不是很大的时候，r可近似等于可近似等于i-p。