第十七章第十七章勾股定理勾股定理Zxxk章末小结章末小结一创设复习情境同学们，请认真观察这四张图片中都有一种我们学过的几何图形，它是哪种图形？思考：思考：1、勾股定理和它的逆定理的内容是、勾股定理和它的逆定理的内容是什么？可以用来解决什么问题？什么？可以用来解决什么问题？、如何证明这两个定理？、如何证明这两个定理？1.1.如图，如图，已知在已知在ABC 中，中，B =90，一直角边为一直角边为a，斜，斜边为边为b，则另一直角边，则另一直角边c满足满足c2=.【思考思考】为什么不是为什么不是 ？第一组练习:勾股定理的直接应用（一）知两边或一边一角型二.基础知识运用答案：因为B所对的边是斜边.答案：2.在RtABC中，C=90. .（1）如果a=3，b=4，则c=；（2）如果a=6，c=10，则b=；（3）如果c=13，b=12，则a=；（4）已知b=3，A=30，求a，c.答案:（4）a=，c=.585第一组练习:勾股定理的直接应用（一）知两边或一边一角型若（）中A=，能计算出，吗？1.如图，已知在ABC中，B=90，若BC4，ABx，AC=8- -x，则AB=, ,AC=.2.在RtABC C 中中, ,B=90，b=34, ,a:c=8:15, ,则a=, , c=.3.（选做题）在RtABC中，C=90，若a=12, ,c- -b=8, ,求b,c.答案：答案：3. 3. b=5=5，c=13.=13.351630第一组练习:勾股定理的直接应用（二）知一边及另两边关系型1.对三角形边的分类.已知一个直角三角形的两条边长是3cm和4cm，求第三条边的长注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边，所以4cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论答案：5cm或cm.第一组练习:勾股定理的直接应用（三）分类讨论的题型已知：在已知：在ABC中，中，AB15 15 cm，AC13 13 cm，高，高AD12 12 cm，求，求SABC答案：答案：第第1 1种情况：如图种情况：如图1 1，在，在RtADB和和RtADC中，分别由勾股中，分别由勾股定理，得定理，得BD9 9，CD5 5，所以，所以BCBD+ + CD9+59+51414故故SABC8484（cmcm2 2）第第2 2种情况，如图种情况，如图2 2，可得：，可得：SABC=24=24（ cm cm2 2 ） 2. 2. 对三角形高的分类对三角形高的分类. . Zxxk图图1图图2第一组练习:勾股定理的直接应用（三）分类讨论的题型【思考思考】本组题，利用勾股定理解决了本组题，利用勾股定理解决了哪些类型题目？注意事项是什么？哪些类型题目？注意事项是什么？ 利用勾股定理能求三角形的边长和高等利用勾股定理能求三角形的边长和高等线段的长度线段的长度. .注意没有图形的题目，先画注意没有图形的题目，先画图，再考虑是否需分类讨论图，再考虑是否需分类讨论. .1.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（）A一定不会B可能会C一定会D以上答案都不对A第二组练习:用勾股定理解决简单的实际问题2.如图，滑杆在机械槽内运动，如图，滑杆在机械槽内运动，ACB为直角，已知滑为直角，已知滑杆杆AB长长2.5米，顶端米，顶端A在在AC上运动，量得滑杆下端上运动，量得滑杆下端B距距C点的距离为点的距离为1.5米，当端点米，当端点B向右移动向右移动0.5米时，求滑杆顶米时，求滑杆顶端端A下滑多少米？下滑多少米？AECBD答案：答案：解：设解：设AE的长为的长为x 米，依题意米，依题意得得CE=AC - x ,AB=DE=2.5,=2.5,BC=1.5,=1.5,C=90=90，AC=2.=2.BD=0.5,=0.5,AC=2.=2.在在RtECD中，中，CE=1.5.=1.5.2- 2- x =1.5 =1.5， x =0.5. =0.5. 即即AE=0.5 . =0.5 . 答：梯子下滑答：梯子下滑0.50.5米米第二组练习:用勾股定理解决简单的实际问题答案：答案：是是证明：在证明：在Rt ACB中，中，BC=3=3，AB=5=5，AC=4=4DC=4-1=3=4-1=3在在Rt ECD中，中，DC=3=3，DE=5=5，CE=4=4BE= =CE- -CB=1=1即梯子底端也滑动了即梯子底端也滑动了1 1米米3.3.（选做题）一架长（选做题）一架长5 5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底这时梯子底端距墙底3 3米米 如果梯子的顶端沿墙下滑如果梯子的顶端沿墙下滑1 1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1 1米吗？米吗？用所学知识，论证你的结论用所学知识，论证你的结论第二组练习:用勾股定理解决简单的实际问题思考：思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤是什么？本步骤是什么？Zxxk答案：答案：1.1.把实际问题转化成数学问题，找出相把实际问题转化成数学问题，找出相应的直角三角形应的直角三角形.2.2.在直角三角形中找出直角边，斜边在直角三角形中找出直角边，斜边. .3.3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题根据已知和所求，利用勾股定理解决问题. .1证明线段相等.已知：如图，AD是 ABC的高，AB=10，AD=8，BC=12. .求证： ABC是等腰三角形.答案：答案：证明：证明：AD是是ABC的高，的高，ADB= ADC=90.在在Rt ADB中，中，AB=10，AD=8，BD=6. BC=12, DC=6.在在Rt ADC中，中，AD=8，AC=10，AB=AC.即即ABC是等腰三角形是等腰三角形. 分析：分析：利用勾股定理求出线段利用勾股定理求出线段BD的长，也能求出线段的长，也能求出线段AC的长，最后得出的长，最后得出AB=AC，即可，即可.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. .已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10,求求BE的长的长.【思考思考1】由由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？你可以知道哪些线段长？请在图中标出来请在图中标出来.答案：答案：AD=10，DC=8.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. .已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10,求求BE的长的长.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题【思考思考2】 在在Rt DFC中，你可以求出中，你可以求出DF的长吗？请的长吗？请在图中标出来在图中标出来.答案：答案：DF=6.2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. .已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10,求求BE的长的长.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题答案：答案：AF=4.【思考思考3】 由由DF的长，你还可以求出哪条线段长？的长，你还可以求出哪条线段长？请在图中标出来请在图中标出来.2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. .已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10,求求BE的长的长.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题【思考思考4】 设设BE=x，你可以用含有，你可以用含有x的式子表示出的式子表示出哪些线段长？请在图中标出来哪些线段长？请在图中标出来.答案：答案：EF=x，AE=8-x，CF=10.2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. .已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10,求求BE的长的长.Zxxk第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题【思考思考5】 你在哪个直角三角形中，应用勾股定你在哪个直角三角形中，应用勾股定理建立方程？你建立的方程是理建立方程？你建立的方程是.答案：答案：直角三角形直角三角形AEF,A=90,AE=8-x， .2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. .已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10,求求BE的长的长.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题【思考思考6】 图中共有几个直角三角形？每一个直角图中共有几个直角三角形？每一个直角三角形的作用是什么？折叠的作用是什么？三角形的作用是什么？折叠的作用是什么？答案：答案：四个，两个用来折叠，将线段和角等量转化，四个，两个用来折叠，将线段和角等量转化，一个用来知二求一，最后一个建立方程一个用来知二求一，最后一个建立方程.2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. .已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10,求求BE的长的长.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题【思考思考7】 请把你的解答过程写下来请把你的解答过程写下来.答案：答案： 设设BE=x，折叠，折叠，BCEFCE， BC=FC=10.令令BE=FE=x，长方形，长方形ABCD，AB=DC=8，AD=BC=10，D=90， DF=6,AF=4，A=90,AE=8-x， ，解得，解得x=5. BE的长为的长为5.3.做高线，构造直角三角形.已知：如图，在ABC中，B=45，C=60，AB=2. .求（1）BC的长；（2）SABC. 分析分析：由于本题中的：由于本题中的ABC不是直角三角形，不是直角三角形，所以添加所以添加BC边上的高这条辅助线，就可以求得边上的高这条辅助线，就可以求得BC及及S ABC.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题3.做高线，构造直角三角形.已知：如图，在ABC中，B=45，C=60，AB=2. .求（1）BC的长；（2）SABC. 答案：答案：过点过点A作作AD BC于于D,ADB= ADC=90.在在ABD中，中，ADB=90，B=45，AB=2，AD=BD=. 在在ABD中，中，ADC=90，C=60，AD=，CD=, BC=，S ABC=第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题已知：如图，在ABC中，A=150，AC=1，AB=. .求BC的长思考思考 ：在不是直角三角形中如何求线段长和面积？ 解一般三角形的问题常常通过作高转化成解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三角形，利用勾股定理解决问题直角三角形，利用勾股定理解决问题.思考：思考：利用勾股定理解决综合题的基本步骤是利用勾股定理解决综合题的基本步骤是什么？什么？1.画图与标图，根据题目要求添加辅助线，画图与标图，根据题目要求添加辅助线，构造直角三角形构造直角三角形.2.将已知量与未知量集中到同一个直角三角将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中形中.3.利用勾股定理列出方程利用勾股定理列出方程.4.解方程，求线段长，最后完成解题解方程，求线段长，最后完成解题.1 1下列线段不能组成直角三角形的是（下列线段不能组成直角三角形的是（ ） A Aa=8=8，b=15=15，c=17 B=17 Ba=9=9，b=12=12，c=15=15 C Ca= = ，b= = ，c= D= Da：b：c=2=2：3 3：4 42.2.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB, ,CD, ,EF, ,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的是（）边的是（）CD,EF,GHAB,EF,GHAB,CD,GHAB,CD,EFCEBHDFAGDB第四组练习:勾股定理的逆定理的应用已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且且AB BC.求四边形求四边形ABCD的面积的面积.分析：分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助本题解题的关键是恰当的添加辅助线，利用勾股定理的逆定理判定线，利用勾股定理的逆定理判定ADC的的形状为直角三角形，再利用勾股定理解题形状为直角三角形，再利用勾股定理解题.答案：答案：连接连接AC, AB BC，ABC=90.在在ABC中，中，ABC=90，AB=1，BC=2， AC=. CD=2，AD=3,ACD是直角三角形；是直角三角形；四四边形的面积为边形的面积为1+.第五组练习:勾股定理及其逆定理的综合应用拓展拓展如图，在如图，在RtRtABC中，中，AC= =BC, ,P为为ABC内一点，且内一点，且PA=1=1，PB= 3 = 3 ，PC=2=2，求，求APC的度数的度数. .ABCP拓展练习拓展练习如图，在等边如图，在等边ABC中，中，P为为ABC内一内一点，且点，且PA=2=2，PB= = ，PC=1=1，（1 1）求）求B BPC的度数的度数. .（2 2）求）求ABAB的长的长你在本节课的收获是什么？你在本节课的收获是什么？还有什么困惑？还有什么困惑？三.课堂小结1.一个直角三角形的两边长分别为一个直角三角形的两边长分别为4、5，那么第三条边，那么第三条边长为长为_.2.已知：如图，等边已知：如图，等边ABC的边长是的边长是6cm.求求等边等边ABC的高的高;S ABC.3.（选做题）如图，（选做题）如图，AB=AC=20,BC=32， DAC90，求，求BD的长的长.四.布置作业1.如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在落在AB上的上的点点E处已知处已知BC=12，B=30，则则DE的长是的长是( ).A.6 6 B.4 .4 C.3 .3 D.2.22.一个直角三角形的两条边长分别是一个直角三角形的两条边长分别是6cm和和8cm，那么，那么这个三角形的周长和面积分别是多少这个三角形的周长和面积分别是多少?3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便估算产一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便估算产量量.小明找了一卷米尺，测得小明找了一卷米尺，测得AB=4米，米，BC=3米，米，CD=13米，米，DA=12米，又已知米，又已知B=90.答案：答案：2.2.（1 1）周长是）周长是24 cm24 cm，面积是，面积是24 cm24 cm2 2；(2)(2)周长是周长是 cm ,cm ,面积是面积是 cm cm2 2. .B答案：答案： 3 33636平方米平方米. .五.课堂反馈